逆矩阵的计算课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,逆矩阵的概念,矩阵可逆的条件,逆矩阵的求法,3,逆 阵,下页,关闭,矩阵之间没有定义除法，而数的运算有除法，本节相对于实数中的除法运算，引入逆矩阵的概念。,则说方阵,A,是,可逆的,，并把方阵,B,称为,A,的,逆矩阵,。,逆阵的概念,注意：只有方阵才有逆矩阵的概念。,由定义即得：当,B,为,A,的逆矩阵时，,A,也是,B,的逆矩阵。,例如,因为,AB = BA = E,，,所以,B,是,A,的逆矩阵，同样,A,也是,B,的逆矩阵。,定义,7,对于,n,阶方阵,A,，,如果有一个,n,阶,方阵,B,，,使,AB = BA = E,，,上页,下页,返回,B = A,-1,。,如果方阵,A,是可逆的，则,A,的逆阵一定是,唯一,的。,这是因为：设,B,、,C,都是,A,的逆矩阵，,则有,B = BE = B,（,AC,）=（,BA,）,C = EC = C,，,所以,A,的逆阵是唯一的。,A,的逆阵记作,A,-1,。,即若,AB = BA = E,，,则,例如,因为,AB=BA=E,，,所以,B,是,A,的逆阵，即,A,-1,=,B,上页,下页,返回,定理,1,若方阵,A,可逆，则,A,的行列式不等于,0,。,证,A,可逆，即有,A,-1,，,使,AA,-1,=,E,，,故,|,A,|,A,-1,|=|,E,| = 1,，,所以,|,A,| 0,。,矩阵可逆的条件,例如,易见,AB=BA=E,，,即,A,可逆。,此时,|,A,| = 1 0,。,定理,1,表明，可逆阵的行列式一定不等于零。这个结论反过来也成立。请看下面的定理,2,。,上页,下页,返回,定理,2,若,A,的行列式不等于,0,，则,A,可逆，且,证,由例,9,知,AA,*,=,A,*,A,= |,A,|,E,，,上页,下页,返回,当,|,A,| = 0,时，,A,称为,奇异方阵,，否则称为,非奇异阵,。,B = E B =,（,A,-1,A,）,B = A,-1,（,AB,）,= A,-1,E = A,-1,。,由定理,1,和定理,2,可得：矩阵,A,是可逆方阵的充分必要条件是,|,A,| 0,。,推论,若,AB = E,（,或,BA = E,），则,B = A,-1,。,证,因为,|,A,| |,B,| = |,E,|,1,，,故,|,A,| 0,，,因而,A,-1,存在，,于是,上页,下页,返回,注：定理,2,可用来求一些矩阵的逆矩阵。,例如,故,A,可逆。,需要说明的是：通常利用伴随阵,A,*,来,计算,A,的逆矩阵的方法只限于阶数不超过,3,的矩阵，否则计算量可能很大。,对于阶数高于,3,的矩阵，以后将介绍用初等变换的方法来求逆矩阵。,上页,下页,返回,方阵的逆阵满足下述运算规律：,证,证,上页,下页,返回,其中,k,为正整数。,定义,上页,下页,返回,A,11,= 2，,A,21,= 6，,A,31,=4，,A,12,=3，,A,22,=6，,A,32,=5，,A,13,= 2，,A,23,= 2，,A,33,=2，,例,9,解,经,计算可得：,|,A,| = 2 0,，知,A,可逆。,求方阵,上页,下页,返回,求,矩阵,X,使满足,AXB = C,。,例,10,设,若,A,-1,，,B,-1,存在，则由,A,-1,左乘,AXB = C,，又用,B,-1,右乘,AXB = C,，,有,A,-1,AXBB,-1,=,A,-1,CB,-1,，,即,X,=,A,-1,CB,-1,。,分析：,上页,下页,返回,解,上页,下页,返回,矩阵的运算小结,一、已定义过的运算：,矩阵与矩阵的加、减法；,矩阵与数的乘积；,矩阵与矩阵的乘积；,方阵的行列式；,逆矩阵；,矩阵的转置。,上页,下页,返回,二、不允许出现的“运算”：,矩阵与数的加、减法；,矩阵与矩阵相除；,数除以矩阵。,矩阵的运算中矩阵不能出现在“分母”中。这与,行列式是根本不同的。因为行列式是“数”，当这个数不等于零时，就可以出现在分母中，因此行列式可以出现在分母中。,上页,下页,返回,三、矩阵运算中要注意的地方,以下运算都只有,方阵,才有：,(1).,逆矩阵；,(2).,方幂；,(3).,矩阵的行列式。,矩阵的乘法通常没有,交换律,、,消去律,。,两个非零矩阵相乘的结果可能是零矩阵。,用一个数去乘以矩阵与用一个数去乘以行列,即当两个矩阵的乘积为零矩阵时，不能推出其中必有一个为零矩阵。,式是不同的。,上页,下页,返回,解,又,Ex.4,上页,下页,返回,于是,上页,下页,返回,也,可以直接按定义来验证这一结论。,上页,下页,返回,解,Ex.5,上页,下页,返回,解,Ex.6,上页,下页,返回,上页,下页,返回,上页,返回,设给定一个,线性变换：,它的系数矩阵是一个,n,阶方阵,A,，,上页,下页,返回,则,线性变换,(7),可记为,Y = AX,. (8),记,上页,下页,返回,按,克拉默法则，若,|,A,|0,，,则由（,7,）可解出,即,x,1,x,2, . ,x,n,可用,y,1,y,2, ,y,n,线性表示为：,上页,下页,返回,从,(8),、,(10),两式分析变换所对应的方阵,A,与逆变换所对应的方阵,B,之间的关系：,将,(10),代入,(8),，可得,线性变换,(9),称为线性变换,(7),式的,逆变换,。,若把,(9),的系数矩阵记为,B,，,则,(9),也可写成,X = BY,(10),Y = A,(,BY,),=,(,AB,),Y,，,可见,AB,为恒等变换所对应的矩阵，故,AB = E,。,Y = AX,.,(8),前面已得到,上页,下页,返回,即有,BA = E,。,具有这种性质的矩阵,A,称为是可逆的，而矩阵,B,称为矩阵,A,的逆矩阵。,用,(8),代入,(10),，得,X = B,(,AX,) = (,BA,),X,于是有,AB = BA = E,。,上页,下页,返回,