数学修5配套课件24

单击此处编辑母版标题样式,*,3.3.4,简单线性规划问题的实际应用,【,学习目标,】,1.,从实际情境中抽象出简单的线性规划问题，建立数学模,型,.,2.,掌握线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单,的实际问题,.,线性规划的理论和方法主要用于解决以下两类问题：一是,在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何使用它们来完,成最多的任务；二是给定一项任务，如何合理安排和规划，能,以最少的人力、财力、物力、资金等资源来完成该项任务,.,线性规划解应用题的一般步骤,x,，,y,，,z,约束条件,(1),设出,_,；,(2),列出,_,，确定,_,；,(3),画出,_,；,目标函数,可行域,(4),作目标函数表示的一族平行直线，使其中某条直线与,_,有交点，且使其截距最大或最小；,(5),判断,_,，求出目标函数的,_,，并回到原,问题中作答,.,可行域,最优解,最值,z,6,x,4,y,练习：,有,5,辆,6,吨的汽车，,4,辆,4,吨的汽车，要运送最多,的货物，完成这项,运输任务的线性目标函数为,_.,【,问题探究,】,1.,简单线性规划在实际生产生活中主要解决哪些问题？,答案：,简单的线性规划在实际生产生活中应用非常广泛，,主要解决的问题是：在资源的限制下，如何使用资源来完成最,多的生产任务；或是给定一项任务，如何合理安排和规划，能,以最少的资源来完成，如常见的任务安排问题、配料问题、下,料问题、布局问题、库存问题，通常解法是将实际问题转化为,数学模型，归结为线性规划，使用图解法解决,.,2.,应用线性规划的图解方法，应具备哪些条件？,答案：,线性规划问题一般用图解法，其步骤如下,：,(,1),根据题意，设出变量,x,，,y,；,(2),找出线性约束条件；,(3),确定线性目标函数,z,f,(,x,，,y,),；,(4),画出可行域,(,即各约束条件所示区域的公共区域,),；,(5),利用线性目标函数作平行直线系,f,(,x,，,y,),t,(,t,为参数,),；,(6),观察图形，找到直线,f,(,x,，,y,),t,在可行域上使,t,取得欲求,最值的位置，以确定最优解，给出答案,.,题型,1,资源配,置问题,【例 1】某工艺品加工厂准备生产具有收藏价值的奥运会,标志“中国印 舞动的北京和奥运会桔祥物“福,娃.该厂所用的主要原料为 A，B 两种贵重金属，生产一,套奥运会标志需用原料 A 和原料 B 的量分别为 4 盒和 3 盒，生,产一套奥运会桔祥物需用原料 A 和原料 B 的量分别为 5 盒和 10,盒.假设奥运会标志每套可获利 700 元，奥运会桔祥物每套可获利,1200 元，该厂月初一次性购进原料 A，B 的量分别为 200 盒和,300 盒.问该厂生产奥运会标志和奥运会桔祥物各多少套才能使,该厂月利润最大，最大利润为多少？,思维突破：将文字语言转化为数学式子建立线性规划模型.,解：设该厂每月生产奥运会标志和奥运会桔祥物分别为x，,y 套，月利润为z 元，由题意，得,作出可行域如图,D19,所示,图,D19,目标函数为,z,700,x,1200,y,.,将点 A(20,24)代入 z700 x1200y，,得 zmax7002012002442 800(元).,答：当该厂生产奥运会标志和桔祥物分别为 20,24 套时，,月利润最大，最大利润为 42 800 元.,糖果种类,混合,烹调,包装,A,1,5,3,B,2,4,1,【,变式与拓展,】,1.,某糖果厂生产,A,，,B,两种糖果，,A,种糖果每箱获利润,40,元，,B,种糖果每箱获利润,50,元，其生产过程分为混合、烹调、,包装三道工序，下表为每箱糖果生产过程中所需平均时间,(,单,位：分钟,).,每种糖果的生产过程中，混合的设备至多能用,12,小时，烹,调的设备至多只能用机,30,小时，包装的设备只能用,15,小时，,试求每种糖果各生产多少箱可获得最大利润,.,求目标函数,z,40,x,50,y,的最大值，作出可行域,(,如图,D22),，其边界,OA,：,y,0,，,AB,：,3,x,y,900,0,，,BC,：,5,x,4,y,1800,0,，,CD,：,x,2,y,720,0,，,DO,：,x,0.,图,D22,z,max,4012,0,50300,19 800.,即生产,A,种糖果,120,箱，生产,B,种糖果,300,箱，可得最大,利润,19 800,元,.,燃料种类,产品,A,产品,B,产品,C,燃料甲,/,吨,10,7,5,燃料乙,/,吨,5,9,13,题型,2,降低资,源消耗问题,【,例,2,】,某工厂利用两种燃料生产三种不同的产品,A,，,B,，,C，每消耗一吨燃料与产品 A，B，C 有以下关系：,现知每吨燃料甲与燃料乙的价格之比为 23，现需要三种,产品 A，B，C 各 50 吨，63 吨，65 吨.问如何使用两种燃料，才,能使该厂本钱最低？,思维突破：由于该厂本钱与两种燃料使用量有关，而产品,A，B，C 又与这两种燃料有关，且这三种产品的产量也有限制，,因此这是一道求线性目标函数在线性约束条件下的最小值问,题，这类简单的线性规划问题一般都可以利用二元一次不等式,组求在可行域上的最优解.,解：,设该厂使用燃料甲,x,吨，燃料乙,y,吨，甲每吨,2,t,元，,那么乙每吨为 3t 元.,那么本钱为 z2tx3tyt(2x3y).,因此，只需求 2x3y 的最小值即可.,作出不等式组所表示的平面区域,(,如图,3-3-4).,图,3-3-4,【,变式与拓展,】,2.医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配营养餐，甲种,原料每 10 g 含 5 个单位蛋白质和 10 个单位铁质，售价 3 元；,乙种原料每 10 g 含 7 个单位蛋白质和 4 个单位铁质，售价 2 元.,假设病人每餐至少需要 35 个单位蛋白质和 40 个单位铁质.试问：,应如何使用甲、乙原料，才能既满足营养，又使费用最省？,解：,设甲、乙两种原料分别用,10,x,g,和,10,y,g,，,图,D23,题型 3 整数解处理,【例 3】(2021 年湖北)某旅行社租用 A，B 两种型号的客,车安排 900 名客人旅行，A，B 两种车辆的载客量分别为 36 人,和 60 人，租金分别为 1600元/辆和 2400元/辆，旅行社要求租,车总数不超过 21 辆，且 B 型车不多于 A 型车 7 辆，那么租金最,少为,(,),A.31 200,元,C.36 800,元,B.36 000,元,D.38 400,元,思维突破：设A 型客车x 辆，B 型客车y 辆.问题转化为线,性规划问题.同时应注意到题中的x，y 只能取整数.,解析：设分别租用 A，B 两种型号的客车 x 辆，y 辆(x，,yN)，所用的总租金为 z 元，那么,z1600 x2400y，其中 x，y 满足不等式组,画出可行域如图 D20，根据线性规划中截距问题，可求得,最优解为 x5，y12，此时 z 最小为 36 800.应选 C.,图,D20,答案：,C,根据条件写出不等式组是做题的第一步；,第二步画出可行域；第三步找出最优解.其中最困难的是第二步.,整数解的线性规划问题.假设取最小值时不是整数点，那么考虑此点,附近的整数点.,【例 4】某沙漠地带，考察车每天行驶 200 千米，每辆考,察车可以装载供行驶 14 天的汽油.现有 5 辆考察车，同时从驻,地 A 出发，方案完成任务后，再沿原路返回驻地，为了让其中,3 辆车尽可能向更远的地方进展考察(然后再一起返回)，甲、乙,两车行至 B 处后，仅留足自己返回驻所必需的汽油，将多余的,汽油供给另外 3 辆使用，问：其他 3 辆可以行进的最远路是多,少千米？,易错分析：对线性的约束条件考虑不清不全，没考虑甲、,乙两车供油后，自己还须返回这一条件，导致约束条件出错.,解：设考察行至B 处用了x 天，从B 处到最远处用了y 天，,那么有 23(xy)2x145，,即 5x3y35，且 x0，y0.,同时从其余 3 辆车的载油量考虑，,145(52)x143，即 x4.,作可行域(如图D21)，那么M(4,5).,图,D21,作直线,l,：,x,y,0,，,向右平移过点,M,时,，,z,max,9.,最远路程为,200(4,5),1800(,千米,).,方法,规律,小结,1.,线性规划的两类重要实际问题的解题思路：,(1),应准确建立数学模型，即根据题意找出约束条件，确定,线性目标函数,.,(2),用图解法求得数学模型的解，即画出可行域，在可行域,内求得使目标函数取最值的解,.,(3),还要根据实际意义将数学模型的解转化为实际问题的,解，即结合实际情况求得最优解,.,2.,应用线性规划处理实际问题时应注意的问题：,(1),在求解实际问题时，除严格遵循线性规划求目标函数最,值的方法外，还应考虑实际意义的约束，要认真解读题意，仔,细推敲并挖掘相关条件，同时还应具备批判性检验思维，以保,证解决问题的准确和完美,.,(2),在处理实际问题时，,x,0,，,y,0,常被忽略，在解题中应,注意,.,(3),在求解最优解时，一般采用图解法求解,.,