专转本高数第七章第七节二重积分

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,专转本高数第七章第七节二重积分,播放,求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、取极限的方法，如下动画演示,2,步骤如下：,用假设干个小平顶柱体体积之和近似表示曲顶柱体的体积，,先分割曲顶柱体的底，并取典型小区域，,曲顶柱体的体积,分割,求和,极限,3,2、二重积分的定义,4,积分区域,积分和,被积函数,积分变量,被积表达式,面积元素,即,5,在,直角坐标系,下用平行于坐标轴的直线网来划分区域,D,，,故二重积分可写为,D,那么面积元素为,6,3、二重积分的性质,下面假定,f,(,x,y,),g,(,x,y,),在闭区域,D,上连续,A,为,D,的面积.,性质2 线性性质,这里,A,为,D,的面积.,性质1,7,性质4,性质3 区域可加性,推论1,推论2,8,性质5 估值性质,证,所以,于是,9,性质6(二重积分的中值定理),证,由性质5知,即得证。,10,a,b,x,y,o,如果积分区域为,D,：,其中函数 、 在区间 上连续.,1、在,直角坐标系,下计算二重积分,二、二重积分的计算,11,应用计算“平行截面面积为的立体求体积的方法,12,积分区域为：,一般地，, 先对,y,积分，后对,x,积分的,二次积分,记为,a,b,x,y,o,13,d,x,y,o,c,如果积分区域为：, 先对,x,积分，后对,y,积分的二次积分,14,将,化为二次积分,其中,D,由直线,围成。,解法,1,先画出积分区域,D,，,将,D,向,y,轴投影，,先,x,后,y,例1,x,y,o,15,x,y,o,解法,2,先,y,后,x,将,D,向,x,轴投影,16,计算,其中,D,由直线,解,先画出积分区域,D,，,先,y,后,x,将,D,向,x,轴投影，,例2,围成,。,17,解,例3,先求两曲线的交点,先对,y,积分，,18,解,例4,19,解,例5,先,x,后,y,两曲线的交点,20,解,例5,两曲线的交点,选择积分次序的原那么：,假设选择先 y 后 x ,(1),积分容易；,(2),尽量,少分块,或不分,块.,麻烦。,21,解,例6,22,解,积分区域为,将,D,向,y,轴投影,改变积分,的次序,.,例7,23,解,设,那么,例8,交换下面积分的次序:,24,设,将,D,向,y,轴投影,25,例9,交换下面积分的次序:,26,利用对称性简化二重积分的计算,设积分区域,D,关于,y,轴对称，,y,x,o,x,-,x,(1) 假设f(x,y)关于 x 是奇函数，那么有,(2) 假设f(x,y)关于x 是偶函数，,那么有,其中 是,D,的右半区域。,27,利用对称性简化二重积分的计算,设积分区域,D,关于,x,轴对称，,(1) 假设f(x,y)关于 y 是奇函数，那么有,(2) 假设f(x,y)关于x 是偶函数，,那么有,其中 是,D,的上半区域。,y,x,o,28,例10,设有平面区域,解,o,x,y,29,解,o,x,y,选(,A).,30,例11,求二重积分,解,o,x,y,区域,D,分别对称于,x,轴和,y,轴，,31,2、在,极坐标系,下计算二重积分,在下述两种情况下,往往利用极坐标来计算二重积分：,1)当积分区域,D,为圆域、环域或扇形域等时,D,的边界用极坐标表示较为简单；,2)被积函数具有 等形式时,用极坐标积分较为容易.,直角坐标与极坐标的转换关系为：,32,所以面积元素为,33,二重积分化为极坐标下二次积分的公式,区域特征如图,34,解,例12,在极坐标系下,x,y,o,35,例13,解,区域,D,关于,y,轴对称，,用极坐标，,x,y,o,36,x,y,o,37,例14,解,直接做麻烦, 化为极坐标,38,例15,解,所以,在极坐标系下,圆方程为,直线方程为,39,解,计算二重积分,例16,由区域的对称性和函数的奇偶性，,可只考虑第一象限局部，,x,y,o,40,解法1,例17,x,y,o,41,所以,42,x,y,o,解法2,例17,用直角坐标系，,先对,x,积分，,43,所以,44,例18,解,45,练习：,P324,习题七,46,求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、取极限的方法，如下动画演示,47,求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、取极限的方法，如下动画演示,48,求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、取极限的方法，如下动画演示,49,求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、取极限的方法，如下动画演示,50,求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、取极限的方法，如下动画演示,51,求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、取极限的方法，如下动画演示,52,