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单击此处编辑母版标题样式,一、数学期望的概念,三、数学期望的性质,二、随机变量函数的数学期望,四、小结,第一节 数学期望,引例1,分赌本问题(产生背景),A, B,两人赌技相同, 各出,赌金100元,并约定先胜三局者为,胜, 取得全部 200 元.由于出现意,外情况 ,在,A,胜 2 局,B,胜1 局时,不得不终止赌博, 如果要分赌金,该如何分配才算公平?,一、数学期望的概念,A,胜 2 局,B,胜 1 局,前三局:,后二局:,把已赌过的三局(,A,胜2局,B,胜1局,)与上述结果,相结合,即,A,、,B,赌完五局,A A,A,B,B,A,B B,A,胜,B,胜,分析,假设继续赌两局,那么结果有以下四种情况:,A A,A,B,B,A,B B,A,胜,B,负,A,胜,B,负,A,胜,B,负,B,胜,A,负,B,胜,A,负,A,胜,B,负,B,胜,A,负,B,胜,A,负,因此, A 能“期望得到的数目应为,而B 能“期望得到的数目, 那么为,故有, 在赌技一样的情况下,A,B,最终获胜的,可能性大小之比为,即,A,应获得赌金的 而,B,只能获得赌金的,因而A期望所得的赌金即为X的 “期望值,等于,X,的可能值与其概率之积的累加,.,即为,假设设随机变量 X 为:在 A 胜2局B 胜1局的前提,下, 继续赌下去 A 最终所得的赌金.,那么X 所取可能值为:,其概率分别为:,设某射击手在同样的条,件下,瞄准靶子相继射击90次,(命中的环数是一个随机变量).,射中次数记录如下,引例,2,射击问题,试问:该射手每次射击平均命中靶多少环,命中环数,k,命中次数,频率,解,平均射中环数,设射手命中的环数为随机变量,Y,.,平均射中环数,频率随机波动,随机波动,随机波动,稳定值,“平均射中环数的稳定值,“平均射中环数等于,射中环数的可能值与其概率之积的累加,1. 离散型随机变量的数学期望,分赌本问题,A,期望所得的赌金即为,X,的数学期望,射击问题,“平均射中环数应为随机变量Y 的数学期望,关于定义的几点说明,(3) 随机变量的数学期望与一般变量的算,术平均值不同.,(1) E(X)是一个实数,而非变量,它是一种加,权平均,与一般的平均值不同 , 它从本质上表达,了随机变量 X 取可能值的真正的平均值, 也称,均值.,(2),级数的绝对收敛性,保证了级数的和不,随级数各项次序的改变而改变 , 之所以这样要,求是因为数学期望是反映随机变量,X,取可能值,的平均值,它不应随可能值的排列次序而改变.,随机变量,X,的算术平均值为,假设,它从本质上表达了随机变量X 取可能值的平均值.,当随机变量,X,取各个可能值是等概率分布时 ,X,的期望值与算术平均值相等.,试问哪个射手技术较好,实例1 谁的技术比较好,乙射手,甲射手,解,故甲射手的技术比较好.,实例,2,发行彩票的创收利润,某一彩票中心发行彩票 10万张, 每张2元. 设头等奖1个, 奖金 1万元, 二等奖2个,奖金各 5 千元;三等奖 10个, 奖金各1千元; 四等奖100个, 奖金各100元; 五等奖1000个, 奖金各10 元.每张彩票的本钱费为 0.3 元, 请计算彩票发行单位的创收利润.,解,设每张彩票中奖的数额为随机变量,X,那么,每张彩票平均可赚,每张彩票平均能得到奖金,因此彩票发行单位发行 10 万张彩票的创收利润为,实例3 如何确定投资决策方向,某人有10万元现金，想投资于某工程，预估成功的时机为 30%，可得利润8万元 ， 失败的时机为70%，将损失 2 万元假设存入银行，同期间的利率为5% ，问是否作此项投资,解,设 X 为投资利润，那么,存入银行的利息:,故应选择投资.,2.连续型随机变量数学期望的定义,解,因此, 顾客平均等待5分钟就可得到效劳.,实例4 顾客平均等待多长时间,设顾客在某银行的窗口等待服务的时间,X,(,以分计,),服从指数分布,其概率密度为,试求顾客等待服务的平均时间,?,1. 离散型随机变量函数的数学期望,解,二、随机变量函数的数学期望,设随机变量,X,的分布律为,那么有,因此离散型随机变量函数的数学期望为,假设 Y=g(X), 且,那么有,2. 连续型随机变量函数的数学期望,假设 X 是连续型的,它的分布密度为 f (x) , 那么,3. 二维随机变量函数的数学期望,解,实例,5,设 (,X,Y,) 的分布律为,由于,实例,6,解,实例,7,解,因此期望所得为,1. 设,C,是常数, 则有,证明,2. 设 X 是一个随机变量,C 是常数, 那么有,证明,例如,三、数学期望的性质,4. 设 X, Y 是相互独立的随机变量, 那么有,3. 设 X, Y 是两个随机变量, 那么有,证明,说明,连续型随机变量,X,的数学期望与离散型随机变量数学期望的性质类似.,解,实例,8,四、小结,数学期望是一个实数, 而非变量,它是一种加权平均, 与一般的平均值不同,它从本质上表达了随机变量 X 取可能值的真正的平均值.,2. 数学期望的性质,思考问题1,商店的销售策略,思考问题2,分组验血,精品课件,！,精品课件,！,到站时刻,概率,思考问题3,
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