6、离散经济变量的无限求和

*,单击此处编辑母版标题样式,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,无穷级数在微积分中占有很重要的地位，它是表示函数、,研究函数性质和进行数值计算的有力工具。本章主要介绍无穷,级数的一些基本知识。第一至四节介绍常数项级数的概念、性,质和敛散性判断；第五节为幂级数的概念、性质和展开；最后,一节讨论级数在经济中的应用。,9/30/2024,1,刘徽,公元,263,年,(,魏陈留王景元四年,),刘徽撰,九章算术注,，,在其中“圆田术”注中，提出使用“割圆术”计算圆周率。割圆,术的要旨是用圆内接正多边形去逐步,逼近圆。刘徽取半径为,1,尺，从正六,边形出发。,他首先算出圆内接正六边形的面,积,u,1,。则,u,1,可以看作圆面积,S,的一个,粗略的近似值。,6.1,从一个问题谈起,9/30/2024,2,刘徽,以这个六边形的每条边为底，分别作顶点在圆周上的等,腰三角形。,记这六个等腰三角形的面积之和为,u,2,。则,u,1,+,u,2,是圆内接,十二边形的面积，它比,u,1,更接近圆的面积。,9/30/2024,3,刘徽,类似作圆内接二十四边形。,对应十二个等腰三角形的面积之和记为,u,3,，则,u,1,+,u,2,+,u,3,是圆内接二十四边形的面积，它比,u,1,+,u,2,更接近圆的面积。,9/30/2024,4,刘徽,刘徽一直算到,192,边形，得出圆周率的近似值,3.14,，,化成分数为,即有名的“徽率”。,刘徽一再声明“此率尚微,少”，需要的话可以继续算下去，得,出更精密的近似值。,割之弥细所失弥少割之又割以至于不可割则与圆合体而无所失矣,刘徽,九章算术注,9/30/2024,5,在上述用割圆术计算圆面积的过程中，圆面积被看作无穷,多项面积值的和,S,=,u,1,+,u,2,+,+,u,n,+,更确切地说，圆面积,S,可以看作,u,1,+,u,2,+,+,u,n,当,n,时,的极,限。,在实际应用中，经常会遇到这类无穷多项相加的形式。对,给出的这类形式，它是不是有和？若有和结果又是什么？通过,上面关于圆面积的计算的讨论可以看出，无穷多项的和可以用,有限多项和的极限来计算，这就是所谓的级数。,9/30/2024,6,一、常数项级数的概念,定义,给定数列,u,n,，称,u,1,+,u,2,+,+,u,n,+,为,常数项无穷级数,，简称,级数,，记为,其中,u,n,为,第,n,项,或,一般项,。,S,n,=,u,1,+,u,2,+,+,u,n,称为,部分和,。,即有,S,1,=,u,1,，,S,2,=,u,1,+,u,2,，,。由此看出，当,n,取,1,2,3,时，,部分和构成,一个数列。,例,若,S,n,=,n,3,+2,n,+3,，则,u,n,=,。,6.2,常数项级数的概念与性质,9/30/2024,7,定义,对级数,若其部分和的极限,存在，则称此级数,收敛,，并称其部分和的极限值为此级数的,和,。即,若级数部分和的极限不存在，则此级数,发散,。,例,讨论级数,9/30/2024,8,定义,常数项级数,称为,几何级数,。,备忘,例,练习,9/30/2024,9,例,定义,常数项级数,称为,调和级数,。,9/30/2024,10,二、性质,性质,1,若,A,0,为常数，则,且当它们都收敛时，,性质,2,推论,性质,3,级数去掉或增加有限项不改变其敛散性。,9/30/2024,11,性质,4,收敛级数加括号后所成的级数仍为收敛级数，且,收敛于原级数的和。,注,此定理的逆命题不真，即加括号后的级数收敛，不能,推出原级数收敛，如,性质,5,(,级数收敛的必要条件,),注,此定理的逆命题不真。,常用逆否命题证明级数发散。,9/30/2024,12,一、正项级数,定义,若对任意,n,N,，有,u,n,0,，则称,u,n,为,正项级数,。,定理,正项级数收敛当且仅当其部分和有,(,上,),界。,例,证明,p,1,时级数,二、正项级数敛散性判别法,1,、比较判别法,定理,(,比较判别法,),若对任意,n,N,，有,0,u,n,v,n,，则,6.3,正项级数的敛散性判别法,9/30/2024,13,例,证明,p,0,，,n,=1,、,2,、,时，称级数,为,交错级数,或,Leibniz,级数,。,9/30/2024,24,定理,(,Leibniz,判别法,),则此交错级数收敛。,注,此定理中的条件为交错级数收敛的充分条件而非必要,条件。,例,讨论级数,9/30/2024,25,总结,例,判断下列级数的敛散性，若收敛指出是绝对收敛还是,条件收敛：,9/30/2024,26,练习,判断下列级数的敛散性，若收敛指出是绝对收敛还,是条件收敛：,定理,如果根据,比值判别法,，判定,例,9/30/2024,27,一、幂级数的概念,定义,设,u,n,(,x,),在,D,上有定义，,n,=1,2,n,，称,为,D,上的,函数项级数,。,定义,收敛,点,。否则称函数项级数在,x,0,发散,，,x,0,称为,其,发散点,。,的所有收敛点组成的集合称为它的,收敛域,。,6.5,幂级数与函数的幂级数展开式,收敛,，,9/30/2024,28,项级数的,和函数,，记为,S,n,(,x,)=,u,1,(,x,)+,u,2,(,x,) +,+,u,n,(,x,),称为函数项级数的,部分和,。,定义,形如,或,的函数项级数称为,幂级数,，并称,a,n,为幂级数的,系数,。,收敛，即,有一个确定的数值,，这样就得到一个函数，称为函数,9/30/2024,29,二、幂级数收敛半径与收敛域,定理,(,Abel,定理,),收敛；,发散。,由这个定理可以看出，幂级数的收敛域有三种可能：,幂级数只在,x,=0,处收敛；,幂级数在,R,内的每一点都收敛；,存在,R,0,，使,|,x,|,R,时幂级数发散。,定义,在情况中,R,称为幂级数的,收敛半径,。在情况和,中收敛半径分别规定为,0,和,+,。,称区间,(,-,R,R,),为幂级数的,收敛区间,。,9/30/2024,30,定理,例,求下面幂级数的收敛半径和收敛域。,练习,求下面幂级数的收敛半径和收敛域。,9/30/2024,31,三、幂级数的运算与性质,运算性质,线性性质：对,、,0,有,乘法,其中,c,n,=,a,0,b,n,+,a,1,b,n,-,1,+,+,a,n,b,0,。,9/30/2024,32,解析性质,S,(,x,),在,(,-,R,R,),上连续。,S,(,x,),在,(,-,R,R,),上可导。且,S,(,x,),在,(,-,R,R,),上可积。且,9/30/2024,33,例,求幂级数,练习,求幂级数,例,求幂级数,练习,求幂级数,例,求幂级数,练习,求幂级数,9/30/2024,34,总结,求幂级数的和函数的一般步骤：,求出目标幂级数的收敛域；,分析目标幂级数的形式。如果需要，利用变量代换、提,出变量等方法把它化为合适的形式；,选择适当的运算,(,求导或积分,),把原级数化为已知幂级数,(,例如几何级数,),；,写出已知幂级数的和函数；,通过逆运算求出原幂级数的和函数。,例,练习,9/30/2024,35,四、函数展开成幂级数,将函数表示成幂级数，称为,函数的幂级数展开,，对应的幂,级数称为函数的,幂级数展开式,。,1,、,Taylor,级数,定理,设函数,f,(,x,),在,x,=,x,0,的某邻域内有任意阶导数，且,f,(,x,),在,x,=,x,0,处幂级数展开式为,则,9/30/2024,36,定义,设函数,f,(,x,),在,x,=,x,0,处任意阶可导，则称幂级数,为,f,(,x,),在,x,=,x,0,处的,Taylor,级数,。,注,当,x,0,=0,时，对应的幂级数展开式为,称为,f,(,x,),的,Maclaurin,级数,。,9/30/2024,37,2,、,Taylor,级数,定理,定义,称,R,n,(,x,)=,f,(,x,),-,S,n,(,x,),为幂级数展开的,余项,。,定理,(,Taylor,公式,),设函数,f,(,x,),在,x,=,x,0,的某邻域内有,n,+1,阶导数，则对该邻域内,的任意,x,，有,这个公式称为函数,f,(,x,),在,x,=,x,0,处的,n,阶,Taylor,公式,。,9/30/2024,38,称为,Laguange,型余项,。,当,x,0,=0,时，,Taylor,公式为,也称之为,Maclaurin,公式,。,例,求函数,y,=,e,x,的,Maclaurin,级数。,利用,Taylor,级数把函数展开成幂级数的方法称为,直接展开,法,。利用已知的展开式结果和幂级数的性质进行计算的方法称,为,间接展开法,。,9/30/2024,39,备忘,常见的幂级数展开式：,9/30/2024,40,注,最后一个公式通常称为,Newton,二项式展开式,，关于对,应的收敛区间，结果如下：,当,-,1,时，其收敛区间为,(,-,1,1),；,当,-,1,0,时，其收敛区间为,-,1,1,。,例,用间接展开法把,f,(,x,)=,arcsin,x,展开为,Maclaurin,级数。,练习,用间接展开法把,9/30/2024,41,一段时期内多次发生的收付款业务，称为,系列收付款,项,。设从期初开始，第,n,期未发生的款项为,R,n,(,n,=0,1,2,),，,每期复利率为,r,，则到,t,期末，,R,n,的终值为,R,n,=(1,-,r,),t,-,n,。而,t,期末,系列收付款项的复利终值为,R,0,(1+,r,),t,+,R,1,(1+,r,),t,-,1,+,R,2,(1+,r,),t,-,2,+,+,R,t,-,1,(1+,r,)+,R,t,系列收付款项的复利现值为,R,0,+,R,1,(1+,r,),-,1,+,R,2,(1+,r,),-,2,+,+,R,t,-,1,(1+,r,),-,t,+1,+,R,t,(1+,r,),-,t,当,t,时对应无限期的收付款业务，若每期的收付款业,务是等额的，则称之为,永续年金问题,。这里的年金指一段时,期内每期等额的序列收付款项，而永续年金指无限期收付的,年金。,6.6,离散经济变量的无限求和模型,9/30/2024,42,在系列收付款项的复利现值,R,0,+,R,1,(1+,r,),-,1,+,R,2,(1+,r,),-,2,+,+,R,t,-,1,(1+,r,),-,t,+1,+,R,t,(1+,r,),-,t,中取,R,i,=,A,，,i,N,、,t,，则得资金数目为,A,+,A,(1+,r,),-,1,+,A,(1+,r,),-,2,+,+,A,(1+,r,),-,t,+1,+,A,(1+,r,),-,t,+,9/30/2024,43,部分和,9/30/2024,9/30/2024,9/30/2024,9/30/2024,在,n,-,1,n,上应用,Lagrange,中值定理得,因此对任意,n,N,，有,因此部分和有界，则原正项级数收敛。,9/30/2024,9/30/2024,9/30/2024,9/30/2024,9/30/2024,9/30/2024,9/30/2024,用比较判别法，由,由比较判别法，,分析过程,9/30/2024,分析,用比较判别法，显然与,p,级数,为确定,p,，,计算相应的极限：,若取,p,2,，则,极限为无穷大，但,无法判别；,若取,p1,。,通过以上分析，只要选择,1,p,2,，就可以用,p,级数,判别。,9/30/2024,9/30/2024,9/30/2024,9/30/2024,9/30/2024,定理,当,s,=1,时这个极限不能判定级数的敛散性，这时还可以构,造更复杂的极限来判别。,9/30/2024,由比值判别法知，级数当,x,1,时发散。,当,x,=1,时,9/30/2024,9/30/2024,9/30/2024,9/30/2024,当,p,1,时，,由,Cauchy,判别法知，当,p,1,时此级数收敛。,当,p,1,时，,由比较判别法知,当,p,1,时，此级数发散。,9/30/2024,9/30/2024,9/30/2024,9/30/2024,9/30/2024,9/30/2024,9/30/2024,9/30/2024,9/30/2024,故,R,=+,，收敛域为,R,。,故,R,=0,，收敛域为,0,。,故,R,=1,。,当,x,=,-,1,时，对应,当,x,=1,时，对应,收敛，因此此幂级数的收敛区间为,(,-,1,1,。,即,x,2,(,-,2,2),时级数,9/30/2024,9/30/2024,9/30/2024,9/30/2024,9/30/2024,9/30/2024,9/30/2024,9/30/2024,设,t,=,x,2,，,9/30/2024,9/30/2024,由,y,=,e,x,的,n,阶导数为,y,(,n,),=,e,x,，则,y,=,e,x,的,Maclaurin,级数的系数,则,y,=,e,x,的,Maclaurin,级数为,余项为,9/30/2024,9/30/2024,9/30/2024,