第四章电力网络数学模型10.2.27

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,电力系统分析 第四章,*,第,4,章 电力系统的数学模型,4.1,节点导纳矩阵,4.2,网络方程的解法,4.3,节点阻抗矩阵,9/29/2024,1,内容提要,掌握根据网络的结构和参数，求出节点导纳矩阵。,应用高斯消去法简化网络，求解网络方程。,应用支路追加法计算阻抗矩阵各元素,9/29/2024,2,电力系统分析 第四章,4.1,节点导纳矩阵,电力系统的数学模型主要包括电力网络的模型、发电机的模型以及负荷的模型。整个电力系统的稳态可以用一组代数方程组来描述。电力网络的运行状态一般用节点方程来描述。节点方程以母线电压作为待求量，母线电压能唯一地确定网络的运行状态。,图,4-1(a),简单电力系统,T,1,2,3,4,9/29/2024,3,电力系统分析 第四章,一、节点方程,在图,4-1(a),中，略去变压器的励磁功率和线路电容，负荷用阻抗表示，可得到一个有,5,个节点（包括零电位点）和,7,条支路的等值网络，如图,4-1(b),。,1,2,3,4,图,4-1,（,b,）,T,1,2,3,4,9/29/2024,4,电力系统分析 第四章,将接于节点,1,和,4,的电势源和阻抗的串联组合变换成等值的电流源和导纳的并联组合，便得到图,4-1(c),的等值网络。,1,2,3,4,1,2,3,4,图,4-1(c),9/29/2024,5,电力系统分析 第四章,其中 和 ，分别称为节点,1,和,4,的注入电流源。,以零电位点作为计算节点电压的参考点，根据基尔霍夫电流定律，写出,4,个独立节点的电流平衡方程如下：,图,4-1(c),上述方程组经过整理可以写成：,（,4-2,）,1,2,3,4,9/29/2024,6,电力系统分析 第四章,一般对于有,n,个独立节点的网络，可以列写,n,个独立节点方程,或,（,4-3,）,记成,YV =I,9/29/2024,7,电力系统分析 第四章,矩阵,Y,称为节点导纳矩阵。它的对角线元素,Y,ii,称为节点,i,的自导纳，其值等于接于节点,i,的所有支路导纳之和。非对角线元素,Y,ij,称为节点,i,、,j,间的互导纳，它等于直接联接于节点,i,、,j,间的支路导纳的负值。,若节点,i,、,j,间不存在直接支路，则有,Y,ij,0,。由此可知节点导纳矩阵是一个稀疏的对称矩阵。,YV =I,9/29/2024,8,电力系统分析 第四章,如果令,代入（,4-3,）的各式，可得：,二、节点导纳矩阵元素的物理意义,（,4-6,）,当,k,i,时，网络中除节点,i,以外所有节点都接地，从节点,i,注入网络的电流同施加于节点,i,的电压之比，即等于节点,i,的自导纳,Y,ii,。换句话说，自导纳,Y,ii,是节点,i,以外的所有节点都接地时，节点,i,对地的总导纳。显然，,Y,ii,应等于与节点,i,相接的各支路导纳之和，即：,说明：,式中，,y,i0,为节点,i,与零电位节点之间的支路导纳；,y,ij,为节点,i,与节点,j,之间的支路导纳。,9/29/2024,9,电力系统分析 第四章,当,ki,时，网络中除节点,k,以外所有节点都接地，从节点,i,流入网络的电流同施加于节点,k,的电压之比，即等于节点,k,、,i,之间的互导纳,Y,ik,。在这种情况下，节点,i,的电流实际上是自网络流出并进入地中的电流，所以,Y,ik,应等于节点,k,、,i,之间的支路导纳的负值，即,9/29/2024,10,电力系统分析 第四章,（,3,）不难理解,Y,ki,=,Y,ik,。若节点,i,和,k,没有支路直接相联时，便有,Y,ki,=,Y,ik,=0,9/29/2024,11,电力系统分析 第四章,节点导纳矩阵的主要特点是：,导纳矩阵的元素很容易根据网络接线图和支路参数直观地求得。,n,n,阶对称复数方阵,导纳矩阵是稀疏矩阵。它的对角线元素一般不为零，但在非对角线元素中则存在不少零元素。如果在程序设计中设法排除零元素的贮存和运算，就可以大大地节省贮存单元和提高计算速度。,9/29/2024,12,电力系统分析 第四章,讨论网络中含有非基准变比的变压器时导纳矩阵元素的计算。,设节点,p,、,q,间接有变压支路，如图,4-3,所示。根据,型等值电路，可以写出节点,p,、,q,的自导纳和节点间的互导纳分别为：,p,q,1:k,p,q,图,4-3,变压器支路的等值电路,9/29/2024,13,电力系统分析 第四章,例,4-1,某电力系统的等值网络示于图,4-2,。已知各元件参数的标幺值如下：,z,12,=j0.105,，,k,2l,=1.05,，,z,45,=j0.184,，,k,45,=0.96,，,z,24,=0.03+j0.08,，,z,23,=0.024+j0.065,，,z,34,=0.018+j0.05,，,y,240,=y,420,=j0.02,，,y,230,=j0.016,，,y,320,=j0.016,，,y,340,=y,430,=j0.013,。试求节点导纳矩阵。,1,2,3,4,5,9/29/2024,14,电力系统分析 第四章,1,2,3,4,5,解,：根据上述变压器,型等值电路的导纳矩阵元素的计算公式。所以，导纳矩阵元素为：,9/29/2024,15,电力系统分析 第四章,将以上计算结果排列成导纳矩阵为：,9/29/2024,16,电力系统分析 第四章,三、节点导纳矩阵的修改,网络接线改变时，节点导纳矩阵也要作相应的修改。假定在接线改变前导纳矩阵元素为 ，接线改变以后应修改为 。现在就几种典型的接线变化，说明修改增量的计算方法。,（,1,）从网络的原有节点,i,引出一条导纳为,y,ij,的支路，同时增加一个节点,k,，见图,4-4(a),。 由于节点数加,1,，导纳矩阵将增加一行一列。新增的对角线元素,Y,kk,=,y,ik,。新增的非对角线元素中，只有,Y,ik,=,Y,ki,=-,y,ik,，其余的元素都为零。矩阵的原有部分，只有节点,i,的自导纳应增加,Y,ii,=,y,ik,。,i,k,y,ik,图,4-4,（,a,）,9/29/2024,17,电力系统分析 第四章,（,2,）在网络的原有节点,i,、,j,之间增加一条导纳为,y,ij,的支路见图,4-4(b),。由于只增加支路不增加节点，故导纳矩阵的阶次不变。因而只要对与节点,i,、,j,有关的元素分别增添以下的修改增量即可，,其余的元素都不必修改。即,i,k,y,ik,图,4-4,（,a,）,j,i,y,ij,图,4-4,（,b,）,9/29/2024,18,电力系统分析 第四章,（,3,）在网络的原有节点,i,、,j,之间切除一条导纳为,y,ij,的支路。这种情况可以当作是在,i,、,j,节点间增加一条导纳为,-,y,ij,的支路来处理，因此，导纳矩阵中有关元素的修正增量为：,其他的网络变更情况，可以仿照上述方法进行处理，或者直接根据导纳矩阵元素的物理意义，导出相应的修改公式。,j,i,y,ij,图,4-4,（,b,）,9/29/2024,19,电力系统分析 第四章,例,4-2,在例,4-1,的电力系统中，将接于节点,4,、,5,之间的变压器的变比由,k,45,= 0.96,，调整为,k,45,=0.98,，试修改节点导纳矩阵。,1,2,3,4,5,9/29/2024,20,电力系统分析 第四章,p,q,1:k,p,q,图,4-3,变压器支路的等值电路,解：将节点,p,、,q,之间的变压器的变比由,k,调整为,k,，相当于先切除变比为,k,的变压器再接入变比为,k,的变压器，所以与节点,p,、,q,有关的导纳矩阵元素的修正增量为：,9/29/2024,21,电力系统分析 第四章,将上述关系式用于节点,4,和,5,，可得：,因此，在修改后的节点导纳矩阵中,Y,44,=10.4853,一,j34.5283+j0.2382 = 10.4835,j34.2901,Y,45,= Y,54,=j5.6612,j0.1155 = j5.5457,其余的元素都保持原值不变。,9/29/2024,22,电力系统分析 第四章,四、支路间存在互感时的节点导纳矩阵,如图,4-5(a),所示，两条支路分别接于节点,p,、,q,之间和节点,r,、,s,之间，支路的自阻抗分别为,z,pq,和,z,rs,，支路间的互感阻抗为,z,m,，并以小黑点表示互感的同名端。,考虑支路之间的互感时如何求出节点导纳矩阵？,P,q,r,s,图,45,（,a,）,9/29/2024,23,电力系统分析 第四章,常用的方法是采用一种消去互感的等值电路来代替原来的互感线路组，然后就按等值电路来计算节点导纳矩阵的元素。因为这两条支路的电压方程可用矩阵表示如下：,p,r,q,s,图,45,（,b,）,或写成,（,4-9,）,（,4-10,）,上式中的导纳矩阵是阻抗矩阵的逆，其元素为：,9/29/2024,24,电力系统分析 第四章,将式（,4-10,）展开，并作适当改写，可得：,（,4-11,）,根据方程式（,4-11,）可作出消互感等值电路如图,4-5,（,b,）所示。,在实际的电力系统中，互感线路常有一端接于同一条母线。若,pq,支路和,rs,支路的节点,p,和,r,接于同一条母线，则在消互感等值电路中，将节点,p,和,r,接在一起即可，所得的三端点等值电路。,9/29/2024,25,电力系统分析 第四章,4.2,网络方程的解法,一、用高斯消去法求解网络方程,前面已知一个电力系统的稳态可以用一组代数方程组来描述。如用节点方程来描述。高斯消去法是直接求解线性方程组的有效方法，所以在电力系统分析中，网络方程常采用高斯消去法求解。高斯消去法分为按列消元按行回代的算法和按行消元并进行规格化的算法二种（见附录,II,）。,对于导纳型的节点方程，高斯消去法还具有十分明确的物理意义。消去法实际上就是带有节点电流移置的星网变换（见附录,）。,9/29/2024,26,电力系统分析 第四章,附录,II,高斯消去法,9/29/2024,27,电力系统分析 第四章,9/29/2024,28,电力系统分析 第四章,9/29/2024,29,电力系统分析 第四章,k,次消元后,9/29/2024,30,电力系统分析 第四章,n,1,次消元后,9/29/2024,31,电力系统分析 第四章,附录,III,星网变换,变换前后，节点电压分布不变。自网络外部流向该节点电流不变,9/29/2024,32,电力系统分析 第四章,多支路星形,网形,逆变换不成立,网络的等值变换 无源网络的,星网变换,n,参考,p254,附录,3,9/29/2024,33,电力系统分析 第四章,9/29/2024,34,电力系统分析 第四章,现在我们用按列消元的算法求解方程组（,4,3,），完成第一次消元后可得：,（,4-12,）,说明,：通过消元运算对原方程组中第,2,n,个方程式的系数和右端项所作的修正，恰好反映了带电流移置的星网变换的结果。,根据导纳矩阵元素的定义：,可见，节电,i,的电流增量恰等于从节点,1,的电流中移置过来的部分,见附录公式,-7,。,式中,9/29/2024,35,电力系统分析 第四章,系数矩阵非对角线元素的修正增量：,正好等于星网变换后在节点,i,、,j,新增导纳的负值,见公式,-1,。,对角线元素的修正增量：,恰好就是星网变换后，新接入节点,i,的支路导纳（取正值）和被拆去的支路导纳（取负值）的代数和。,9/29/2024,36,电力系统分析 第四章,因此，式（,4-12,）中的第,2 n,式恰好是消去节点,1,后网络的节点方程，对方程式（,4-12,）再作一次消元，其系数矩阵便演变为：,（,4-12,）,9/29/2024,37,电力系统分析 第四章,一般地，作了,k,次消元后所得系数矩阵为,Y,(k,),。式中，右下角的,n-k,阶子块是作完消去节点,1,，,2,，,，,k,的星网变换后所的网络的节点导纳矩阵。,9/29/2024,38,电力系统分析 第四章,对于,n,阶的网络方程，作完,n1,次消元后方程组的系数矩阵将变为上三角矩阵，即：,（,4,13,）,根据附录,的公式（,7,），矩阵,Y,(n-1),的元素表达式为：,（,4,14,）,（,i=1,2,n,；,j =i,i+1,n,）,9/29/2024,39,电力系统分析 第四章,说明：,当,ij,时，,Yij,表示网络在原始状态下节点,i,和节点,j,之间的互导纳，它等于联接节点,i,、,j,的支路导纳的负值；而在,符号下的第,k,项则代表通过第,k,次消元（即消去,k,号节点的星网变换），在节点,i,、,j,间出现的新支路的导纳。,当,i,j,时，,Yii,是网络在原始状态下节点,i,的自导纳，它等于与节点,i,联接的各支路导纳值之和；而在,符号下的第,k,项，则表示通过第,k,次消元从节 点,i,拆去支路的导纳同节点,i,新接人支路的导纳之差。,星网变换将网络化简并求解的过程，就是用高斯消去法求解网络方程的过程。,（,i=1,2,n,；,j =i,i+1, ,n,）,9/29/2024,40,电力系统分析 第四章,例,4,3,用星网变换求解图,4,7(a),所示的网络。,解：第,1,步，将节点,1,的电流 分散移置到节点,2,、,3,和,4,，使这些节点的电流变为：,1,2,3,4,y,12,y,13,y,14,y,24,y,40,（,a,）,1,2,3,4,y,12,y,13,y,14,y,24,y,40,（,b,）,式中，,9/29/2024,41,电力系统分析 第四章,1,2,3,4,y,12,y,13,y,14,y,24,y,40,（,a,）,1,2,3,4,y,12,y,13,y,14,y,24,y,40,（,b,）,将支路,y,12,、,y,13,和,y,14,组成的星型电路图（,b,）变换成接于节点,2,、,3,和,4,的三角形电路，然后将三角形电路中节点,2,、,4,间的一条同原有的支路,y,24,合并，便得到图,4,7(c),所示的网络，其中：,2,3,4,y,(1),23,y,40,（,c,）,y,(1),34,y,(1),24,经过这步变换，节点,1,被消去，网络的独立节点数减为,3,个。,9/29/2024,42,电力系统分析 第四章,第,2,步，将节点,2,的电流分散移置到节点,3,和,4,，使这两个节点的电流变为：,然后将 和 串联之后再同 并联得：,经过变换，节点,2,被消去，网络的独立节点数减为,2,个，便得到图,4-7(e),所示的网络。,9/29/2024,43,电力系统分析 第四章,然后将支路 舍去，便得到只含有一条支路和一个独立节点的最简网络，如图,4,7(f),所示。,根据已知的电流 即可算出节点电压 ，往回利用网络变换，由 和 即可算出电压 ，由 、 和 即可算出节点电压 ，最后由原始网络和已知的 、 、,和 便可算出节点,1,的电压 。,第,3,步，将节点,3,的电流分散移置到节点,4,，使节点,4,的电流变为：,2,3,4,y,(1),23,y,40,（,d,）,y,(1),34,y,(1),24,3,4,y,40,（,e,）,y,(2),34,4,y,40,（,f,）,9/29/2024,44,电力系统分析 第四章,二、用高斯消取法简化网络,高斯消取法不仅用于求解网络方程，也是简化网络的有效方法。利用高斯消取法简化网络，既可以逐个地消去节点，也可以一次消去若干个节点。,设有,n,个节点的网络，拟消去其中的,1,2,m,号,节点，保留,m+1,，,m+2,，,，,n,号节点。,原网络的方程如下：,9/29/2024,45,电力系统分析 第四章,或按虚线所作的分块缩写成：,从（,4-15,）的第一式解出：,将其带入第二式，经整理得：,便得,:,9/29/2024,46,电力系统分析 第四章,这就是消去,m,个节点后的网络方程，其中,V,B,为保留节点电压列向量。由于消去了部分节点，网络保留部分的接线发生了变化，同时被消去节点的电流也必须移置到保留节点上来，因此，对导纳矩阵的保留部分以及保留节点的电流都必须作相应的修改。,在电力系统中联络节点或浮游节点的注入电流为零。如果负荷用恒定阻抗表示，则负荷节点也属于之一类节点。消去这类节点时，不存在移置节点电流的问题，只需对节点导纳矩阵作缩减和修改即可。,9/29/2024,47,电力系统分析 第四章,解：根据给定条件可以求出原网络的节点导纳矩阵如下：,例,4-4,对图,4-8,（,a,）所示的网络，是求消去节点,1,、,2,、,3,后的节点矩阵。各支导纳的标幺值已注图中。,-j0.667,1,2,3,4,5,6,-j0.91,-j5.33,-j5.33,-j1.05,-j1.0,图 （,a,）,9/29/2024,48,电力系统分析 第四章,（一）采用逐个消去节点的算法,（,1,）消去节点,1,，删去,Y,中与节点,1,对应的行和 列，并按下式修改保留部分的元素。,第,5,行（列）和第,6,行（列）的元素都保持原值不变。消去节点,1,后网络的节点导纳矩阵如下：,与这个矩阵对应的网络示于图,4-8,（,b,）。,9/29/2024,49,电力系统分析 第四章,（,2,）消去节点,2,，删去,Y,（,1,）中与节点,2,对应的行和列，并按下式修改保留部分的元素。,2,3,4,5,6,-j0.702,-j0.088,-j5.845,-j1.05,-j1.0,图 （,b,）,9/29/2024,50,电力系统分析 第四章,3,4,5,6,-j0.776,-j0.0132,-j0.878,-j1.0,图 （,c,）,这个导纳矩阵对应的网络示于图,4-8,（,c,）。,其余的元素不便，缩减并修改后的导纳矩阵如下：,9/29/2024,51,电力系统分析 第四章,（,3,）消去节点,3,，删去,Y,（,2,）中与节点,3,对应的行和列，并按下式修改保留部分的元素。,修改保留部分的元素，最终得到消去节点,1,、,2,、,3,后网络的节点导纳矩阵如下：,4,5,6,-j0.292,-j0269,-j0.331,图 （,d,）,对应的网络示于图,4-8,（,d,）,9/29/2024,52,电力系统分析 第四章,（二）三个节点一次消去,对原有的节点导纳矩阵按虚线分块后可写成：,式中,9/29/2024,53,电力系统分析 第四章,先算出的逆矩阵：,然后根据公式（,4-16,）即可求得：,9/29/2024,54,电力系统分析 第四章,4.3,节点阻抗矩阵,一、节点阻抗矩阵元素的物理意义,节点方程也常写成阻抗形式，即：,ZI = V,式中，,Z=Y-1,是,n,阶方阵，称为网络的节点阻抗矩阵。方程可展开写成：,( j =1,，,2,，,，,n,，,jk,),代入（,4-20,）的各式，可得：,（,4-21,）,现在讨论自阻抗和互阻抗的物理意义。如果令：,9/29/2024,55,电力系统分析 第四章,说明：,自阻抗,Z,kk,等于当在节点,k,单独注入电流，而所有其他节点的注入电流都 等于零时，在节点,k,产生的电压同注入电流之比；因此，,Z,kk,可以当作是从节点走向整个网络看进去的对地总阻抗。,互阻抗,Z,ik,等于在节点,i,产生的电压同节点,k,的注 入电流之比。,因为连通的电力网络的各部分之间存在着电的或磁的联系，所以单独在节点,k,注入电流，总会在任一节点,i,出现电压，因此，阻抗矩阵没有零元素，是一个对称复数满矩阵。,由于节点阻抗矩阵元素的计算是相当复杂的，不可能从网络的接线图和支路参数直观求出。,因此目前常用的求取阻抗矩阵的方法主要有两种：一种是以上述物理概念为基础的支路追加法；另一种是从节点导纳矩阵求取逆阵。,9/29/2024,56,电力系统分析 第四章,二、用支路追加法形成节点阻抗矩阵,支路追加法是根据系统的接线图，从某一个与地相连的支路开始，逐步增加支路，扩大阻抗矩阵的阶次，最后形成整个系统的节点阻抗矩阵。,注意：,第一条支路必须是接地支路，以后每次追加的支路必须至少有一个端点 同已出现的节点相接。,新增支路引出一个新节点的情况称为追加树支；,在已有的两个节点间增加新支路的情况称为追加连支。,追加树支时节点数增加一个，阻抗矩阵便相应地扩大一阶。追加连支时网络的节点数不变，阻抗矩阵阶次不变。,在支路追加过程中，阻抗矩阵元素的计算和修正始终是以自阻抗和互阻抗的定义作依据的。假定用支路追加法已形成有,p,个节点的网络以及相应的,p,阶节点阻抗矩阵。下面分别按不同的情况，推到支路追加过程中阻抗矩阵元素的计算公式。,9/29/2024,57,电力系统分析 第四章,9/29/2024,58,电力系统分析 第四章,1,追加树枝,从已有的节点,i,接上一条阻抗为,z,iq,的支路，引出新节点,q,（见图,4-10,）。这使网络的节点阻抗矩阵扩大一阶，由原来的,p,阶变为,p,+1=,q,阶。设新的阻抗矩阵为：,现在讨论阻抗矩阵中各元素的计算。,阻抗矩阵中对应于网络原有部分的全部元素（即矩阵中虚线左上方部分）将保持原有数值不变。,i,q,z,iq,图,4-10,追加树枝,或,9/29/2024,59,电力系统分析 第四章,故有,（,m=1,，,2,，,，,p,）,另一方面，当节点,q,单独注入电流时，从网络原有部分看来，都与从节点,i,注入一样，所以有,这时节点,q,的电压为：,由此可得：,（,m=1,，,2,，,，,p,）,矩阵中新增加的第,q,行和第,q,列元素可以这样求得。网络中任一节点,m,单独注入电流时，因支路,z,iq,中没有电流，节点,q,和节点,i,的电压应相等，即,9/29/2024,60,电力系统分析 第四章,结论：,当,增加一条树支时，阻抗矩阵的原有部分保持不变，新增的一行（列）各非对角线元素分别与引出该树支的原有节点的对应行（列）各元素相同。而新增的对角元素则等于该树支的阻抗与引出该树支的原有节点的自阻抗之和。,如果节点,i,是参考点（接地点），则称新增支路为接地树支。由于恒有 ，根据自阻抗和互阻抗的定义得：,9/29/2024,61,电力系统分析 第四章,2.,追加连支,在已有的节点,k,和,m,节点之间追加一条阻抗为,z,km,的连支。由于不增加新节点，故阻抗矩阵的阶次不变。如果原有各节点的注入电流保持不变，那么连支,z,km,的接入将改变网络中的电压分布状况。因此，我们从计算接入连枝后的网络电压分布入手。对原有矩阵的各元素都要作相应的修改。,如果保持各节点注入电流不变，连支,z,km,的接入对原有部分的影响在于，,k,和,m,的注入电流分别从 和 改变为 和 。这时网络中任意节点,i,的电压可以利用原阻抗矩阵元素写出：,m,图,4,11,追加连支,k,9/29/2024,62,电力系统分析 第四章,现在设法用节点注入电流来表示 ，从而消去上式中的 ，便可求的新的阻抗矩阵元素的计算公式。,方程式（,4-25,）对任何节点都成立，将它用于节点,k,和,m,节点便得：,而阻抗为,z,km,的连支的电压方程为：,将 和 的表达式代入上式，可解出,9/29/2024,63,电力系统分析 第四章,将 代入式（,4-25,），经过整理便得：,于是有：,（,4-26,）,其中， 为连支接入前的原有值。,9/29/2024,64,电力系统分析 第四章,如果连支所接的节点中，有一个是零电位点，例如,m,为接地点，则称这支连支为接地连支，设其阻抗为,z,k0,。,上述计算公式将变为：,如果在节点,k,、,m,之间接入阻抗为零的连支，这就相当于把节点,k,、,m,合并为一个节点。根据公式（,4-26,）可以证明 ，同样也有 。,说明，如将节点,k,、,m,短接，经过修改后，第,k,行（列）和第,m,行（列）的对应元素完全相同。只要将原来这两个节点的注入电流合并到其中一个节点，另一个节点即可取消并删去阻抗矩阵中对应的行和列，使矩阵降低一阶。,9/29/2024,65,电力系统分析 第四章,3,追加变压器支路,在追加变压器支路时，也可以区分为追加树支和连支两种情况。变压器一般用一个等值阻抗通一个理想变压器相串联的支路来表示。,假定在已有,p,个节点的网络中的节点,k,接一变压器树支，并引出新节点,q,见图,4-12,（,a,）,。这时阻抗矩阵将扩大一阶。与上述增加树枝情况类似，因为新接支路没有电流，它的接入不会改变网络原有部分的电压分布状况，因此，阻抗矩阵原有部分的元素将保持不变。,k,q,z,kq,1,：,K,图,4-12,（,a,）,追加变压器树支,9/29/2024,66,电力系统分析 第四章,新增一行（列）的元素可以这样求得。,当网络中任一节点,i,单独注入电流 ，而所有其它节点的注入电流都为零时，都有：,因而,或,另一方面，当节点,q,单独注入电流 时，从网络原有部分看来，相当于从节点,k,单独注入电流,故有：,这时，节点,q,电压将为：,在网络的已有节点,k,、,m,之间追加变压器连支时，阻抗矩阵的阶次不变，但要修改它的全部元素。矩阵元素计算公式的推导可以分两步进行。见图,4-12,（,b,）,由此可得：,9/29/2024,67,电力系统分析 第四章,z,kq,图,4-12,（,b,）追加变压器连支,k,q,1,：,K,m,第一步是从节点,k,追加变压器树支，引出新节点,q,，将阻抗矩阵扩大一阶，并按照公式（,4-28,）、（,4-29,）和（,4-30,）计算新增加第,q,行和第,q,列的元素。,第二步在节点,q,和节点,m,之间追加阻抗为零的连支，应用公式（,4-26,）修改第一步所的矩阵中除第,q,行和第,q,列以外的元素，并将第,q,行和第,q,列舍去。,按照上述步骤推导出追加变压器连支后阻抗矩阵的元素计算公式如下：,（,4-31,）,9/29/2024,68,电力系统分析 第四章,三、用线性方程直接解法对导纳矩阵求逆,因为导纳矩阵很容易形成，且节点导纳矩阵同节点阻抗矩阵互为逆矩阵。因此，在电力系统计算中常采用对导纳矩阵求逆的方法来得到阻抗矩阵。,式中，,Y,为,导纳矩阵，,Z,j,是由阻抗矩阵的第,j,列元素组成的列向量，,e,j,是第,j,个元素为,l,，其余所有元素为零的单位列向量。,方程组（,4-33,）具有明确的物理意义：若把,e,j,当作节点注入电流的列向量，,Z,j,就是节点电压的列向量，当只有节点,j,注入单位电流，其余节点的电流都等于零时，网络各节点的电压在数值上就同阻抗矩阵的第,j,列的对应元素相等。,矩阵求逆有各种不同的算法，这里简单介绍,LDU,分解求逆法。,（,4-33,）,9/29/2024,69,电力系统分析 第四章,对节点导纳矩阵进行,LDU,分解，可将方程组（,4,33,）写成：,见,247,页附录：,非奇异方阵,A,可分解为单位下三角矩阵,L,和上三角矩阵,R,的乘积。,R,又可分解为对角矩阵,D,和单位上三角矩阵,U,的乘积。即：,A,=,LDU,这个方程可以分解为三个方程组：,这里，单位列向量,e,j,相当于常数向量,B,，阻抗矩阵的第,j,列,Z,j,相当于待求向量,X,。利用附录,中的公式（,22,）、（,29,）和（,14,），计及,e,j,的特点，可得节点阻抗矩阵第,j,列元素的计算公式如下：,即,0 i j,0 i j,h,i,=,f,i,/,d,ii,i,j,9/29/2024,70,电力系统分析 第四章,注意：,在应用上述公式时，都要作复数运算。,因为导纳矩阵是对称矩阵，它的因子矩阵,L,和,U,互为转置矩阵，故只需保留其中的一个。,应用上述公式时，对列标,j,依次取,n,，,n-1,，,，,1,，就可以求得阻抗矩阵的全部元素。在实际计算中也可以根据需要只计算某一列或几列的元素。这种求取节点阻抗矩阵元素的方法，灵活方便，演算迅速，很有实用价值。,9/29/2024,71,电力系统分析 第四章,电力网络的稳态可用一组线性代数方程来描述。电力系统分析中，最常用的是节点分析法，该方法以节点电压为状态量，需要建立节点方程。节点方程有导纳型和阻抗型两种。,根据网络的结构和参数，可以直观地形成节点导纳矩阵。节点导纳矩阵的特点是，高度稀疏、对称和易于修改。,高斯消去法是简化网络，求解网络方程的有效方法。高斯消,去法可看作是带电流移置的星网变换的数学概括，消节点的星网变换则可看作是高斯消去法的一种物理背景。,节点阻抗矩阵是节点导纳矩阵的逆。根据节点阻抗矩阵元素,的物理意义，可以导出用支路追加法形成阻抗矩阵时各元素的计算公式。也可采用线性方程组的直接解法求解导纳型网络方程，可以方便地算出阻抗矩阵某一列的元素。,小 结,9/29/2024,72,电力系统分析 第四章,作业,无,麻烦的一章结束,9/29/2024,73,电力系统分析 第四章,