三角形的外心及其性质59

按一下以編輯母片標題樣式,按一下以編輯母片,第二層,第三層,第四層,第五層,三角形的外心及其性質,自我評量,四邊形的外接圓,外心的應用,三角形的外心及其性質,給定一線段,，如圖,3-1,，如何,利用尺規作圖，作一個圓通過,A,、,B,兩,端點？,如圖,3-2,，最簡單的方法是直接以,為直徑畫圓。,A,B,圖3-1,圖3-2,在上一冊曾經學過：,1.,一線段的垂直平分線上任一點到此線段兩端點等距離。,2.,與一線段兩端點等距離的點必在該線段的垂直平分線上。,所以利用此觀念，只要圓心在,的垂直平分線上，,就可以作出通過,A,、,B,兩端點的圓。,如圖,3-3,，作,的垂直平分線,L,，並在,L,上取一點,O,當圓心，如果,O,點在,上，則此圓就是以,為直徑的,圓。如果,O,點不在,上，以,為半徑畫圓，此圓必通,過,B,點。當,O,離,愈遠，則半徑,愈長，此圓也會愈大。,圖,3-3,給定一個,ABC,，可以找到一個圓通過,A,、,B,、,C,三頂點嗎？,圖3-5,如圖,3-4,，,ABC,為直角三角形，以,為直徑作圓，剛好通過,A,、,B,、,C,三點。,圖3-4,如圖,3-5,，,ABC,為銳角三角形，以,為直徑作圓，,C,點會落在圓外。若要使圓通過,C,點，則圓心,O,要沿著,的垂直平分線,L,靠近,C,點，使圓逐漸變大，可以得到一個圓剛好通過,A,、,B,、,C,三點。,圖3-7,圖3-6,如圖,3-6,，,ABC,為鈍角三角形，其中,C,為鈍角，以 為直徑作圓，,C,點會落在圓內。若要使圓通過,C,點，則圓心,O,要沿著,的垂直平分線,L,遠離,C,點，使圓逐漸變大，也可以得到一個圓剛好通過,A,、,B,、,C,三點。,如圖,3-7,，當,A,、,B,、,C,三頂點都落在圓周上時，圓心,O,點到,A,、,B,、,C,三頂點的距離都會相等。此時 和 的垂直平分線,L,1,和,L,2,都會通過,O,點。,從上面的討論可以發現：,任意三角形一定存在一個圓同時通過此三角形的三個頂點。,同時通過三角形三個頂點的圓稱為此三角形的,外接圓,，圓心稱為此三角形的,外心,，並可由尺規作圖作出此外接圓，而三角形稱為此圓的,內接三角形,。,如圖,3-8,，三種,ABC,中，,L,1,為,的垂直平分線，,L,2,為,的垂直平分線，,L,1,與,L,2,交於,O,點，連接,、,、,，,L,1,是,的垂直平分線，,。,又,L,2,是,的垂直平分線，, 。,故 , ，,O,點在 的垂直平分線上，,即,的垂直平分線通過,O,點。,圖3-8,銳角三角形,鈍角三角形,直角三角形,由上面的說明可知：,任意三角形三邊的垂直平分線交於同一點外心，且此點到三頂點的距離相等。,外心會落在三角形的內部、三角形的邊上或三角形的外部？我們用圓周角的觀點說明如下：,如圖,3-9,，,ABC,為鈍角三角形，,ABD,為直角三角形，,ABE,為銳角三角形，且,ABC,、,ABD,與,ABE,皆為圓,O,的圓內接三邊形，所以,圖3-9,(,1,) 鈍角三角形,ABC,的外心（圓心,O,）,會落在三角形,外,。,(,2,) 直角三角形,ABD,的外心（圓心,O,）,剛好落在三角形的,斜邊中點,。,(,3,) 銳角三角形,ABE,的外心（圓心,O,）,會落在三角形,內,。,1.,如右圖，,ABC,為銳角三角形，請利,用尺規作圖作出,ABC,的外心。,2.,如下圖，某主題樂園有歐式花園、餐廳和親水區三個,地點，要建一條圓形遊樂軌道連接起來，請在下圖畫,出這條圓形軌道。,1,直角三角形外接圓半徑,直角三角形,ABC,中，,A,90，,6， 8，試求,ABC,外接圓的半徑長。,解,ABC,為直角三角形，,斜邊 ，,且,中點,O,即為外心，,故外接圓半徑,10 25。,1.,直角三角形,ABC,中，,A,90， 5， 12，,試求,ABC,外接圓的半徑長。,ABC,為直角三角形,斜邊,且,中點,O,為外心,故外接圓半徑,132,2.,ABC,中，,8， 15，,17，試求,ABC,外接圓的半徑長。,17,2,15,2,8,2,ABC 為直角三角形,故外接圓半徑 斜邊長,2,直角三角形的外心,有一個等腰直角三角形，其外心到三頂點的距離總和為15，試求此三角形的面積。,解,如右圖，外心,O,在斜邊中點上，,且 15,又 , 5，,10,三角形的面積 , 10525,有一個直角三角形，其外心到三頂點的距離和為30，若有一股長為12，試求此三角形的面積。,由題意知：斜邊長2( 30 3 )20,另一股長,故三角形面積 121696,圓內接三角形的三內角為其外接圓的圓周角，在第二章學過,圓周角圓心角的一半,，故可利用此關係求解相關問題。,解,如右圖，畫出ABC 的外接圓。,A BOC圓周角 圓心角,BOC2A,267,134,3,外接圓的應用,如右圖，,ABC,中，,A,67，,O,為,ABC,外心，試求,BOC,。,搭配習作P.46基礎題5,承例題3，若,ABC,79，試求,AOB,與,AOC,。,AOC,2,ABC,279158,ACB,180,A,ABC,34,AOB,2,ACB,23468,解一,如右圖，畫出,PQR,的外接圓。,在優弧,QR,上任取一點,A,，則,ARPQ,為圓內接四邊形，,P,A,180,A,18012852,又,QOR,2,A,QOR,252104,4,外接圓的應用,如右圖，鈍角三角形,PQR,中，,P,128，若,O,為,PQR,外心，試求,QOR,。,搭配習作P.47基礎題6,解二,如右圖，畫出,PQR,的外接圓。,在優弧,QR,上任取一點,A,，,P,128,QAR,2128256,QPR,360,QAR,360256104,故,QOR,104。,如右圖，若,O,為鈍角三角形,ABC,外心，且,AOC,146，試求,B,。,如右圖畫出,ABC,的外接圓,ABC,AOC,146,ADC,360,ABC,360146214,B,ADC,107,四邊形的外接圓,任意三角形都有外接圓，是不是所有的四邊形都有外接圓呢？,假设給定的四邊形ABCD有外接圓，則此圓必通過A、B、C三點，即必為ABC的外接圓，所以四邊形ABCD是否有外接圓的問題就變成D點是否在ABC的外接圓上的問題，因此先作ABC的外接圓，如圖3-10，則D點可能落在圓內、圓上或圓外。接下來，我們來討論這三種情形：,D,點在圓內,D,點在圓上,D,點在圓外,圖3-10,1.,D,點在圓內：,如圖,3-11,，延長 ，交圓於,E,點，,並連接,，,則,B,E,180，,又,ADC,E,（外角大於任一內對角）,ADC,B,E,B,即,ADC,B,180。,圖3-11,2.,D,點在圓上：,如圖3-12，四邊形,ABCD,為圓內接四邊形，,B,D,180。,圖3-12,3.,D,點在圓外：,如圖3-13，設,交圓於,E,點，並連接,，,則,B,AEC,180，,又,D,AEC,（外角大於任一內對角）,D,B,AEC,B,即,ADC,B,180。,圖3-13,由上面的討論可知，在四邊形,ABCD,中：,1.,若,B,D,180，,則與上述 、 的結論不合，因此,D,點只會落在,ABC,的外接圓內。既然,D,點不會落在,ABC,的外,接圓上，那麼四邊形,ABCD,就沒有外接圓。,2.,若,B,D,180，,則與上述 、 的結論不合，因此,D,點只會落在,ABC,的外接圓上，即四邊形,ABCD,有外接圓。,2.,3.,3.,1.,3. 假设BD180，,則與上述 、 的結論不合，因此 D 點只會落在,ABC 的外接圓外。既然D點不會落在ABC的外,接圓上，那麼四邊形ABCD就沒有外接圓。,2.,1.,因此可得：,假设四邊形的對角互補，則此四邊形有外接圓。,一般而言，假设我們說A、B、C、D四點在同一圓上或A、B、C、D四點共圓，意思是有一個圓會同時通過A、B、C、D這四個點，也就是四邊形ABCD有外接圓。,1.,如右圖，四邊形,ABCD,中，,A,C,180，請利,用尺規作圖，作出一圓通過,A,、,B,、,C,、,D,四點。,2.,如右圖，四邊形,ABCD,中，,1,為,BCD,的外角，且,A,1,，試,證,A,、,B,、,C,、,D,四點在同一圓上。,1,BCD,180,，,A,1,A,BCD,180,故,A,、,B,、,C,、,D,四點在同一圓上,5,四邊形外接圓,如右圖，圓,O,通過平行四邊形,ABCD,的兩頂點,A,、,B,，且分別與,、 交於,E,、,F,兩點，試證,C,、,D,、,E,、,F,四點在同一圓上。,證明,(1) 如右圖，連接 。,(2) ,A,、,B,、,F,、,E,四點在同一圓上，,四邊形,ABFE,為圓內接四邊形，,故,A,1,。,證明,(,3,) ,ABCD,為平行四邊形，,A,D,180。,(,4,) 由(,2,)、(,3,)知,1,D,180，,四邊形,CDEF,的對角互補，,因此四邊形,CDEF,有外接圓，,故,C,、,D,、,E,、,F,四點在同一圓上。,如右圖，梯形,ABCD,中，,/,，若有一圓通過此梯形的兩頂點,C,、,D,，且分別與 、,交於,E,、,F,兩點，試證,A,、,B,、,F,、,E,四點在同一圓上。,連接 ，,C,、,D,、,E,、,F,四點共圓,C,AEF,又,/,，,B,C,180,故,B,AEF,180,即,A,、,B,、,F,、,E,四點共圓,證明,(1) ,為切線，,12,AC,，,同理34,AD,。,6,四邊形外接圓的應用,如右圖，兩圓交於,A,、,B,兩點，過,A,點作直線分別交兩圓於,C,、,D,兩點，分別過,C,、,D,兩點作切線交於,P,點，連接 、,，試證,P,、,C,、,B,、,D,四點共圓。,搭配習作P.47基礎題7,證明,(2) ,PCD,中，,P,13180，,P,24180，,P,CBD,180，,P,、,C,、,B,、,D,四點共圓,如右圖，,ABC,ADC,180，,試證12。,ABC,ADC,180,A,、,B,、,C,、,D,四點共圓,故12,AB,外心的應用,前面我們已知道直角三角形的外心在斜邊中點上，利用此特性可以來推算306090直角三角形的三邊長比。,7,306090三角形三邊長比,如右圖，,ABC,中，已知,ACB,90，,B,60，,A,30，,a,，試求 、,。,搭配習作P.47基礎題8,解一,如右圖，作斜邊中點,O,，,ACB,90，,O,為外心，,，,又,OCB,B,60，則,BOC,60，,故,OBC,為正三角形，, ,a,，,2,a,解二,如右圖，以,為對稱軸，將圖形翻轉，,使,B, 點為,B,點的對稱點，,則,垂直平分 ，,B,B,60，,故,ABB,為正三角形，, 2 2,a,如圖3-14，,ABC,中，,c,， ,a,， ,b,，,A,30，,B,60，,C,90，,則,ABC,三邊長的比為,a,：,b,：,c,1： ：2 。,圖3-14,1. 如右圖，ABC 中，A30，C 60，,假设 6，試求 。,： = ：1,6： = ：1,2. 如右圖，鳶形,ABCD,中，,BAD,120，,BCD, 60，若 4，試求其,外接圓的半徑。,連接 ，,B,D,90, ：,2：1,8,半徑4,8,正三角形的高與面積公式,如右圖，正三角形,ABC,中，,a,，且 ，試求,ABC,的面積。,解, 為正三角形,ABC,的高，,ABD,中，,B,60，,ADB,90，,BAD,30,： ： 2： ：1 故 ,a,正三角形,ABC,的面積 , ,a,a,a,2,由例題8知道：,邊長為,a,的正三角形，其高為,a,，面積為,a,2,。,1.,若某正三角形的周長為12，試求此三角形的面積。,面積 邊長,2, （12）,2,2.,有一個正三角形面積是 ，試求此三角形的邊長。,面積 邊長,2, ，邊長8,1.,外心：,任何三角形三邊的垂直平分線交於同一點（外心），,且此點到三頂點的距離相等。,2.,三角形外心的位置：,(1) 銳角三角形的外心會落在三角形,內部,。,(2) 鈍角三角形的外心會落在三角形,外部,。,(3) 直角三角形的外心剛好落在,斜邊中點上,。,3.,四邊形的外接圓：,若四邊形對角互補，則此四邊形有外接圓。,4.,直角三角形的三邊比：,ABC,中，,c,，,a,，,b,，,A,30,，,B,60,，,C,90,，則,ABC,三邊長的比為,a,：,b,：,c,1,：,：,2,。,5.,正三角形的高與面積公式：,邊長為,a,的正三角形，其高為,a,，面積為,a,2,。,3-1,自我評量,1.,如下圖，有,A,、,B,、,C,三村，想蓋一所公園和三村的距,離要相等，請用尺規作圖找出公園的位置。,2.,若直角三角形的兩股長分別為2、6，試求其外心到,三個頂點的距離和。,斜邊長,外心到三頂點的距離和3（ ）,3.,ABC,中，已知,A,60，,B,40，若,O,為,ABC,的外心，試求,BOC,。,如右圖，圓,O,為,ABC,的外接圓。,O,為外心,BOC,BC,2,A,120,4.,ABC,中，若,A,為鈍角，,O,為外心，且,BOC,162，,試求,A,。,如右圖，圓,O,為,ABC,的外接圓。,BAC,BOC,162,BDC,360,BAC,198,A,BDC,99,5.,如右圖，,ABC,中， ，且,/,，,試證,B,、,C,、,E,、,D,四點共圓。, ，,B,C,又,/,，,C,DEC,180,故,B,DEC,180,因此,B,、,C,、,E,、,D,四點共圓。,6.,ABC,中，,A,60，,B,90，若,O,為外心，且,18，試求,ABC,的面積。,O,為外心， 6 ,12,ABC,中，,A,60，,B,90，,C,30,：,：,1： ：2,：,：61： ：2,3，,ABC, ,在天才與勤奮之間，我毫不遲疑的選擇了勤奮，因為它是世間一切成就的催生者。,愛因斯坦（,Albert Einstein，1879-1955,）,3G:Cyv-rBx=u(,