4.1特征函数

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第一节 特征函数,一般说来，数字特征不能完全确定随机变量的分布,.,本节将要介绍特征函数，既能完全决定分布函数，又具有良好的性质，是研究随机变量的分布的有力的工具,.,关于复数的回顾,复数的一般式：,取角,使得,则,其中,为复数,z,的模长。,复数的三角形式,在三角形式下，令,我们有,复数的三角形式在复数的乘除法运算中占有相当,大的优势。,如考虑,欧拉公式：,对于任何实数 ，记,则复数的乘除法运算变成,把指数函数推广到复变量的情形,一、定义,定义,1,设,、,为实值随机变量，称,= +,i,为,复随机变量,，这里,称,为,的数学期望,.,复随机变量本质上是二维随机变量，相关的很多概念和,性质可以从实随机变量直接推广而得到，例如,具有与实数,学期望类似的性质,.,定义,2,设,为实随机变量，称,为,的,特征函数,，这里,t,是任意实数,.,1.,若,为离散型，,则,2.,若,为连续型，其密度为,p (x),，则,它就是函数,p(x,),的傅里叶变换,.,特征函数的计算,二、常见分布的特征函数,例,1,退化,(,单点,),分布,P(,= c) =1,的特征函数,f,(,t,) =,例,2,二项分布,B (n, p),的特征函数,例,3,泊松分布,P(,),的特征函数,例,4,均匀分布,U a, b,的特征函数,特别地,n=1,时, 0,1,分布的特征函数为,例,5,正态分布,的特征函数,例,6,指数分布,的特征函数,特别地,标准正态分布的特征函数为,三、性质,性质,1,性质,2,性质,3,设,=,a,+,b,a,b,是任意常数，则,性质,4,若,相互独立,，,的特征函数为,，则,这一性质对独立随机变量和的研究起着很大作用,.,性质,5,若,存在，,则,f (t),是,n,次可微的，且当,kn,时,利用特征函数的性质,我们很容易求得伽玛分布 和,的特征函数,.,伽玛分布,分布,性质,6(,一致连续性定理,),任何特征函数,f,(,t,),在,(,),上均一致连续,.,性质,7,f,(,t,),是非负定的： 对任意正整数,n,及任意实数,， 复数,，有,0,这个性质是特征函数的最本质属性之一,.,事实上，我们有如下的,波赫纳尔,辛钦,(,Bochner-Khinchine,),定理,函数,f (t ),为,特征函数的充要条件是,f (t ),非负定，连续且,f (0) =1.,四、逆转公式与唯一性定理,定理,1,（,逆转公式,）,设分布函数,F(x,),的特征函数为,f (t),，又,是,F(x,),的两个连续点，则,分布函数可由特征函数唯一确定,定理,2,(,唯一性定理,),定理,3,(,逆傅里叶变换,),设,f (t),是特征函数，且,则分布函数,F(x,),的导数存在且连续，此时,对应的随机变量,必为连续型,例,7,求证,f (t) = cost,是某随机变量的特征函数,.,并求出它的,.,分布函数,f (t) = cost,解,=,这是分布列为,的随机变量的特征函数,.,=,一般，若能把,f (t),写成,的形式，其中,则,f (t),是特征函数，它的分布列为,关于分布函数的可加性,特征函数有很多重要的应用,.,比如,用它来讨论分布函数,的可加性将非常方便,.,回忆,:,所谓,可加性,，是指若,与,相互独立，服从同一类型分布，则其和,+,也服从该类分布，且其分布中的参数是,与,的相应参数之和,.,可加性,也称,再生性,.,例,8,设,X,和,Y,分别服从参数为 的泊松分布,且二者独立,试证,X+Y,服从参数为 的泊松分布,.,X+Y,服从参数为 的泊松分布,.,大家试着利用特征函数来说明一下表,4.1.1,中还有那些分布具有可加性,?,证明,:,由泊松分布的特征函数知,又,X,与,Y,相互独立,由性质,4,知,将结果与泊松分布的特征函数比较并结合唯一性定理即知,参数为 的泊松分布的特征函数,