数理统计学完整课件-4

,单击此处编辑母版标题样式,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,复习,极大似然估计的求法,估计量的几个评选标准,区间估计,选择参数的估计量,使实验结果具有最大概率,无偏性,有效性,一致性,E,(,),=,方差更小的无偏估计量.,样本,原点矩是,总体,原点矩的无偏估计量;,样本方差,是总体方差的无偏估计量,;,无偏估计量的函数未必是无偏估计量,在,的所有线性无偏估计量中,样本均值,X,是最有效的.,置信区间,假设我们根据一个实际样本得到鱼数 N 的极大似然估计为 1000 条.,假设我们能给出一个区间,在此区间内我们合,理地相信 N 的真值位于其中,这样对鱼数的估计就有把握多了.,但实际上,N,的真值可能大于 1000 条,也可能小于1000条.,4 单个正态总体均值与方差的置信区间,也就是说,我们希望确定一个尽可能小的区间,使我们能以比较高的可靠程度相信它包含真参数值.,湖中鱼数的真值,这里所说的“可靠程度是用概率来度量的,称为置信概率，置信度或置信水平.,习惯上把置信水平记作 1,-,这里,是一个很小的正数.,譬如，在估计湖中鱼数的问题中,根据置信水平1,-,可以找到一个正数,例如,通常可取置信水平=0.95 或 0.9 等等.,根据一个实际样本,由给定的置信水平1,-,我们求出一个的区间 ,使,置信水平的大小是根据实际需要选定的.,如何寻找这种区间？,使得,我们选取未知参数的某个估计量,只要知道,的概率分布就可以确定,.,下面我们就来正式给出置信区间的定义,并通过例子说明求置信区间的方法.,由不等式,可以解出,：,这个不等式就是我们所求的,置信区间,代入样本值所得的普通区间称为,置信区间的实现,.,作区间估计,就是要设法找出两个只依赖于样本的界限,(,构造统计量,),即要求区间置信的长度尽可能短,或能表达该要求的其它准那么.,X,1,X,2,X,n,是取自总体,X,的样本,对给定值,0,1,满足,定义,4,设,是总体,X,的待估参数,分别称为,置信下限,和,置信上限,.,一、置信区间的概念,那么称随机区间,为,的,置信水平为,1,-,的双侧置信区间,.,假设统计量,和,估计的精度要尽可能的高,.,要求,以很大的可能被包含在置信区间内,P,(,),=1,-,要尽可能大.,即要求估计尽量可靠.,置信水平为,0.95,是指,100,组样本值所得置信区间的,实现,中,就是说,概率,置信度 置信概率,是随机区间,而不是说一个,实现,以 0.95 的概率覆盖了,.,约有95个能覆盖,置信水平的概率意义,;,并非一个,实现,以 1,-,的概率覆盖了,.,即要求置信区间的长度尽可能短.,估计的精度要尽可能的高,.,估计要尽量可靠,即,P,(,),=,1,-,要尽可能大.,可靠度与精度是一对矛盾,一般是在保证可靠度的条件下尽可能提高精度.,将样本值代入 所得的普通区间称为,置信区间的实现,.,只要知道,的概率分布就可以确定,.,如何根据实际样本,由给定的置信水平1,-,求出一个区间 ,使,根据置信水平1,-,可以找到一个正数,二、置信区间的求法,(,一,),单个正态总体,1.均值,(1)方差 2,1.均值,1,-,2,(1)方差12,22,(,二,),两,个正态总体,2.方差,2,(,2,),未知方差,2,使得,我们选取未知参数的某个估计量,由不等式,可以解出,：,这个不等式就是我们所求的置信区间,分布的分位数,(1)均值,(,2,),未知均值,(,2,),未知方差,1,2,2,2,2.方差,1,2,/,2,2,(1)均值 1,2,(,2,),未知均值,1,2,但相等!,对于给定的置信水平,根据估计量,U,的分布,确定,一个区间,使得,U,取值于该区间的概率为置信水平.,X,S,2,分别是其样本均值和样本方差,X,N,(,2,/,n,),求参数,、,2,的置信水平为,1,-,的置信区间.,设,X,1,X,n,是总体,X,N,(,2,),的样本,确定未知参数的,估计量及其函数的分布,是,的无偏估计量,由分布求分位数,即得置信区间,(一),单个正态总体置信区间的求法,(1)方差 2 时,故可用,X,作为,EX,的一个估计量,N,(,0,1,),对给定的置信度 1,-,按标准正态分布的双侧,分位数的定义,查正态分布表可得,u,/,2,由,u,/,2,确,定置信区间,有了分布就可求出,U,取值于任意区间的概率,P 66,简记为,由抽样分布定理知,1.均值,的置信区间,是求什么参数的置信区间?,置信水平 1,-,是多少?,1.寻找未知参数,的一个良好的点估计量,(,X,1,X,2,X,n,),;,确定待估参数估计量,函数,U,(,),的分布;,求置信区间首先要明确问题：,2,.对于给定的置信水平 1,-,由概率,(,),就是,的,100,(,1,-,),的置信区间.,一般步骤如下:,3.,由分位数,|,U,|,x,确,定置信区间,(,),.,查表求出分布的分位数,x,总体分布的形式是否,是怎样的类型,至关重要.,某乡农民在联产承包责任制前人均纯收入,X,(单位:元),求,的置信水平为,0.95,的置信区间.,推行联产承包责任制后,在该乡抽得,n,=16 的样本,且,X,N,(,300,25,2,).,解,由于,=0.05,查正态分布表得,例1,得,x,=325元,假设,2,=,25,2,没有变化,即得置信区间,(,312.,75,337.,25,),.,同一置信水平下的置信区间不唯一,如在上例中取,=,0.,01,+0.,04,由正态分布上侧分位数定义知,查表知,u,0.025,=,1.,96,当然区间长度越短的估计,精度就越高.,其长度也不相等.,区间长度为 24.,25,长度为 25.,5,谁是精度最高的？,由于标准正态分布密度函数的图形是单峰且对称的,在保持面积不变的条件下,以对称区间的长度为最短!,但,的长度是最短的,l,与,n,的关系：,可知,置信区间的长度,l,为:,由置信区间公式,l,随着,的减小而增大;,20 假设给定 ,l 随着 n 的增大而减小;,同一置信水平下的置信区间不唯一,.,其长度也不相等.,故我们总取它作为置信水平为 1,-,的置信区间.,假设给定 n,且由于,l,与 成反比,减小的速度并不快,例如,n,由 100 增至 400 时,l,才能减小一半.,那么 u/2 越大,l 就越大,这时,就越小.,1,0,(,u,/,2,),就越大,一般地,在概率密度为单峰且对称的情形下,a,=,-,b,对应的,置信区间的长度为最短.,故不能采用方差的均值估计方法,由于 与,有关,但其解决的思路一致.,由于,S,2,是,2,的无偏估计量,查,t,分布表确定上侧,/,2,分位数,令,T,=,(,2,),未知方差,用 分布的分位数求,的置信区间.,故可用,S,替代,的估计量:,S,t,(,n,-,1,),即为,的置信度为,1,-,的区间估计.,2,时,由抽样分布定理知,实用价值更大!,t,/,2,(,n,-,1,),测定总体服从正态分布,求总体均值,的置信水平为,0.95,的置信区间.,解,由于,/,2,=0.,025,查,t,分布表得,例2,为确定某种溶液中甲醛浓度,且其,4,个独立测量值的平均值,x,=,8.,34,%,样本标准差,s,=,0.,03,%,即得置信区间,自由度,n,-,1=,3,t,0.025,=,3.,182,将,x,=,8.,34,%代入 得,(,2,),未知时,所以,2,的置信水平为1,-,的区间估计为,因为,2,的无偏估计为,S,2,2.,方差,2,的,置信区间的求法,由抽样分布定理知,2,=,由,确定,2,分布的上侧,/2,分位数,找一个含 与S,但不含,且分布的统计量,为了计算简单,在概率密度不对称的情形下,如,2,分布,F,分布,习惯上仍取,对称的分位点,来计算未知参数的置信区间.,并不是最短的置信区间,/2,/2,测定总体服从正态分布,求总体均值,的置信水平为,0.95,的置信区间.,解,由于,/,2,=0.,025,查,2,分布表得,例3,为确定某种溶液中甲醛浓度,且其,4,个独立测量值的平均值,x,=,8.,34,%,样本标准差,s,=,0.,03,%,故,2,的置信区间为,自由度,n,-,1=,3,得,将,s,2,=,0.,0009,代入,求总体方差,2,和标准差,的置信水平为,0.95,的置信区间.,故,的置信区间为,设,X,1,X,m,分别是总体,X,N,(,1,1,2,),的样本,Y,1,Y,n,分别是总体,Y,N,(,2,2,2,),的样本,X,Y,分别是总体,X,和,Y,的样本均值,求参数,1,-,2,和,1,2,/,2,2,的置信水平为,1,-,的置信区间.,由于,X,Y,分别是,1,2,的无偏估计量,即得置信区间,(二),两个正态总体,(1)方差12,22 时,故可用,X,-,Y,作为,1,-,2,的一个估计量,N,(,0,1,),对给定的置信度 1,-,查正态分布表可得,u,/,2,由抽样分布定理知,1.均值,1,-,2,的置信区间,S,X,2,S,Y,2,分别是总体,X,和,Y,的样本方差,置信区间的求法,设,X,1,X,m,分别是总体,X,N,(,1,1,2,),的样本,Y,1,Y,n,分别是总体,Y,N,(,2,2,2,),的样本,X,Y,分别是总体,X,和,Y,的样本均值,求参数,1,-,2,和,1,2,/,2,2,的置信水平为,1,-,的置信区间.,即得置信区间,(二),两个正态总体置信区间的求法,(,2,),未知方差,1,2,2,2,但,1,2,=,2,2,=,2,时,仍用,X,-,Y,作为,1,-,2,的一个估计量,t,(,n,+,m,-,2,),对给定的置信度 1,-,查,t,分布表可得,由抽样分布定理知,1.均值差,1,-,2,的置信区间,S,X,2,S,Y,2,分别是总体,X,和,Y,的样本方差,t,/,2,(,n,+,m,-,2,),且它们的方差相同(这两种仪器的测量精度相同).,例4,用甲、乙两种仪器测量两测地站,A,B,之间的直线距离,(单位:,米),.,用仪器甲独立地测量,m,=10次,得测量值的平均值,试求这两种仪器的平均测量之差,的置信水平为,0.99,的置信区间.,解,设,X,N,(,1,1,2,),Y,N,(,2,2,2,),查,t,分布表得,y,=,45479.,398,假定这两种仪器的测量值都服从正态分布,所以,1,-,2,的置信区间,(-,0.009,0.075,).,/,2,=0.,005,m,+,n,-,2=23,t,0.005,(,23,),=,2.,8073,将条件,代入分别得,x,=,45479.,431,用仪器乙独立地测量,n,=15次,得测量值的平均值,设同上,求参数,1,2,/,2,2,的置信水平为,1,-,的置信区间.,即得,1,2,/,2,2,的置信区间,(二),两个正态总体置信区间的求法,(,2,),未知,1,2,时,F,(,m,-,1,n,-,1,),对给定的置信度,1,-,查,F,分布表可得上侧分位数,由抽样分布定理知,2.方差比,1,2,/,2,2,的置信区间,F,/,2,(,m,-,1,n,-,1,),F,1,-,/,2,(,m,-,1,n,-,1,),求两总体方差比,1,2,/,2,2,的,置信水平为,0.90,的置信区间.,称重后所的样本方差分别为,s,x,2,=,0.0125,s,y,2,=,0.01,假定所装番茄酱的重量,X,与,Y,分别服从正态分布,N,(,1,1,2,),和,N,(,2,2,2,),解,由于,/,2,=0.,05,查,F,分布表得,例5,某厂用两条流水线生产番茄酱小包装,现从两条流水线上各随机抽取样本容量分别为,m,=6,n,=7,的样本,将条件代入得,1,2,/,2,2,的置信区间为,(,0.,2847,6.,1875,).,自由度,m,-,1=5,n,-,1=,6,主要根据,抽样分布Th,(,二,),两,个总体,由,的概率分布和置信水平