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,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,全等三角形,一、,全等三角形的概念及其性质,全等三角形的定义：,能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形，重合的点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。,全等三角形性质：,（,1,）对应边相等 （,2,）对应角相等,（,3,）周长相等 （,4,）面积相等,注意：“全等”的记法“”，全等变换：平移、旋转、翻转。,例,1,、已知如图（,1,），,ABC,DCB,对应边,:_,与,_,_,与,_,_,与,_,对应角,:_,与,_,_,与,_,_,与,_.,1.,请指出图中全等三角形的对应边和对应角,2,、图中,ABD CDB,则,AB=,；,AD=,；,BD=,；,ABD=_,；,ADB=_,；,A=_,；,CD,CB,BD,CDB,CBD,C,AB,与,CD,、,AD,与,CB,、,BD,与,DB,ABD,与,CDB,、,ADB,与,CBD,、,A,与,C,有公共边的，公共边是对应边,.,有公共角的，公共角是对应角,.,有对顶角的，对顶角是对应角,.,一对最长的边是对应边，,一对最短的边是对应边,.,一对最大的角是对应角，,一对最小的角是对应角,.,在找全等三角形的对应元素时一般有什么,规律,？,3,、如图,ABD EBC,，,AB=3cm,BC=5cm,求,DE,的长,解：,ABD EBC,AB=EB,、,BD=BC,BD=DE+EB,DE=BD-EB,=BC-AB,=5-3=2cm,知识回顾：,一般三角形,全等的条件,：,1.,定义（重合）法；,2.SSS,；,3.SAS,；,4.ASA,；,5.AAS,.,直角三角形,全等,特有,的条件：,HL,.,包括直角三角形,不包括其它形状的三角形,解题中常用的,4,种方法,练习,1,：如图，,AB=AD,CB=CD.,求证,:AC,平分,BAD,A,D,C,B,证明：在,ABC,和,ADC,中,AC=AC,AB=AD,CB=CD,ABC,ADC,（,SSS,）,BAC=DAC,AC,平分,BAD,2,、如图，,D,在,AB,上，,E,在,AC,上，,AB=AC,B=C,试问,AD=AE,吗？为什么？,E,D,C,B,A,解,：,AD=AE,理由：在,ACD,和,ABE,中,B=C,AB=AC,A=A,ACD,ABE,（,ASA,）,AD=AE,3,、如图，,OBAB,OCAC,垂足为,B,C,OB=OC,AO,平分,BAC,吗？为什么？,O,C,B,A,答：,AO,平分,BAC,理由：,OBAB,OCAC,B=C=90,在,RtABO,和,RtACO,中,OB=OC,AO=AO,RtABO,RtACO,（,HL,）,BAO=CAO,AO,平分,BAC,4,、如图，,AC,和,BD,相交于点,O,OA=OC,OB=OD,求证：,DCAB,证明：在,ABO,和,CDO,中,OA=OC,AOB=COD,OB=OD,ABO,CDO,（,SAS,）,A=C,DCAB,A,O,D,B,C,练习,5,：如图，小明不慎将一块三角形模具打碎为两块，他是否可以只带其中的一块碎片到商店去，就能配一块与原来一样的三角形模具呢？如果可以，带那块去合适？为什么？,B,A,F,E,D,C,B,A,6,、如图，已知,ACEF,DEBA,若使,ABCEDF,还需要补,充的条件可以是,或,或,或,AB=ED,AC=EF,BC=DF,DC=BF,7,：已知,AC=DB,1=2.,求证,:A=D,2,1,D,C,B,A,证明：在,ABC,和,DCB,中,AC=DB,1=2,BC=CB,ABC,DCB,（,SAS,）,A=D,8,、,如图，已知，,ABDE,，,AB=DE,，,AF=DC,。请问图中有那几对全等三角形？请任选一对给予证明。,F,E,D,C,B,A,ABFDEC,CBFFEC,ABCDEF,答：,9,、如图，已知,E,在,AB,上，,1=2,，,3=4,，那么,AC,等于,AD,吗？为什么？,4,3,2,1,E,D,C,B,A,解：,AC=AD,理由：在,EBC,和,EBD,中,1=2,3=4,EB=EB,EBC,EBD (,AAS,),BC=BD,在,ABC,和,ABD,中,AB=AB,1=2,BC=BD,ABC,ABD (,SAS,),AC=AD,10,、已知，,ABC,和,ECD,都是等边三角形，且点,B,，,C,，,D,在一条直线上求证：,BE=AD,E,D,C,A,B,变式：,以上条件不变，将,ABC,绕点,C,旋转一定角度（大于零度而小于六十度），以上的结论还成立吗？,证明,：,ABC,和,ECD,都是等边三角形,AC=BC DC=EC BCA=DCE=60,BCA+ACE=DCE+ACE,即,BCE=DCA,在,ACD,和,BCE,中,AC=BC,BCE=DCA,DC=EC,ACDBCE (,SAS,),BE=AD,分析：,由于两个三角形完全重合，故面积、周长相等。至于,D,，因为,AD,和,BC,是对应边，因此,AD,BC,。,C,符合题意。,说明：本题的解题关键是要知道中两个全等三角形中，对应顶点定在对应的位置上，易错点是容易找错对应角 。,例题精析：,连接例题,例,2,如图,2,，,AE,CF,，,ADBC,，,AD,CB,，,求证：,ADFCBE,分析：,已知,ABC A,1,B,1,C,1,，相当于已知它们的对应边相等,.,在证明过程中，可根据需要，选取其中一部分相等关系,.,例,3,已知：如图,3,，,ABCA,1,B,1,C,1,，,AD,、,A,1,D,1,分别是,ABC,和,A,1,B,1,C,1,的高,.,求证：,AD=A,1,D,1,图,3,例,4,：求证：有一条直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等。,分析：,首先要分清,题设,和,结论,，然后按要求,画出图形,，根据题意写出,已知求证,后，再写出证明过程。,说明：,文字证明题,的书写格式要标准,。,例,5,、如图,6,，已知：,A,90,，,AB=BD,，,EDBC,于,D.,求证：,AE,ED,提示：,找两个全等三角形，需连结,BE.,图,6,例,6,、如图：,AB=AC,，,BD=CD,，若,B=28,则,C=,；,如图：将纸片,ABC,沿,DE,折叠，点,A,落在点,F,处，,已知,1+2=100,，则,A=,度；,1.,如图,1,：,ABF CDE,，,B=30,，,BAE=DCF=20.,求,EFC,的度数,.,练习题：,2,、如图,2,，已知：,AD,平分,BAC,，,AB=AC,，连接,BD,，,CD,，并延长相交,AC,、,AB,于,F,、,E,点则图形中有（）对全等三角形,.,A,、,2,B,、,3,C4,D,、,5,C,图,1,图,2,（,80,0,）,3,、如图,3,，已知：,ABC,中，,DF=FE,，,BD=CE,，,AFBC,于,F,，则此图中全等三角形共有（）,A,、,5,对,B,、,4,对,C,、,3,对,D2,对,4,、如图,4,，已知：在,ABC,中，,AD,是,BC,边上的高，,AD=BD,，,DE=DC,，延长,BE,交,AC,于,F,，,求证：,BF,是,ABC,中边上的高,.,提示：,关键证明,ADCBFC,B,5,、如图,5,，已知：,AB=CD,，,AD=CB,，,O,为,AC,任一点，过,O,作直线分别交,AB,、,CD,的延长线于,F,、,E,，求证：,E=F.,提示：,由条件易证,ABCCDA,从而得知,BAC,DCA,，即：,ABCD.,知识梳理：,1,：什么是全等三角形？一个三角形经过哪些变化可以得到它的全等形？,2,：全等三角形有哪些性质？,3,：三角形全等的判定方法有哪些？,能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。一个三角形经过平移、翻折、旋转可以得到它的全等形。,（,1,）：全等三角形的对应边相等、对应角相等。,（,2,）：全等三角形的周长相等、面积相等。,（,3,）：全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、高线分别相等。,SSS,、,SAS,、,ASA,、,AAS,、,HL(RT),总结提高,学习全等三角形应注意以下几个问题：,（,1):,要正确区分,“,对应边,”,与,“,对边,”,，,“,对应角,”,与,“,对角,”,的不同含义；,（,2,）：表示两个三角形全等时，表示对应顶点的字母要写在对应的位置上；,（,3,）：要记住,“,有三个角对应相等,”,或,“,有两边及其中一边的对角对应相等,”,的两个三角形不一定全等；,（,4,）：时刻注意图形中的隐含条件，如,“,公共角,”,、,“,公共边,”,、,“,对顶角,”,
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