自动控制原理第二章 胡寿松

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第二章 控制系统数学模型,第二章 控制系统的数学模型,本章主要内容,：,2-1,拉普拉斯变换,2-2,控制系统的时域数学模型,2-3,控制系统的复域数学模型,2-4,控制系统结构图和信号流图,2-5,控制系统的传递函数,21,拉普拉斯变换,拉普拉斯（,laplace,）变换简称为拉氏变换，是一种用来简化常系数微分方程求解过程的运算方法。,一、定义,若将实变量,t,的函数,f,(,t,),，其中,s,=,+,j,，,s,是一个复变量，在,0,到之间对,t,进行积分，就得到一个新的函数,F,(,s,),。,F,(,s,),称为,f,(,t,),的拉氏变换，可用符号,L,f,(,t,),表示。,常称,F(s,),为,f(t,),的,变换函数,或,象函数,，而,f(t,),为,F(s,),的,原函数,。,例,1,、求单位阶跃函数的拉氏变换,解：,二、拉氏变换定理,（,1,）线性定理。两个函数和的拉氏变换等于两个函数拉氏变换的和，即：,函数放大倍的拉氏变换等于函数拉氏变换的倍，即：,（,2,）微分性质,若,:,当：,（,2,）积分性质,若,:,当初始条件为,0,，则有：,（,4,）位移定理,若,:,（,5,）初值定理,若,:,（,6,）终值定理,若,:,例,2,、求下列函数的拉氏变换。,（,1,） （,2,） （,3,）,解：,（,1,）,（,2,）,（,3,）,二、拉氏反变换,的形式，则 和 为,F(S),的,零点,和,极点,。,式子可以写成 ：,1,、只包含互异极点的反变换。,式中， 为常数，,2,、包含重极点时的反变换。,展开部分分式：,引言,定义：,描述控制系统输入和输出之间关系的数学表达式即为数学模型。,用途：,1,）,分析,控制系统,2,）设计控制系统,2-2,控制系统的时域数学模型,为什么要建立数学模型？,对于控制系统的性能，只是定性地了解系统的工作原理和大致的运动过程是不够的，希望能够从理论上对系统的性能进行定量的分析和计算。要做到这一点，首先要建立系统的数学模型。它是分析和设计系统的依据。,表达形式：,线性系统,传递函数,微分方程,频率特性,拉氏,变换,傅氏,变换,时域：微分方程、差分方程、状态方程,复域：传递函数、动态结构图、信号流图,频域：频率特性,分析法,分析法是对组成系统各环节的运动机理进行分析，根据,各环节所遵循的物理学定律、化学定律等来列写系统的微分,方程。,例如机械系统的牛顿定律、电气系统的基尔霍夫定律,和热力学系统中的热力学定律等。,实验法,实验法是根据实际系统的输入输出数据，用适当的数学,模型去拟合这些数据，这种方法称为系统辨识。,建立控制系统数学模型 的方法：,一、系统微分方程的建立,步骤：,1,、确定系统的输入量与输出量,2,、为建立入,出的关系，寻找中间变量,3,、总变量数目为,n,则需列写,n-1,个独立方程（根据物,理规律列写）,4,、从,n-1,个独立方程中消去各中间变量，从而建立,入,-,出的关系。,例,1,电学系统,其中：电阻为,R,，,电感为,L,，,电容为,C,。,解：,系统的微分方程：,+,-,),(,t,u,r,),(,t,u,c,R,L,C,i,+,-,1,、确立入,-,出，入,-,Ur(t,),出,Uc(t,),；,2,、中间变量,i(t,),3,、,n=3,，需列写,n-1=2,个独立方程,4,、消去中间变量,i(t,),整理后得：,线性定常二阶微分方程式,k,F(t),m,f,y(t),例,2,、 设一弹簧、质量块、阻,尼器组成的系统如图所示，,当外力,F(t,),作用于系统时，系,统将产生运动。试写出外力,F(t,),与质量块的位移,y(t,),之间,的微分方程。,解：,1,、确立入,-,出，入,-,F(t,),出,y(t,),；,2,、根据牛顿定律，,F=ma,；,移项后，可得到：,线性定常二阶微分方程式,对照比较：,相似系统,相似量：,二、线性系统的特性,线性系统是由线性元件组成的系统，该系统的运动方程式可由线性微分方程描述，即：,1,、齐次性,2,、叠加性,三、线性定常微分方程的解,例,3,、 在例,1,中，若已知,L,1H,，,C,IF,，,R,l,，,且电容上初始电压,u,o,(0)=0.1V,，,初始电流,i,(0)=0.1A,，,电源电压,u,i,(,t,)= 1V,。,试求电路突然接通电源时，电容电压,u,o,(,t,),的,变化规律。,解 在例,1,中得网络微分方程为,对,网络微分方程两边求拉氏变换并代入已知数据，经整理后有,在上式中，前两项是由网络输入电压产生的输出分量，与初始条件无关，故称为,零状态响应,；后一项则是由初始条件产生的输出分量，与输入电压无关，故称为,零输入响应,，它们统称为网络的单位阶跃响应。,用拉氏变换法求解线性定常微分方程的过程可归结如下：,考虑初始条件，对微分方程中的每一项分别进行拉氏变换，将微分方程转换为变量,s,的代数方程；,由代数方程求出输出量拉氏变换函数的表达式；,对输出量拉氏变换函数求反变换，得到输出量的时域表达式，即为所求微分方程的解。,四、非线性微分方程的线性化,y=f(x),y,0,x,0,x,y,小偏差线性化示意图,例如，设非线性函数,y=,f(x,),如图所示，其输入量为,x,，输出量为,y,，如果在给定工作点,y0=f(x0),处各阶导数均存在，,则在,y0=f(x0),附近将,y,展开,成泰勒级数：,如果偏差,x,=x-x0,很小，则可忽略级数中高阶无穷小项，,上式可写为,K,表示,y=,f(x,),曲线在,(x0,y0),处切线的斜率。因此非线性函数,在工作点处可以用该点的切线方程线性化。,在处理线性化问题时，需要,注意,以下几点：,1.,上述的线性化是针对元件的某一工作点进行的，工作点不同，得到的线性化方程的系数也将不同。因此在线性化时必须确定元件的工作点。,2.,在线性化过程中，略去了泰勒级数中二阶以上的无穷小项，如果实际系统中输入量变化范围较大时，采用小偏差法建立线性模型必然会带来较大的误差。,3.,如果描述非线性特性的函数具有间断点，折断点或非单值关系而无法作线性化处理时，则控制系统只能应用非线性理论来研究。,4.,线性化后的微分方程通常是增量方程，在实用上为了简便通常直接采用,y,和,x,来表示增量。,2-3,控制系统的复域数学模型,一、传递函数的定义和性质,线性定常系统在,零初始条件下,，输出量的拉氏变换,与输入量的拉氏变换之比，称为该系统的传递函数。,若线性定常系统的微分方程为,在初始条件为零时，对上式进行拉氏变换，得：,根据传递函数的定义，该线性定常系统的传递函数为,传递函数的性质：,1.,传递函数表示系统传递输入信号的能力，反映系统本身的动态特,性，它只与系统的结构和参数有关，与输入信号和初始条件无关。,2.,传递函数是复变量,s,的有理分式函数，其分子多项式的次数,m,低于,或等于分母多项式的次数,n,，即,mn,。且系数均为实数。,3.,传递函数与微分方程有相通性。,4.,传递函数的拉氏反变换是脉冲响应,g(t,),。,例,3,、 求网络的传递函数。,解： 引进中间变量：,列写四个独立方程：,消去中间变量，可得：,二、传递函数的零点和极点,二、典型环节的传递函数,一个物理系统是由许多元件组合而成的，虽然元件的结构和,作用原理多种多样，但若考察其数学模型，却可以划分成为数不,多的几种基本类型，称之为典型环节。这些环节是比例环节、惯,性环节、积分环节、振荡环节、微分环节和滞后环节。,1,、比例环节,式中,c(t,),为输出量，,r(t,),为输入量，,K,为放大系数（或增）。,比例环节的传递函数为：,比例环节的输出量能够既不失真又不延迟地反映输入量的变化，下图给出比例环节的实例。,结构图：,K,A,i,0,R,0,R,1,i,1,u,r,u,c,+,-,2.,惯性环节,惯性环节又称非周期环节，其输入、输出间的微分方程为,结构图：,K/Ts+1,R,C,u,r,u,c,3.,积分环节,积分环节的微分方程是,而,T,称为积分时间常数。,1/Ts,4.,微分环节,理想微分环节的微分方程为,式中,为微分时间常数。,s,C,A,R,u,r,u,c,+,-,C,A,R,u,r,u,c,+,-,R,C,u,r,u,c,5.,振荡环节,振荡环节的微分方程是,式中,T,为时间常数，,为阻尼比，对振荡环节有,0 1,当输入为单位阶跃函数时，,可用拉氏变换求得环节的输出响应，如右图所示,c(t),1,0,t,6.,滞后环节,当输入作用到环节以后，其输出量要等待一段时间,后，才能,复现输入信号，在时间,0,到的时间内，输出量为零，这种具有延,时效应的环节称为纯滞后环节。滞后环节的数学表达式为,:,),(,),(,),(,),(,),(,=,=,-,=,-,s,e,s,R,s,C,s,G,t,r,t,c,t,t,传递函数为,r(t),1,t,0,t,c(t),1,0,上述各典型环节，是从数学模型的角度来划分的。它们是系统传递函数的最基本的构成因子。在和实际元件相联系时，应注意以下几点：, 系统的典型环节是按数学模型的共性来划分的，他与系统中使,用的元件并非都是一一对应的，一个元件的数学模型可能是若干,个典型环节的数学模型的组合。而若干个元件的数学模型的组合,也可能就是一个典型的数学模型。, 同一装置（元件），如果选取的输入、输出量不同，它可以成,为不同的典型环节。如直流电动机以电枢电压为输入、转速为输,出时，它是一个二阶振荡环节。但若以电枢电流为输入、转速为,输出时，它却是一个积分环节。, 在分析和设计系统时，将被控对象（或系统）的数学模型进行,分解，就可以了解它是由哪些典型环节所组成的。因而，掌握典,型环节的动态特性将有助于对系统动态特性的分析研究。, 典型环节的概念只适用于能够用线性定常数学模型描述的系统。,控制系统的结构图是描述系统各组成元部件之间信号传递关系的数学图形，它表示系统中各变量所进行的数学运算和输入、输出之间的因果关系。采用结构图，不仅能方便地求取复杂系统的传递函数，而且能形象直观地表明信号在系统或元件中的传递过程。,2-3,控制系统的结构图与信号流图,一、结构图的基本组成,1.,信号线：带有箭头的直线，箭头表示信号的传递方向，且信号只能单向传输。,3.,比较点：表示两个或多个信号在此代数相加。其中,“,+,”,号表示相加，,“,-,”,表示相减。,2.,信号引出点：表示信号引出或测量的位置。从同一位置引出的信号在数值和性质上完全相同。,4,、,方框（环节）：表示对信号进行数学变换。框内写入传递函数，方框的输出等于方框的输入与传递函数的乘积。,G(s),二、结构图的绘制,1,、首先写出各个环节的传递函数；,2,、绘制各个环节的结构图；,3,、按照信号传递的方向把各个方框依次连接起来。,例,1,、绘制网络的结构图,C,R,1,R,2,解： 引进中间变量：,列写四个独立方程：,1/R,1,U,r,(s),U,c,(s,),I,1,(s),_,I,2,(s),R1Cs,I,1,(s),I,2,(s),I,1,(s),I(s,),R,2,I(s,),U,c,(s,),根据信号传递的方向，用信号线将各个方框依次连接起来：,1/R,1,U,r,(s),U,c,(s,),I,1,(s),_,R1Cs,I,2,(s),I,1,(s),I(s,),R,2,U,c,(s,),例,2,、,在如,图,滤波电路中，输入电压为,u,r,，,输出电压为,u,c,，,试画出其结构图。,u,r,R,1,R,2,u,c,C,2,C,1,i,1,i,2,1/R,1,U,r,(s),U,c1,(s),I,1,(s),_,1/c,1,s,_,I,2,(s),I,1,(s),U,c1,(s),1/R,2,U,c1,(s),U,c,(s,),I,2,(s),1/c,2,s,I,2,(s),U,c,(s,),1/R,1,1/c,1,s,1/R,2,1/c,2,s,U,r,(s),I,1,(s),I,2,(s),U,c1,(s),I,2,(s),U,c,(s,),-,-,-,三、结构图的等效和简化,结构图变换应按等效原理进行，所谓等效，就是对结构图的任一部分进行变换时，变换前、后其输入、输出总的数学关系应保持不变。,1,、典型连接的等效传递函数,（,1,）串联,前一环节的输出量是后一环节的输入量的连接称为环节的串联。如下图所示，各环节的传递关系为：,G,1,(s),G,2,(s),G,3,(s),R(s,),C,1,(s),C,2,(s),C(s,),串联连接的等效传递函数等于各个传递函数的乘积。写成一般形式为：,（,2,）并联,输入量相同，输出量相加或相减的连接称为并联。如下图所示，,三个环节的输入部分都为,r(t,),，而输出分别为,G,1,(s),G,2,(s),G,3,(s),C,2,(s),C,3,(s),+,+,+,C(s),R(s),C,1,(s),并联连接的等效传递函数等于各个传递函数的代数和。写成一般形式为：,（,3,）反馈连接,如果将系统或环节的输出反馈到输入端与输入信号进行比较，就构成了反,馈连接，如下图所示。,G(s,),H(s,),E(s),B(s),R(s),C(s),闭环传递函数为：,G(s,),H(s,),E(s),B(s),R(s),C(s),开环传递函数为：,前向通路：从输入到输出每个环节只经过一次的通路。前向通路经过各个环节传递函数的乘积，就称为前向通路传递函数。,G(s,),H(s,),E(s),B(s),R(s),C(s),例,3,、化简单回路系统,解：,例,4,、化简单回路无交错系统,G,1,G,2,G,3,G,4,G,5,G,6,-,-,+,+,R(s),C(s),G,1,G,6,R(s),-,C(s),解：,G,1,G,2,G,3,G,4,+G,5,G,6,R(s),-,-,C(s),G,6,R(s),C(s),-,2,、变位变换,（,1,）引出点前移,要乘,（,2,）引出点后移,要除,（,3,）比较点前移,要除,（,4,）比较点后移,要乘,R,1,(s),R,2,(s),R,3,(s),-,-,C(s),R,2,(s),R,1,(s),R,3,(s),-,-,C(s),R,1,(s),R,3,(s),R,2,(s),-,-,C(s),（,5,）交换或合并比较点,（,6,）负号在支路上的移动,G(s,),H(s,),E(s),B(s),R(s),C(s),G(s,),H(s,),E(s),B(s),R(s),C(s),1,例,5,、化简多回路有交错系统,解：,G,1,G,2,G,3,G,4,G,5,G,6,G,7,G,1,G,2,G,3,G,4,G,5,G,6,G,7,1/G,4,G,1,G,2,G,6,G,7,1/G,4,G,1,G,7,负反馈时取“,” ，正反馈时取“,”。,例,结构图化简,例,结构图化简,(1),结构图化简方案,H,1,H,2,G,1,G,2,G,3,G,4,(,-,),(,-,),R,Y,R,H,2,+,G,3,H,1,G,1,G,2,G,3,H,2,G,4,(,-,),Y,(,a,),G,4,G,3,H,2,Y,R,(,b,),G,4,Y,R,(,c,),(3),结构图化简方案,(2),结构图化简方案,H,1,+,H,2,/,G,3,H,2,/,G,3,G,2,G,3,G,1,G,4,(,-,),R,Y,(,a,),H,2,/,G,3,G,4,R,Y,(,b,),G,1,G,2,G,3,H,1,/,G,1,G,4,R,Y,(,-,),(,a,),G,4,G,1,G,2,G,3,Y,R,(,-,),(,b,),信号流图中常用的名词术语：,源节点,（输入节点）：,在源节点上，只有信号输出,支路而没有信号输入的支路，,它一般代表系统的输入变量。,信号流图的,基本性质,：,1),节点,标志系统的变量，节点标志的变量是所有流向该节点信号的代数和，用“,O”,表示；,2),信号,在支路上沿箭头单向传递；,3),支路,相当于乘法器，信号流经支路时，被乘以支路增益而变成另一信号；,4),对一个给定系统，信号流图不是唯一的,。,1+,R,1,C,1,s,x,2,x,5,x,4,x,6,-1,x,3,x,7,I(s,),R,2,1/,R,1,x,1,信号流图及梅逊公式,信号流图,是由节点和支路组成的一种信号传递网络。,阱节点,（输出节点）：,在阱节点上，只有信号输入的支路而没有信号输出的支路，它一般代表系统的输出变量。,混合节点,：,在混合节点上，既有信号输出的支路而又有信号输入的支路。,二、,信号流图的绘制,1.,由系统微分方程绘制信号流图,1,）将微分方程通过拉氏变换，得到,S,的代数方程；,2,）每个变量指定一个节点；,3,）将方程按照变量的因果关系排列；,4,）连接各节点，并标明支路增益。,前向通路：,信号从输入节点到输出节点传递时，每个节点只通过一次的通路，叫前向通路。前向通路上各支路增益之乘积称,前向通路总增益,，一般用,Pk,表示。,回路：,起点和终点在同一节点，而且信号通过每一节点不多于一次的闭合通路称回路。回路上各支路增益之乘积称,回路增益,，一般用,La,表示。,不接触回路：,回路之间没有公共节点时，称它们为不接触回路。,上式拉氏变换,C,1,u,i,R,1,R,2,u,o,i,1,i,例,信号传递流程：,U,i,(,s,),U,i,(,s,),-,U,o,(,s,),U,o,(,s,),U,o,(,s,),u,C,(0),-1,I,1,(,s,),I,(,s,),R,2,1+,R,1,C,1,s,1/,R,1,-C,1,1),用小圆圈标出传递的信号，得到节点。,2),用线段表示结构图中的方框，用传递函数代表支路增益。,注意信号流图的节点只表示变量的相加。,G,(,s,),C,(,s,),R,(,s,),G,1,(,s,),G,2,(,s,),H,(,s,),R,(,s,),E,(,s,),D,(,s,),V,(,s,),C,(,s,),(,-,),(,a,),结构图,(,节点,),C,(,s,),R,(,s,),G,(,s,),(,节点,),(,支路,),C,(,s,),1,R,(,s,),E,(,s,),G,1,(,s,),G,2,(,s,),-,H,(,s,),Y,(,s,),D,(,s,),V,(,s,),1,1,(,b,),信号流图,2.,由系统结构图绘制信号流图,例,绘制结构图对应的信号流图,(1),。,U,i,(,s,),U,o,(,s,),I,2,(,s,),U,(,s,),I,C,(,s,),I,1,(,s,),(-),(-),(-),U,i,(,s,),U,o,(,s,),U,o,(,s,),U,(,s,),I,2,(,s,),I,C,(,s,),-1,-1,-1,1/,R,1,1/,C,1,s,1/,C,2,s,1/,R,2,U,i,(,s,),U,o,(,s,),I,2,(,s,),U,(,s,),I,C,(,s,),I,1,(,s,),(-),(-),(-),U,i,(,s,),U,o,(,s,),I,2,(,s,),U,(,s,),I,C,(,s,),I,1,(,s,),(-),(-),(-),U,i,(,s,),U,o,(,s,),I,2,(,s,),U,(,s,),I,C,(,s,),I,1,(,s,),(-),(-),(-),例,绘制结构图对应的信号流图。,特征式 ：,所有单独回路增益之和；,在所有互不接触的单独回路中，每次取其中两,个回路增益乘积和；,在所有互不接触的单独回路中，每次取其中三个回路增益的乘积之和。,梅逊公式,为,：,余因子式,，即在信号流图中，把与第,K,条前向通路相接触的回路去掉以后的,值。,三、,梅逊增益公式,其中：,n,从输入节点到输出节点之前向通路总数。,P,k,从输入节点到输出节点的第,k,条前向通路总增益 。,前向通路有两条：,，没有与之不接触的回路：,，与所有回路不接触：,解：,三个回路：,R,G,1,G,2,G,3,H,2,-H,2,-H,1,C,G,4,例,已知系统信号流图，求传递函数。,回路相互均接触，则：,f,求传递函数,X,4,/,X,1,及,X,2,/,X,1,。,例,2,已知系统信号流图，,解：,三个回路,有两个互不接触回路,例,R,C,R,C,解：,二、,闭环系统的传递函数,R,(,s,),E,(,s,),N(,s,),C(,s,),H,(,s,),G,2,(,s,),G,1,(,s,),B,(,s,),(,-,),1.,输入信号作用下的闭环,传递函数,(N(s)=0),系统的响应：,系统的响应取决于闭环传递函数及输入信号的形式。,2.,扰动作用下的闭环传递函数,(R(s)=0),因此， 单独作用下系统的扰动输出为：,3,系统总的输出,根据线性系统的叠加原理，系统总的输出为给定输入 和扰动 引起的输出的总和，得到系统总的输出量为：,满足：,则化简为：,这表明在上述条件下，扰动对系统的影响很小，或者说系统抑制能力强。同时系统的输出只取决于反馈通道的传递函数和输入信号，与前向通道传递函数几乎无关，当,从而实现了对输入信号的完全复现，并且对扰动具有较强的抑制能力。,4.,闭环系统的误差传递函数,定义误差,E(s)=R(s)-B(s) ,R,(,s,),E,(,s,),N(,s,),C(,s,),H,(,s,),G,2,(,s,),G,1,(,s,),B,(,s,),(,-,),在输入信号作用下：,在扰动信号作用下：,第二章 总结,1,、拉普拉斯变换,2,、控制系统的时域数学模型,3,、控制系统的复域数学模型,4,、控制系统的结构图和信号流图,习题,例,1,、已知某线性系统拉氏变换方程组为：,其中为 输入量， 为输出量，绘制结构图和信号流图并求,例,2,、,解：将方程组拉氏变换得：,