常微分方程期末辅导

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,*,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,一、根本概念,1、常微分方程和偏微分方程,2、线性和非线性微分方程,3、解和隐式解,4、通解和特解,5、积分曲线和方向场,微分方程就是联系着自变量、未知函数以及它的导数的关系式。如果在微分方程中，自变量的个数只有一个，那么称这种微分方程为常微分方程；自变量的个数为两个或两个以上的微分方程称为偏微分方程。,如,是常微分方程；,是偏微分方程；,1,、常微分方程和偏微分方程,如果方程,的左端为,的一次有理整式，那么称方程为n阶线性微分方程。一般的n阶线性微分方程具有形式,这里,是,的函数。,2,、线性和非线性微分方程,是二阶线性微分方程；,如,是一阶非线性微分方程,如,不是线性方程的方程称为,非线性方程,。,3,、解和隐式解,如果函数,代入方程,后，能使它变为恒等式，那么称函数,为方程的,解,。,如,满足方程,所以是,该方程的解。,是,如果关系式,决定的隐函数,方程,的解，那么称,是方,程的,隐式解,。,如,是方程,的隐式解。,4,、通解和特解,把含有,n,个独立的任意常数,的解,称为,n,阶方程,的,通解,。把满足初始条件的解称为微分方程的,特解,。,初始条件即指,5,、积分曲线和方向场,一阶微分方程,的解,代表,x-y,平面,上的一条曲线，我们称它为微分方程的,积分曲线,。,曲线，那么称这族曲线为积分曲线族。,而微分方程的通解,对应于,x,-,y,平面上的一族,设函数,的定义域为,D,。在每一点,处画,上一个小线段，其斜率等于,。我们把带有这种,直线段的区域,D,称为由一阶微分方程,规定的,方向场,。,二、 一阶微分方程的初等解法,变量别离方程、一阶线性微分方程、贝努利方程、全微分方程、一阶隐式微分方程等,变量分离方程,线性方程,伯努利方程,坐标平移,齐次方程,网络作业,1,给定一阶微分方程,1求出它的通解；,2求通过点2，3的特解；,3求出与直线 相切的解；,4求出满足条件 的解。,作业,1,作业,2,求以下方程的解。,1,2,作业,3,三、 一阶微分方程的解的存在定理,1,、一阶微分方程的解的存在定理与逐步逼近法,2,、解的一些性质,那么方程 (1) 存在唯一的解,如果,在,上连续且关于,满足利普希茨,条件，,定义于区间,上，连续且满足初始条,这里,，,定理1存在唯一性定理,件,命题,1,设,是方程,(1),的定义于区间,上，满足初始条件,(2),的解，,是积分方程,(3),的定义于,上的连续解。反之亦然。,那么,接下来取,，构造皮卡逐步逼近函数,序列如下：,(4),命题,2,对于所有的,，,(4),中函数,在,上有定义、连续且满足不等式,(5),命题,3,函数序列,在,上是一致收敛的。,现设,那么,也在,上连续，且,命题,4,是积分方程,(3),的定义于,上的连续解。,命题,5,设,是积分方程,(3),的定义于,上的一个连续解，那么,，,。,的边界。,右端的函数,在有界区域,中连续，且在,内关于,满足局部利普希茨条件，那末方程,内任何一点,的解,延拓，直到点,任意接近区域,以向,增大的一方的延拓来说，如果,只能延拓到区间,上，那么当,时，,趋于,解的延拓定理,如果方程,的通过,可以,的边界。,可以延拓，以向,推论,如果,是无界区域，在上面解的延拓,定理的条件下，方程 的通过点,的,解,拓来说，有下面的两种情况：,或,增大的一方的延,1解,可以延拓到区间,；,2解,只可以延拓到区间,，,其中,为有限数，那么当,时，或者,无界，或者点,趋于,的边界。,网络作业,2,作业,4,作业,5,解对初值的连续依赖定理,3,、解的一些性质,解对初值的连续性定理,解对初值和参数的连续依赖定理,解对初值和参数的连续性定理,解对初值的可微性定理,四、高阶微分方程,本章着重介绍了线性微分方程的根本理论和求解方法，主要结论可概括如下：,一 关于解的性质,线性方程的解的性质，主要是：,1齐线性方程的解的叠加性,齐线性方程,(*),定理2叠加原理如果,是方程,(*),的,个解，那么它们的线性组合,也是,(*),的解，,这里,是任意常数。,特别地，当,时，即方程,(*),有解,2非齐线性方程的叠加性：,(*),定理6通解构造定理如果,是方程,(*),的,的通解可表为,个线性无关的解，那么方程*,其中,是任意常数,且此通解,包括了方程,(*),的所有解。,由定理6及其推论可得下面性质3和4。,推论,方程,(*),的线性无关解的最大个数等于,n,。,性空间；,3,阶齐线性方程的所有解构成一个,4根本解组的以任意常数为系数的线性组合构成齐线性方程的通解；,5非齐线性方程的通解可表为它的一个特解与对应齐线性方程的通解之和，这就是定理7。,维线,定理,7,设,为方程,(*),的,根本解组，而,那么方程(*)的通解可表为,其中,为任意常数,而且这个通解,包括了方程(*)的所有解。,由定理6和定理7，即得下面性质6：,6线性方程的通解包括了该方程的所有解。,以上这些性质是线性方程所特有的。,是方程,(*),的某一个解，,二关于求解的方法,关于线性方程的解法，我们主要介绍了四种较常用的方法，它们是：,1求常系数齐线性方程的根本解组的特征根法或欧拉特定指数函数法；,2求常系数非齐线性方程的特解的待定系数法；,3求一般非齐线性方程的特解的常数变易法；,4求一般二阶齐线性方程的特解的幂级数法。,特征根法,的要点是把微分方程的求解问题化为代数方程的求根问题；,待定系数法,用于方程的右端,数的情况，常见的有：多项式、指数函数、正弦或余弦函数以及它们的某种乘积组合。待定系数法和特征根法的特点就在于不需通过积分运算，而只要解代数方程或加上微分运算即可求得微分方程的解。这是常系数线性微分方程所固有的这种特性。,幂级数解法的思想和待定系数法有类似之处，所不同者，前者待定的是级数的系数，因而通常计算量较大。,是某些根本函,作业,6,网络作业,3,作业,7,求解以下微分方程,1,、,线性微分方程组的解的存在定理,(1.1),考察形如,的一阶线性微分方程组，其中函数,和,在区间,上是连续的。方程组,(1),关于,及,是线性的。,二、 线性微分方程组,我们引进下面的记号：,(1.2),这里,是,矩阵，它的元素是,个函数,。,(1.3),这里,是,矩阵或,维列向量。,这样一来，方程组,(1),可以写成下面的形式,(1.4),其中,，,是区间,函数，,上的连续,，,是常数。我们指出，它,可以化为以下线性微分方程组(1.6)的初值问题:,考虑,阶线性微分方程的初值问题,(1.5),(1.6),其中,值得指出的是：每一个,化为,阶线性微分方程可,却不成立。例如方程组,个一阶线性微分方程构成的方程组，反之,不能化为一个二阶微分方程。,可见，初值问题,(1.5),与,(1.6),在下面的意义下是,等价的,：给定其中一个初值问题的解，我们可以构造另一个初值问题的解。,定理1存在唯一性定理 如果,是,矩阵，,是,维列向量，它们都在区间,那么对于区间,上的任何数,及任一常数向量,上连续，,方程组,存在唯一解,，,定义于整个区间,上，且满足初始条件,推论,（即第四章的定理,1,）如果,，,都是区间,上的连续函数，,则对于区间,上的任何数,及任何的,，方程,存在唯一解,，定义于整个区间,上且满足初始条件：,。,的一般理论，主要研究它的解的构造问题。,2,、线性微分方程组的一般理论,现在讨论线性微分方程组,(2.1),如果,，那么(2.1)称为非齐线性的。,如果,，那么方程的形式为,(2.2),称为,齐线性的,。通常,(2.2),称为,对应于,(2.1),的齐线性方程组,。,我们主要研究齐线性方程组,(1),齐线性方程组,在区间,上是连续的。,的所有解的集合的代数构造问题。我们假设矩阵,几个概念:,线性相关、线性无关、伏朗斯基行列式、,根本解组 、解矩阵、基解矩阵,定义,设有,个定义在区间,上的向量函数,，,，,由这,个向量函数构成的行列式,称为这些向量函数的,伏朗斯基行列式,。,的任一解,(2.2),的,定理,6,（通解结构定理）,如果,个线性无关的解，则方程,(2.2),均可表为,其中,是相应的确定常数。,是方程,推论,1,(2.2),的线性无关解的最大个数等于,。,定义,3,(2.2),的,个线性无关的解,称为(2.2)的一个根本解组。显然，(2.2)具有无穷,多个不同的根本解组。,由定理,5,和定理,6,可知，,(2.2),的解空间的维数是,n,。因此可得结论：,(2.2),的所有解的集合构成一个,n,维线性空间。,推论,2,如果,是,阶微分方程,(2.3),是,个线性无关解，其中,是区间,上的连续函数，则,(2.3),的任一解,均可表为,，,是相应的确定常数。,下面我们将本节的定理写成矩阵的形式：,这里,定义,如果一个,矩阵的每一列都是,的解，那么称这个矩阵为(2.2)的解矩阵。,它的列在,上是线性无关的解矩阵称为在,上的,基解矩阵,。我们用,表示由,(2.2),的,个线性无关的解,定理,5,和定理,6,即可表述为如下的定理,作为列构成的基解矩阵。,。,定理,(2.2),一定存在一个基解矩阵,如果,是,(2.2),的任一解，那末,这里,c,是确定的,n,维常数列向量。,定理,(2.2),的一个解矩阵,是基解矩阵,的充要条件是,。而且，如果,对某一个,，,，那么,，,。,表示矩阵,的行列式。,(2.4),2非齐线性微分方程组,主要讨论非齐线性微分方程组,的解的构造问题，这里,上的,连续矩阵，,是区,上的,维连续列向量。向量,通常称为强迫项，因为如果,(2.1),描述一个力学,系统，,就代表外力。,是区间,间,我们首先讨论非齐线性微分方程组,(2.1),和与它对应的齐线性方程组,(2.2),之间的关系。,容易验证,(2.1),的两个简单性质：,性质,1,如果,是,(2.1),的解，,对应的齐线性方程组(2.2)的解。那么,是,(2.1),+,是,(2.1),的解。,性质,2,如果,和,是(2.1)的两个解，那么,为对应的齐线性方程组,(2.2),的解。,下面的定理7给出非齐线性方程组(2.1)的解的构造。,定理,7,设,是,(2.2),的基解矩阵，,的某一解，那么(2.1)的任一解,是,(2.1),都可表为,(2.5),这里,数列向量。,是确定的常,=,+,定理,7,告诉我们，为了寻求,(2.1),的任一解，只要知道,(2.1),的一个解和它对应的齐线性方程组,(2.2),的基解矩阵。现在我们还要进一步指出，在已经知道,(2.2),的基解矩阵 的情况,下，有一个寻求,(2.1),这个方法就是,常数变易法,。,定理,8,如果,是,(2.2),的基解矩阵，,那么向量函数,是,(2.1),的解，且满足初始条件,的解 的简单方法。,这里,是,(2.2),的满足初始条件,的解。公式,(2.6),称为非齐线性微分方程,组,(2.1),的,常数变易公式,。,由定理,7,和定理,8,容易看出，,(2.1),的满足初始条,件,的解,由下面公式给出,=,+,(2.6),的基解矩阵的构造,这里,是,常数矩阵。我们通过代数的方法，寻求,(3.1),的一个基解矩阵。,这一节我们研究常系数线性微分方程组的问题，主要是讨论齐线性微分方程组,(3.1),3,、常系数线性微分方程组,1矩阵指数,如果,是一个,常数矩阵，我们定义矩阵,指数,或写做,为下面的矩阵级数的和,(3.2),其中,为,阶单位矩阵，,是矩阵,的,这里我们规定,。这个级数,对于所有的,都是收敛的,因而，,是一个确,定的矩阵。,次幂。,定理,1,矩阵,(3.7),是,的基解矩阵，且,。,(3.1),2,为了计算,(3.1),的基解矩阵,我们引进矩阵的特征值和特征向量的概念。,定义,假设,A,是一个,常数矩阵，使得关于,u,的线性代数方程组,具有非零解的常数,称为,A,的一个,特征值,。,(3.8),的对应于任一特征值,的非零解,u,称,为,A,的,对应于特征值,的特征向量,。,(3.1),基解矩阵的计算公式,一个,矩阵最多有,n,个线性无关的特征向量。,当,A,具有,n,个线性无关的特征向量时，特别当,A,具有,n,个不同的征值时，下面定理给出微分方程组,(3.1),的基解矩阵的计算方法。,定理,1,如果矩阵,A,具有,n,个线性无关的特征向量,它们对应的特征值分别为,不必各不一样，那么矩阵,是常系数线性微分方程组,(3.1),的一个基解矩阵。,一般来说，定理中的,不一定是,但由推论可知，,矩阵时，,的基解矩阵。,假设,满足,从而方程,(3.1),满足,的解为,(3.1),接下来给出当,A,是任意,分别为矩阵,A,的,特征值。,其中,重不同,作业,8,将下面的初值问题化为与之等价的一阶方程组的初值问题,:,作业,9,2.,谢谢大家！,