曲面及其方程

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,曲面及其方程,水桶的外表、台灯的罩子面等,曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹,1.曲面方程的定义：,曲面的实例：,一、曲面方程的概念,2. 几例常见的曲面.,解,根据题意有,所求方程为,特殊地：球心在原点时方程为,解,根据题意有,所求方程为,根据题意有,化简得所求方程,解,例4.,研究方程,解:,配方得,此方程表示:,说明:,如下形式的三元二次方程,(,A,0 ),都可通过配方研究它的图形,.,其图形可能是,的曲面,.,表示,怎样,半径为,的球面,.,球心为,一个,球,面,或,点,或,虚轨迹,.,以上几例说明研究空间曲面有两个根本问题：,2坐标间的关系式，研究曲面形状,讨论旋转曲面,讨论柱面、二次曲面,1曲面作为点的轨迹时，求曲面方程,二、旋转曲面,以一条平面,曲线绕其平面上的,一条直线旋转一周,所成的曲面称为旋,转曲面.,这条定直线叫旋转,曲面的,轴,播放,建立,yoz,面上曲线,C,绕,z,轴旋转所成曲面,的方程:,故旋转曲面方程为,当绕,z,轴,旋转时,假设点,给定,yoz,面上曲线,C,:,那么有,那么有,该点转到,思考：,当曲线,C,绕,y,轴旋转时,，,方程如何？,解,圆锥面方程,两边平方,例6 将以下各曲线绕对应的轴旋转一周，求生成的旋转曲面的方程,旋转双曲面,旋转椭球面,旋转抛物面,引例,.,分析方程,表示怎样的曲面,.,的坐标也满足方程,解:,在,xoy,面上,，,表示圆,C,沿曲线,C,平行于,z,轴的一切直线所形成的曲面,称为,圆,故在空间,过此点作,柱面.,对任意,z,平行,z,轴的直线,l ,表示,圆柱面,在圆,C,上任取一点,其上所有点的坐标都满足此方程,三、柱面,播放,观察柱面的形成过程:,平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面.,这条定曲线 叫柱面的,准线,，动直线 叫柱面的,母线,.,表示,抛物柱面,母线平行于,z,轴,;,准线为,xoy,面上的抛物线,.,z,轴的,椭圆柱面,.,z,轴的,平面,.,表示母线平行于,(,且,z,轴在平面上,),表示母线平行于,一般地,在三维空间,柱面,柱面,平行于,x,轴,;,平行于,y,轴,;,平行于,z,轴,;,母线,柱面,母线,母线,准线,xoy,面上的曲线,l,1,：,准线,xoz,面上的曲线,l,3,:,准线,yoz,面上的曲线,l,2,:,实 例,椭圆柱面 / 轴,双曲柱面 / 轴,抛物柱面 / 轴,四、二次曲面,三元二次方程,适中选取直角坐标系可得它们的标准方程,下面仅,就几种常见标准型的特点进展介绍 .,研究二次曲面特性的根本方法: 截痕法,其根本类型有:,椭球面、抛物面、双曲面、锥面,的图形通常为,二次曲面,.,用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，考察其交线即截痕的形状，然后加以综合，从而了解曲面的全貌,一椭球面,椭球面与三个坐标面的交线：,椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化.,椭球面与平面 的交线为椭圆,同理与平面 和 的交线也是椭圆.,椭球面的几种特殊情况：,旋转椭球面,由椭圆 绕 轴旋转而成,旋转椭球面与椭球面的,区别,：,方程可写为,与平面 的交线为圆.,球面,截面上圆的方程,方程可写为,2. 抛物面,(1),椭圆抛物面,(2) 双曲抛物面鞍形曲面,x,y,z,o,x,y,z,o,3. 双曲面,(1),单叶双曲面,椭圆,.,时, 截痕为,(,实轴平行于,x,轴,；,虚轴平行于z 轴,平面,上的截痕情况,:,双曲线,:,x,y,o,z,虚轴平行于x 轴,时, 截痕为,时, 截痕为,(,实轴平行于,z,轴,;,相交直线,:,双曲线,:,(2),双叶双曲面,双曲线,椭圆,注意单叶双曲面与双叶双曲面的区别,:,双曲线,单叶双曲面,双叶双曲面,4. 椭圆锥面,椭圆,在平面,x,0 或,y,0,上的截痕为过原点的两直线,.,可以证明,椭圆上任一点与原点的连线均在曲面上.,(,椭圆锥面也可由圆锥面经,x,或,y,方向的伸缩变换,得到,),1.,空间曲面,三元方程,球面,旋转曲面,如, 曲线,绕,z,轴的旋转曲面,:,柱面,如,曲面,表示母线平行,z,轴的柱面,.,又如,椭圆柱面, 双曲柱面, 抛物柱面等 .,四、小结,2. 二次曲面,三元二次方程,椭球面,抛物面,:,椭圆抛物面,双曲抛物面,双曲面:,单叶双曲面,双叶双曲面,椭圆锥面,:,思考题,指出以下方程在平面解析几何中和空间解析几何中分别表示什么图形？,思考题解答,平面解析几何中,空间解析几何中,斜率为1的直线,方程,练 习 题,练习题答案,二、旋转曲面,定义,以一条平面,曲线绕其平面上的,一条直线旋转一周,所成的曲面称为旋,转曲面.,这条定直线叫旋转,曲面的,轴,二、旋转曲面,定义,以一条平面,曲线绕其平面上的,一条直线旋转一周,所成的曲面称为旋,转曲面.,这条定直线叫旋转,曲面的,轴,二、旋转曲面,定义,以一条平面,曲线绕其平面上的,一条直线旋转一周,所成的曲面称为旋,转曲面.,这条定直线叫旋转,曲面的,轴,二、旋转曲面,定义,以一条平面,曲线绕其平面上的,一条直线旋转一周,所成的曲面称为旋,转曲面.,这条定直线叫旋转,曲面的,轴,二、旋转曲面,定义,以一条平面,曲线绕其平面上的,一条直线旋转一周,所成的曲面称为旋,转曲面.,这条定直线叫旋转,曲面的,轴,二、旋转曲面,定义,以一条平面,曲线绕其平面上的,一条直线旋转一周,所成的曲面称为旋,转曲面.,这条定直线叫旋转,曲面的,轴,二、旋转曲面,定义,以一条平面,曲线绕其平面上的,一条直线旋转一周,所成的曲面称为旋,转曲面.,这条定直线叫旋转,曲面的,轴,二、旋转曲面,定义,以一条平面,曲线绕其平面上的,一条直线旋转一周,所成的曲面称为旋,转曲面.,这条定直线叫旋转,曲面的,轴,二、旋转曲面,定义,以一条平面,曲线绕其平面上的,一条直线旋转一周,所成的曲面称为旋,转曲面.,这条定直线叫旋转,曲面的,轴,二、旋转曲面,定义,以一条平面,曲线绕其平面上的,一条直线旋转一周,所成的曲面称为旋,转曲面.,这条定直线叫旋转,曲面的,轴,二、旋转曲面,定义,以一条平面,曲线绕其平面上的,一条直线旋转一周,所成的曲面称为旋,转曲面.,这条定直线叫旋转,曲面的,轴,二、旋转曲面,定义,以一条平面,曲线绕其平面上的,一条直线旋转一周,所成的曲面称为旋,转曲面.,这条定直线叫旋转,曲面的,轴,定义,三、柱面,观察柱面的形成过程:,平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面.,这条定曲线 叫柱面的,准线,，动直线 叫柱面的,母线,.,定义,三、柱面,观察柱面的形成过程:,平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面.,这条定曲线 叫柱面的,准线,，动直线 叫柱面的,母线,.,定义,三、柱面,观察柱面的形成过程:,平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面.,这条定曲线 叫柱面的,准线,，动直线 叫柱面的,母线,.,定义,三、柱面,观察柱面的形成过程:,平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面.,这条定曲线 叫柱面的,准线,，动直线 叫柱面的,母线,.,定义,三、柱面,观察柱面的形成过程:,平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面.,这条定曲线 叫柱面的,准线,，动直线 叫柱面的,母线,.,定义,三、柱面,观察柱面的形成过程:,平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面.,这条定曲线 叫柱面的,准线,，动直线 叫柱面的,母线,.,定义,三、柱面,观察柱面的形成过程:,平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面.,这条定曲线 叫柱面的,准线,，动直线 叫柱面的,母线,.,定义,三、柱面,观察柱面的形成过程:,平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面.,这条定曲线 叫柱面的,准线,，动直线 叫柱面的,母线,.,定义,三、柱面,观察柱面的形成过程:,平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面.,这条定曲线 叫柱面的,准线,，动直线 叫柱面的,母线,.,定义,三、柱面,观察柱面的形成过程:,平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面.,这条定曲线 叫柱面的,准线,，动直线 叫柱面的,母线,.,定义,三、柱面,观察柱面的形成过程:,平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面.,这条定曲线 叫柱面的,准线,，动直线 叫柱面的,母线,.,定义,三、柱面,观察柱面的形成过程:,平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面.,这条定曲线 叫柱面的,准线,，动直线 叫柱面的,母线,.,谢谢观赏！,2020/11/5,61,