第14章市场风险VaR历史模拟法

,Click to edit Master title style,Click to edit Master text styles,Second level,Third level,Fourth level,Fifth level,Risk Management and Financial Institutions 3e, Chapter 14, Copyright John C. Hull 2012,9.,#,第,14,章,1,市场风险,VaR:,历史模拟法,1.1,历史模拟法思路介绍,总思路：以历史数据为依据构造未来的假设干种情形，以到时预测将来的目的。,如何构造各种情景：,第一个模拟场景是假设未来一天的市场所以变量变化同第一天的变化一样。,情景1,2,1.1 历史模拟法思路介绍续,第二个模拟场景是假设未来一天的市场所以变量变化同第二天的变化一样。,情景2,以此类推。,3,1.1 历史模拟法思路介绍 续,通过给予每一个情景同样的概率1/n可以得到我们所关心的变量第n+1天可能值,的经历分布。,最后通过经历分布计算其风险价值度VaR,4,1.2,拟合过程说明,5,1.2.0，以DJIA2021年9月25日为例说明情景如何构造,求：投资9月26日99%的VaR？,Day,Date,DJIA,Day,Date,DJIA,0,Aug 7, 2006,11,219.38,3,Aug 10, 2006,11,124.37,1,Aug 8,2006,11,173.59,4,Aug 11, 2006,11,088.02,2,Aug 9, 2006,11,076.18,5,Aug 14, 2006,11,097.87,.,.,497,Sep 19 2008,11,388.44,499,Sep 24, 2008,10,825.17,498,Sep 22, 2008,11,015.69,500,Sep 25, 2008,11,022.06,1.2,拟合过程说明,6,例： 2021年9月25日有如下的投资,求：投资9月26日99%的VaR？,Index,Amount Invested ($000s),DJIA,4,000,FTSE 100,3,000,CAC 40,1,000,Nikkei 225,2,000,Total,10,000,1.2,拟合过程说明,7,采用历史模拟法，我们需要哪些数据？,Day,Date,DJIA,FTSE,CAC 40,Nikkei,0,Aug 7, 2006,11,219.38,11,131.84,6,373.89,131.77,1,Aug 8,2006,11,173.59,11,096.28,6,378.16,134.38,2,Aug 9, 2006,11,076.18,11,185.35,6,474.04,135.94,3,Aug 10, 2006,11,124.37,11,016.71,6,357.49,135.44,.,.,499,Sep 24, 2008,10,825.17,9,438.58,6,033.93,114.26,500,Sep 25, 2008,11,022.06,9,599.90,6,200.40,112.82,1.2.1,第一步由历史数据构造情景,8,情景编号,DJIA,FTSE,CAC,Nikkei,投资组合价值,损失,1,10,977.08,9,569.23,6,204.55,115.05,10,014.334,-14.334,2,10,925.97,9,676.96,6,293.60,114.13,10,027.481,-27,481,3,11,070.01,9,455.16,6,088.77,112.40,9,946.736,53,264,.,.,.,.,.,.,499,10,831.43,9,383.49,6,051.94,113.85,9,857.465,142.535,500,11,222.53,9,763.97,6,371.45,111.40,10,126.439,-126.439,1.2.2 把构造的损失进展排序,9,情景编号,损失,($000s),494,477.841,339,345.435,349,282.204,329,277.041,487,253.385,227,217.974,131,205.256,从上表可以得知：,1,天,99,%,的,VaR=$253,385,2.1 关于VaR的准确度,在历史模拟法中，对于交易组合价值变化分布的计算是基于过去发生的有限的观察值，正因如此，历史模拟法对于分布的分位数的估计并不是绝对准确。,肯德尔Kendall及斯图尔特Stuart的研究成果给出了由抽样数据计算出的概率分布的分位数的置信区间。,10,2.1 VaR,的估计量的标准差,假定概率分布的第 q 个分位数的估计值为 x ，n 为观察值的个数，这一估计的标准差为,其中，f(x) 为对应于损失量为 x 的损失分布的密度函数值，这一函数值可以通过将经历数据与标准分布进展匹配来估计。,11,2.2,例,14.1,假设采用历史模拟法从500个观测值中求取的0.99分位数的估计值为 2 500万美元,我们可以采用标准分布来对经历分布进展匹配，并由此求得f(x)的近似值。假定经历分布服从正态分布，其期望值为0，标准差为1 000万美元,在Excel中，0.99分位数所对应的数值为NORMINV(0.01,0,10) = 2 326 万(美元)， f(x) 的数值为NORMDIST(23.26,0,10,FALSE)=0.0027,因此，0.99分位数估计值的标准差为,12,3.,历史模拟法的扩展形式,历史模拟法的一个关键假设过去几年的收益率是同分布即分布是静止不变的,但是市场变量并非静态，有时市场的波动率会很高，有时很低。,因此，有必要进展改进。,13,3.1 对观测值设定权重对最后一步进展改进,一种较为自然的权重选择是使地权重随时 间回望期的延伸而按指数速度递减,将所有的观察值由最坏到最好进展排序,由损失最坏的情形开场，我们开场累积计算每一项权重的和，当权重总和到达某指定分位数界限时，停顿计算,14,3.1.1,将新方法用于上述例,15,情景编号,($000s),权重,累积权重,494,477.841,0.00528,0.00528,339,345.435,0.00243,0.00771,349,282.204,0.00255,0.01027,329,277.041,0.00231,0.01258,487,253.385,0.00510,0.01768,227,217.974,0.00139,0.01906,131,205.256,0.00086,0.01992,令,l,=0.995,，使用新方法可得,1,天,99,%,的,VaR=$,282,204.,3.2,扩展,2,-,考虑波动率的更新,将市场变量波动率的更新,模式，,与历史模拟法并用。,假定第,i,天的波动率是第,i,-1,天波动率,的两倍，,因此可以预见今天到明天的变化量也应该是从,第,i,- 1,天,到第,i,天,变化,量的两倍,。,市场,变量在,第,i,个,情形会,变成,16,3.2.1,在,4,指数例子中，利用,EWMA,模型估计出的波动率,(%,每天,),17,Day,Date,DJIA,FTSE,CAC 40,Nikkei,0,Aug 7, 2006,1.11,1.42,1.40,1.38,1,Aug 8,2006,1.08,1.38,1.36,1.43,2,Aug 9, 2006,1.07,1.35,1.36,1.41,3,Aug 10, 2006,1.04,1.36,1.39,1.37,.,499,Sep 24, 2008,2.21,3.28,3.11,1.61,500,Sep 25, 2008,2.19,3.21,3.09,1.59,经波动率调节的500个情景的、 由高到低进展排序后的损失,18,情景编号,损失,($000s),131,1,082.969,494,715.512,227,687.720,98,661.221,329,602.968,339,546.540,74,492.764,3.3,采用自助法计算估计值置信区间,假定有500个数据,我们可以采用再替换的形式对数据进展抽样500000次，由此可以 产生1000组500天的数据，对于每一组数据我们可以进展VaR的运算,对于计算值我们从小到大 进展排列，假设名列第25位的值为530万美元，名列第475位的值为890万美元，那么对应于95%置信水平的置信区间为530万890万,这就是统计自助法,19,4.,计算问题,为了防止交易组合价值的屡次重复计算，金融机构有时会使用 delta/gamma 近似方法,当一个产品的价格 P 依赖于单一市场变量, S, 由 S 的变化而引起的价格变化可近似估计为,20,5.,极值理论,极值理论可以描述一个变量 x 的经历概率分布的右尾部状态. (如果要描述左尾部状态，我们可以使用变量 x.,我们先选择右端尾部的一个数值 u,我们可以使用 Gnedenko 的结论：随着分布 u 的增加，,趋向于广义Pareto分布。,21,广义,Pareto,分布,22,广义,Pareto,分布有两个参数,x (,有关分布的形状,),和,b (,分布的规模因子,),广义,Pareto,分布的累计分布函数为,参数,的,最大似然估计,23,我们将所有大于 u 的观察值 xi,按从大到小进展排序。假设有 nu 个观测值比 u 大。,我们采用使得,最大的x 和 b 作为最大似然法估 计的参数,对,4,指数的例子使用最大似然估计法,u,=160,24,情景编号,损失,($000s),排序,494,477.841,1,-8.97,339,345.435,2,-7.47,349,282.204,3,-6.51,329,277.041,4,-6.42,487,253.385,5,-5.99,304,160.778,22,-3.71,总计,-108.37,尾部概率,25,在,vu,条件下，,vu+y,的概率分布为,v u,的,概率分布,为,因此,vx,(,xu,),的无条件概率分布为,尾部概率,26,如果n为观察值的总数量，由经历数据所得出的对于1-F(u)的估计值为,因此，vx 的无条件概率为,与幂律的等价性,令u=/, 那么根据幂律,其中,27,使用极值理论估计,VaR,为了计算对应于置信水平,为,q,的,VaR,，,我们需要对以下方程,求解,F(VaR)=q,因为,F(x)=1-Prob(vx),，可得,因此,28,