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,第,四章 图形初步与三角形,第,19,讲解直角三角形及其应用,知识点,1,锐角三角函数,1,.,定义：,如图，在,Rt,ABC,中，,C,90,，,BC,a,，,AC,b,，,AB,c,.,正弦：,sin,A,_,；,余弦：,cos,A,_,；,正切：,tan,A,_.,A,的对边,斜边,A,的邻边,斜边,A,的对边,A,的邻边,2,.,特殊角的三角函数值：,知识点,2,解直角三角形,如图，在,Rt,ABC,中，,C,90,，,BC,a,，,AC,b,，,AB,c.,知识点,3,解直角三角形的应用,1,.,相关概念：,2.,解直角三角形的应用的一般解题步骤：,运用解直角三角形解决实际问题时，要读懂题意，由实物图抽象出数学图形，把实际问题转化为直角三角形中的边角关系问题，具体步骤如下：,(1),根据题干中的信息准确识别示意图，弄明白图中哪些是已知量，哪些是未知量；,(2),寻找直角三角形，将已知条件转化为示意图中的边角关系，将所求线段通过等量代换转化在直角三角形中.若找不到直角三角形，则作辅助线构造直角三角形，常见添加辅助线的方法有两种：三角形作高法和梯形作高法；,(3),根据直角三角形元素之间的关系列关系式并求解；,(4),检验上述所求的解是否符合实际意义，同时注意题目对结果的精确度有无要求；,(5),作答.,考点,1,直角三角形的边角关系,考点精讲,1,.,(1),(2020,杭州,),如图，在,ABC,中，,C,90,，设,A,，,B,，,C,所对的边分别为,a,，,b,，,c,，则下列结论正确的是,(,),A,.,c,b,sin,B,B.,b,c,sin,B,C,.,a,b,tan,B,D.,b,c,tan,B,B,(2),(2020,聊城,),如图，在,45,的正方形网格中，每个小正方形的边长都是,1,，,ABC,的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么,sin,ACB,的值为,(,),A.,B.,C.,D.,D,1,.,作高法构造直角三角形求三角函数值：当所求三角函数对应的角不在直角三角形中时，可以通过作高线构造含有所求角的直角三角形，进而利用三角函数的定义求值.,2,.在网络中构造直角三角形：根据网格的特点，在网格中构造锐角所在的直角三角形，即将所求角转化到构造的直角三角形中.若直角顶点恰好在格点上，则可先运用勾股定理求出三角形的边长，再利用锐角三角函数的定义求解；若直角顶点不在格点上，则可先利用等积法、勾股定理等方法来求出相关边的长度，然后利用锐角三角函数的定义求解.,对点训练,1,.,如图，在,ABC,中，,CA,CB,4,，,cos,C,，则,AB,的长为,(),A.3,B.,C.,D.,C,2,.,(2020,南充,),如图，点,A,，,B,，,C,在正方形网格的格点上，则,sin,BAC,(),A.,B.,C.,D.,B,3,.,(2020,菏泽,),如图，在,ABC,中，,ACB,90,，,D,为边,AB,的中点，连接,CD,.,若,BC,4,，,CD,3,，则,cos,DCB,的值为,_.,考点,2,解直角三角形的应用,考点精讲,2,.,(2020,铜仁,),如图，一艘船由西向东航行，在,A,处测得北偏东,60,方向上有一座灯塔,C,，再向东继续航行,60,km,到达,B,处，这时测,得灯塔,C,在北偏东,30,方向上，已知在灯塔,C,的周围,47,km,内有暗礁，问这艘船继续向东航行是否安全？,【,思路分析,】,过点,C,作,CD,AB,于点,D,，,根据方向角的定义及余角的性质得出,BCA,BAC,30,，,ACD,60,，,从而根据等角对等边得出,BC,AB,60,km,，,然后解,Rt,BCD,，,求出,CD,即可,.,解：过点,C,作,CD,AB,，垂足为,D,.,根据题意可知,BAC,90,60,30,，,DBC,90,30,60.,DBC,ACB,BAC,，,BAC,30,ACB,，,BC,AB,60 km.,在,Rt,BCD,中，,CDB,90,，,DBC,60,，,CD,60sin60,60,30 (,km,),47 km,，,这艘船继续向东航行安全,.,对点训练,4,.某校在教学楼顶部新建了一块大型宣传牌，如图.小明同学为测量宣传牌的高度,AB,，站在距离教学楼底部,E,处,6,m,远的地面,C,处，测得宣传牌的底部,B,的仰角为,60,，同时测得教学楼窗户,D,处的仰角为,30(,点,A,，,B,，,D,，,E,在同一条直线上,),.然后，小明沿坡度,i,1,1.5,的斜坡从,C,处走到,F,处，此时,DF,正好与地面,CE,平行.,(1),求点,F,到直线,CE,的距离；,(,结果保留根号,),解：,(1),过点,F,作,FG,EC,于点,G,，,易得四边形,DEGF,是矩形，,FG,DE,.,由题意，得,CE,6,m,，,DCE,30,.,在,Rt,CDE,中，,DE,CE,tan,DCE,6tan30,，,FG,.,答：点,F,到直线,CE,的距离为,.,(2)若小明在F处又测得宣传牌顶部A的仰角为45，求宣传牌的高度AB.(结果精确到0.1 m，1.41，1.73),(2),斜坡,CF,的坡度,i,11,.,5,，,在,Rt,CFG,中，,CG,1,.,5,FG,1,.,52,3 (,m,),.,由,(1),知四边形,DEGF,是矩形，,DF,EG,CG,CE,(3,6),m,.,在,Rt,BCE,中，,BE,CE,tan,BCE,6tan60,(,m,),.,在,Rt,AFD,中，,AFD,45,，,AD,DF,(3,6),m,，,AB,AD,DE,BE,3,6,2,6,6,4,.,3(,m,),.,答：宣传牌的高度,AB,约为,4,.,3,m,.,命题点,1,直角三角形的边角关系,1,.,(,怀化中考,),在,Rt,ABC,中，,C,90,，,sin,A,，,AC,6 cm,，则,BC,的长为,(,),A,.,6 cm,B.7 cm,C.8 cm,D.9 cm,C,2,.,(,贵阳中考,),如图，,A,，,B,，,C,是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为,1,，则,tan,BAC,的值为,(,),A.,B.1,C.,D.,B,3,.,(2021,宜宾,),如图，在,ABC,中，,O,是,ABC,的角平分线,AD,，,BE,的交点.若,AB,AC,10,，,BC,12,，则,tan,OBD,的值是,(),A.,B,.,2 C.,D.,A,命题点,2,解直角三角形的应用,A,.,B,.,C,.,D,.,5,.,(2021,十堰,),如图，小明利用一个锐角是,30,的三角板测操场旗杆,EC,的高度，已知他与旗杆之间的水平距离,BC,为,15,m,，,AB,为,1.5,m,(,即小明的眼睛与地面的距离,),，那么旗杆,EC,的高度是,(),D,6.,(,黄石中考,),如图，一轮船在,M,处观测灯塔,P,位于南偏西,30,方向，该轮船沿正南方向以,15,海里,/,小时的速度匀速航行,2,小时后到达,N,处，再观测灯塔,P,位于南偏西,60,方向，若该轮船继续向南航行至灯塔,P,最近的位置,T,处，此时轮船与灯塔之间的距离,PT,为,_,海里,.(,结果保留根号,),7,.,(2021,襄阳,),如图，建筑物,BC,上有一旗杆,AB,，从与,BC,相距,20,m,的,D,处观测旗杆顶部,A,的仰角为,52,，观测旗杆底部,B,的仰角为,45,，求旗杆,AB,的高度.,(,结果精确到,0.1,m,，参考数据：,sin,52,0.79,，,cos,52,0.62,，,tan,52,1.28,，,1.41),解：在,Rt,BCD,中，,tan,BDC,，,BC,CD,tan,BDC,20tan45,20(,m,),.,在,Rt,ACD,中，,tan,ADC,，,AC,CD,tan,ADC,20tan52201,.,28,25,.,6(,m,),，,AB,AC,BC,25,.,6,20,5,.,6(,m,),.,答：旗杆,AB,的高度约为,5,.,6,8.,(2020,益阳,),沿江大堤经过改造后的某处横断面为如图所示的梯形,ABCD,，高,DH,12,米，斜坡,CD,的坡度,i,1,1.,此处大堤的正上方有高压电线穿过，,PD,表示高压线上的点与堤面,AD,的最近距离,(,点,P,，,D,，,H,在同一直线上,),，在点,C,处测得,DCP,26.,(1),求斜坡,CD,的坡角,；,解：,(1),斜坡,CD,的坡度,i,11,，,tan,DH,CH,11,1,，,45,.,(2),电力部门要求此处高压线离堤面,AD,的安全距离不低于,18,米，此次改造是否符合电力部门的安全要求？,(,参考数据：,sin260.44,，,tan260.49,，,sin710.95,，,tan712.90),(2),由,(1),可知,CH,DH,12,米,，,45,，,PCH,DCP,26,45,71,.,在,Rt,PCH,中,，,tan,PCH,2,.,90,，,解得,PD,22,.,8,米,.,22,.,8,18.,答：此次改造符合电力部门的安全要求,.,9,.,(2020,遵义,),构建几何图形解决代数问题体现了“数形结合”思想的重要意义.在计算,tan,15,时，如图，在,Rt,ACB,中，,C,90,，,ABC,30,，延长,CB,使,BD,AB,，连接,AD,，得,D,15,，所以,类比这种方法，计算,tan,22.5,的值为,(,),A.B.,C.,D.,B,
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