概率论：二维随机变量的函数的分布

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,二、离散型随机变量函数的分布,三、连续型随机变量函数的分布,四、小结,一、问题的引入,第五节两个随机变量的函数的分布,为了解决类似的问题下面,我们讨论随机变量函数的分布,.,一、问题的引入,二、离散型随机变量函数的分布,设,(X,Y),为二维离散型随机变量，,则函数,是一维离散型随机变量,若已知,(X,Y),的分布律，,如何得到,的分布律,?,例,1,设二维,r.v.,(,X,Y,),的概率分布为,X,Y,p,ij,-1 1 2,-1,0,求,的概率分布,解,根据,(,X,Y,),的联合分布可得如下表格,：,P,X,+,Y,X,-Y,X Y,Y/X,(,X,Y,),(-1,-1),(-1,0),(1,-1),(1,0),(2,-1),(2,0),-2 -1 0 1 1 2,0 -1 2 1 3 2,1 0 -1 0 -2 0,1 0 -1 0 -1/2 0,故得,P,X,+,Y,-2 -1 0 1 2,P,X-Y,-1 0 1 2 3,P,X Y,-2 -1 0 1,P,Y/X,-1 -1/2 0 1,结论,例,2,设两个独立的随机变量,X,与,Y,的分布律为,求随机变量,Z,=,X,+,Y,的分布律,.,得,因为,X,与,Y,相互独立,所以,解,可得,所以,设,X B,(,n,1,p,),Y B,(,n,2,p,),且独立，,具有可加性的两个离散分布,设,X P,(,1,),Y P,(,2,),且独立，,则,X+Y B,(,n,1,+,n,2,p,),则,X+Y P,(,1,+,2,),证明过程见,73,页例,3.21,问题,已知二维随机变量,(,X,Y,),的密度函数，,g,(,x,y,),为已知的二元函数，,求,Z=g(X,Y),的,密度函数,.,方法,从求,Z,的分布函数出发,将,Z,的分布函数,转化为,(,X,Y,),的事件,三、连续型随机变量函数的分布,连续型随机变量函数的分布主要形式,这里,X,Y,相互独立。,设,(X,Y),为连续型随机向量，具有概率密度,f,(x,y),，又,Z=g(X,Y)(g(x,y),为一已知的连续函数,),。大部分情况下，,Z,是一连续型随机变量。,为求,Z,的概率密度，可先求出,Z,的分布函数,1.,和分布：,Z,=,X,+,Y,的分布,求解过程中，关键在于将事件,Zz,等价地转化为用,(X,Y),表示的事件,g(X,Y)z=(X,Y),其中 。,z,z,x+y=z,设,(X,Y),的联合概率密度为,f,(x,y),，,现求,Z=X+Y,的概率密度。令 ，则,Z,的分布函数为,由此可得概率密度函数为,由于,X,与,Y,对称,当,X,Y,独立时,卷积公式,称之为函数,f,X,与,f,Y,的,卷积,例,3,设随机变量,X,Y,相互独立,且均服从标准正态分布,求,Z=X+Y,的概率分布,.,所以由卷积公式得,Z=X+Y,概率密度为,解,因为,X,Y,独立且其概率密度分别为,1,、考虑被积函数的非零区域,;,2,、,z,在,(-,+,),上取值,;,3,、,x,在,(-,+,),上积分,;,4,、在,xoz,系中综合上述各点确定,z,的分段情形,.,所以,ZN(0,2).,说明,有限个,相互独立,的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布,.,正态随机变量的结论,（定理,3.1,）,若,X,Y,相互独立,则,若,相互独立,则,推广,例,4,设随机变量,X,Y,相互独立,且概率密度均为：,解,因为,X,Y,独立,所以,和分布,概率密度可由,卷,积公式,计算,:,求,Z=X+Y,概率密度。,计算积分,思路,:1.,被积函数非零区域,;2.z,取任意实,数,;3.x,在,(-,+,),上积分,;4.,综合上述就,z,分段,.,由边缘概率密度确定,的表达式,特别是其非零区域,:,由题目条件得,:,故得,:,计算卷积,:,函数自变量为,z,积分变量为,x,当,z,取值范围确,定后,x,由,-,积分至,+,(,只需在非零区域内一段上积,分,).,因为,所以,综上可得,:,参照,D,就,z,在,(-,+,),上进行分段,;,对上述各分段中取定的,z,值,就,x,从,-,积分至,+,实际只需在非零区域,D,上一段积分,.,卷积计算思路,在,xoz,平面上确定被积函数及其非零区域,D;,注意：上述也是一般参量积分的计算方法。,练习,若,X,和,Y,独立,具有共同的概率密度,求,Z,=,X,+,Y,的概率密度,.,解 由卷积公式,暂时固定,故,当 或,时,当,时,当,时,于是,推广,例,解,需要指出的是，当,X,1,X,n,相互独立且具有相同分布函数,F,(,x,),时,常,称,M=,max(,X,1,X,n,),，,N=,min(,X,1,X,n,),为极值,.,由于一些灾害性的自然现象，如地震、洪水等等都是极值，研究极值分布具有重要的意义和实用价值,.,小 结,1.,离散型随机变量函数的分布律,2.,连续型随机变量函数的分布,这里,X,Y,相互独立。,例题,设随机向量,(X,Y),服从区域,D=(x,y)|1x3,1y3,上的均匀分布,求,U=|X-Y|,的概率密度函数,.,解,(X,Y),的联合概率密度为,1 3,3,1,(1)u0,时,F(u)=0,y-x=u,y-x=-u,y-x=-2,由,分析可见,u=2,是两种类型积分区域的划分点,.,G,f(u)=0,(2)0u2,时,(3)u2,时,F(u)=1,f(u)=1-u/2,f(u)=0,所以,1 3,3,1,y-x=u,y-x=-u,y-x=-2,G,例,设随机变量,X,与,Y,独立，概率密度函数为,解,(X,Y),的,联合密度函数为,所以,练习,84,页,11,题,