几种高程拟合方法的精度分析

单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,2012/12/13,#,单击此处编辑母版标题样式,报告人：张晖,日期：,2012,年,12,月,3,日,几种高程拟合方法比较,关键词,：,大地高 正常高 二次曲面法 多面函数法,摘要,GPS,平面测量数据由于其高精度的特性已在测绘领域到了广泛的应用。如何有效利用其高程信息，把大地高转化为正常高，直接为测绘行业服务是一个非常实际且有意义的课题。针对目前,GPS,高程拟合的研究现状，本文主要讨论,GPS,点位成面状分布时的两种拟合方法，即对二次曲面法和多面函数法比较。,目录,GPS,高程拟合基本理论,二次曲面法拟合,多面函数法拟合,实例分析,总结分析,GPS,高程拟合基本理论,高程基准面：高程基准面是地面点的高程起算面，即水准零点。,测量中主要涉及三个高程基准面：地球的物理表面,大地水准面，地球的数学表面,参考椭球面，还有一个抽象的曲面,似大地水准面。,高程系统：与三个高程基准面相对应有三个常用的高程系统，正高高程系统、大地高高程系统、似大地高高程系统。,目前我国所用的高程系统为似大地高高程系统而,GPS,高程是大地高高程系统。由于参考椭球面与似大地水准面不重合。大地高与正常高之间就存在一个高程异常。如下图所示,GPS,高程拟合的基本理论,正常高与,大地高之间,的关系为：,因此求出高程异常进而求的正常高，建立似大地水准面的过程就是,GPS,高程拟合的过程,。,二次曲面法高程拟合,曲面拟合法：当,GPS,点布设成一定区域面时，可以用数学曲面拟合法求定待定点的正常高。其原理是,:,根据测区中已知点的平面坐标,x,、,y(,或大地坐标,B,、,L),和高程异常值，用数值法拟合，拟合出测区似大地水准面，再内插出待求点的高程异常，从而求出待求点的正常高。,多项式曲面拟合：多项式曲面拟合法是近年来使用的主要拟合方法，其中二次多项式曲面拟合最为常见。多项式曲面拟合的一般模型为,:,式中,为模型的待定参数。,当控制点为,n,个，所取的项数为,n,项时，则存在如下方程组矩阵,:,二次曲面法高程拟合,其中,通过高斯消元法求出模型参数,A,，然后求出未知点的高程异常值，进而求出正常高,。,二次曲面法高程拟合,当控制点个数多于多项式的项数时，为了充分利用己知数据，通常会采用最小二乘法拟合。,设点的高程异常 与其平面坐标,存在以下关系式：,其中,根据最小二乘原理可求：带入模型公式可求出未知点的高程异常，进而求出正常高。,二次曲面法高程拟合,在工程中应用较多的是二次曲面法拟合，其数学模型为：,在求模型参数时需要至少,6,个已知点的高程异常值。,多面函数法高程拟合,多面函数拟合曲面的方法是美国,Hardy,教,1977,年提出的，其理论基础是，任何一个圆滑的数学曲面总可以用一系列有规则的数学表面的综合，以任意精度逼近。,GPS,高程多面函数拟合法就是把拟合区域的高程异常，用多个曲面高度逼近，建立数学模型，借此可以求得未知点的高程异常，然后根据,GPS,所求的大地高来计算常规基准下的正常高。,一个数学表面上点 的函数值 可表达成,多面函数法高程拟合,式中，为待定系数；是,x,和,y,的二次核函数，其中核心在 处，可由二次式的和确定，故称多面函数；,x,y,为待求点的坐标，为已知点坐标。,其矩阵形式为,:,根据最小二乘原理可知其模型参数：,将模型参数代入函数模型可得高程异常值，进而求出未知点的正常高。,常用的核函数有正双曲面和倒双曲面两种，其函数模型如下：,正双曲面：其中 称为光滑因子，当其值为,0,时，正双曲面退化为圆锥面。,倒双曲面：,多面函数法高程拟合,高程拟合的精度评定指标,内符合精度：根据参与计算的己知点的高程异常值 和计算后得到的高程异常值 用 求得残差值，按下式计算,GPS,水准的内符合精度,外符合精度：同样根据参与检核的己知点的高程异常值 和计算后得到的高程异常值 用 求得残差值，按下式计算,GPS,水准的内符合精度,多面函数法高程拟合,内符合精度与外符合精度都是从点的统计角度出发的，可以说是一种相对意义上的绝对精度评定。垂直数据因参考基准的不同，会有不同的系统偏差，所以在某种意义上相对精度的评定更有说服力。,水准限差,注：,L,为已知点与检核点的距离（单位：公里）,测量等级 允许的最大限差（,mm,）,三等几何水准测量,四等几何水准测量,普通几何水准测量,实例分析,右图为某中型城市的城市控制网，图中共有,37,个,GPSE,级控制点。为了研究,GPS,拟合原理，对以上所有控制点都进行了三等水准测量，并应用稳健估计进行粗差探测，未发现粗差。,为了保证试验数据的可靠性，其具体数据见下表。,实例分析,实验数据表（部分）,序号,X,坐标,Y,坐标,大地高,正常高,高程异常,1,-9230.899,-30277.679,11.879,3.493,8.386,2,-10589.011,-26223.536,14.337,5.757,8.580,3,-8775.220,-23280.827,13.173,4.500,8.673,4,-7666.317,-19160.955,12.263,3.397,8.866,5,-11649.851,-36495.574,11.592,3.430,8.161,6,-8129.317,-33611.141,13.344,5.134,8.210,7,-4334.088,-33564.440,12.817,4.610,8.,207,8,295.107,-32024.104,11.821,3.597,8.225,9,3802.651,-31147.313,13.030,4.776,8.254,10,-11790.336,-21649.388,12.587,3.808,8.778,11,-7892.980,-26803.839,12.313,3.755,8.558,实例分析,续表,序号,X,坐标,Y,坐标,大地高,正常高,高程异常,12,2078.745,-38769.456,12.097,4.173,7.925,13,-9337.283,-39433.379,11.931,3.925,8.005,14,-14355.472,-39856.997,11.467,3.421,8.046,15,-17115.063,-49101.972,11.579,3.884,7.695,16,-18538.802,-52552.997,13.403,5.835,7.569,17,-15219.401,-53448.173,12.377,4.852,7.525,18,-12601.594,-53833.912,11.381,3.906,7.475,19,-12173.846,-29772.276,11.250,2.822,8.428,20,-4986.383,-37421.711,11.366,3.332,8.034,实例分析,使用,1,、,7,、,9,、,10,、,11,、,13,、,16,、,17,、,18,、,19,、,20,、,22,、,25,、,26,、,27,、,28,、,31,、,33,、,34,、,36,共,20,个均匀分布的控制点应作为已知点，,2,、,3,、,4,、,5,、,6,、,8,、,12,、,14,、,15,作为检核点分别用二次曲面法和多面函数法进行拟合计算，其分析结果如下表：,数据拟合分析,序号 已知高程异常 拟合值 残差值,二次曲面,锥面 倒双曲面 二次 锥面 倒双曲面,2 8.580 8.549 8.536 8.624 -0.031 -0.043 0.045,3 8.673 8.626 8.759 8.773,-0.047 0.086 0.100,4,8.866 8.726 9.559 8.380 -0.140 0.693 -0.487,5 8.161 8.213 8.048 8.198,0.052 -0.114 0.037,6 8.210 8.290 8.177 8.279 0.080 -0.033 0.069,8 8.225 8.253 8.174 8.359 0.028 -0.051 0.134,12 7.899 7.901 8.551 7.568 0.002 0.627 -0.357,8.046 8.107 7.896 8.044 0.061 -0.150 -0.002,7.695 7.732 7.563 7.716 0.037 -0.133 0.021,外符合精度,实例分析,当核函数为锥面函数时,C,取,1,，当核函数为到双曲面时 取,10000,，以下是这三种拟合模型的残差图。,实例分析,当选取,1,、,7,、,9,、,10,、,11,、,13,、,19,、,20,、,22,、,26,、,28,、,33,、,34,、,36,这,14,个点作为已知点进行二次曲面拟合时其精度如下表：,序号 二次曲面拟合残差（,14,点）二次曲面拟合残差（,20,点）,2,-0.050 -0.031,3 0.002 -0.047,4 -0.062 -0.140,5 0.016 0.052,6 0.061 0.080,8 0.018 0.028,12 0.135 0.002,14 0.011 0.061,15 -0.055,0.037,总结,总结与分析,一,二,三,对于地势比较平坦，,或者高程变化比较,平缓时，二次曲面,法拟合可以满足其,精度要求,对于多面函数法拟合,核函数的选取，以及,平滑,因子都会对精度,产生较大影响一定要,多次尝试。,已知点的选取,一定要均匀，,并非已知点越多,精度就越高。,Thank You!,