大学物理角动量转动惯量描述

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,第四章 刚体的转动,4 3 角动量 角动量守恒定律,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,大学物理角动量转动惯量描述,根本要求,理解,角动量,概念，掌握,角动量定理、角动量守恒,及其应用；,理解描写刚体,定轴转动,的物理量，并掌握,角量与线量的关系,；,理解,力矩,和,转动惯量,概念，计算转动惯量，掌握刚体绕定轴转动的,转动定律,；,理解刚体定轴转动的,转动动能,概念，能在有刚体绕定轴转动的问题中正确地应用,机械能守恒定律,。,能运用以上规律分析和解决包括质点和刚体的简单系统的力学问题。,2,刚体rigid body ：在外力作用下，形状和大小都不发生变化的物体。或：任意两质点间距离保持不变的特殊质点系。,刚体的运动形式：,平动(translation)、转动(rotation),。,刚体平动 质点运动,平动：,刚体内任意两点间连线的空间方向总保持不变,特点：各点位移、速度、加速度均一样。,3,转动：刚体中所有点同时都绕同一直线做圆周运动。转动又分定轴转动、非定轴转动绕定点转动或绕瞬心转动。,刚体的平面运动：,4,A,点作圆周运动，,B,点作直线运动，因此，,AB,杆的运动既不是平动也不是定轴转动，而是,平面运动,。,例：,曲柄连杆机构中连杆,AB,的运动。,5,刚体的一般运动：,质心的平动,绕质心的转动,+,质心,：刚体的质量分布的中心,6,角动量,概念的建立，和,转动,有密切的关系。,在自然界中经常会遇到质点或质点系围绕着某一个确定点或轴转动的情况。例如，行星绕太阳的公转，人造卫星绕地球转动，电子绕原子核转动以及刚体的转动等等。,在这些问题中，动量及机械能的有关规律并不能直接用，这时假设采用角动量概念讨论问题就很方便。,转动问题与平动问题的描述有许多相似之处，如：,力的时间累积效应,冲量、动量、动量定理。,力矩的时间累积效应,冲量矩、动量矩(角动量)、角动量定理。,角动量 角动量定理 (),7,预备知识：二矢量的矢积叉乘,大小：,方向：,与 和 都垂直，,且成由 转到 的右手螺旋关系,性质：,(以 和 为边的平行四边形面积),8,大小：,方向：右手螺旋定那么判定,力臂:,(力与力臂的乘积),定义：,为作用在质点上的力,对参考点O的力矩。,是作用点P相对于固定点O的位矢。,单位：Nm 注意：不能写作功的单位J ,一、力矩,1、对参考点的力矩,9,在直角坐标系中，力矩可表示为：,注意：同一个力对于不同的参考点(转轴)的力矩不同，因此说“力矩时必须指明是相对于哪一点或哪一个转轴) 而言的。,其中：,10,质点系所受的总力矩对同一参考点：,特别，对刚体,例：,如图，长为,L,的细棒的质量密度分布为 ,其中,l,为距左端的长度，求其所受重力对O点的力矩。,解：,大小：,方向：,垂直纸面向里,11,P,*,O,: 力臂,刚体绕,O z,轴旋转，力 作用在刚体上点 P,(P点在转动平面内),为力的作用点 P,到转轴,的径矢,。,对转轴,Z,的力矩,2、对转轴的力矩,12,O,1）,若,力,不在转动平面内，把力,分解,为平行和垂直于转轴方向的两个分量：,2合力矩等于各分力矩的矢量和。,其中 对转轴的力,矩为零，故 对转轴的力矩：,讨论：,注意,：,合力矩,与,合力的矩,是不同的概念，不要混淆。,13,3 刚体内部，作用力和反作用力对同一点或转轴的力矩互相抵消。,O,计算对定轴的力矩时，可用正负号来反映力矩方向。,力矩的计算：,计算变力对某一转轴的力矩那么应当采取分小段的方法，将每一小段的力视为恒力，再按照恒力矩的计算方法进展计算，最后求和。,14,例：,一匀质细杆，长为,l,质量为,m,，在摩擦系数为,的,水平桌面上转动，,求：,摩擦力的力矩,M,阻,。,解：,杆上各质元均受摩擦力作用，但各质元受的摩擦阻力矩不同，靠近轴的质元受阻力矩小，远离轴的质元受阻力矩大，,细杆的质量密度：,质元质量：,质元受阻力矩：,细杆受的阻力矩：,15,R,练习：,如图一圆盘面密度为，半径为R，与桌面的摩擦系数为，,求：,圆盘绕过圆心且和盘面垂直的轴转动时，圆盘所受的摩擦力矩。,O,解：,取一小环为面元，,r,dr,df,假设圆盘以0 的初角速度转动，圆盘转多少圈静止?,问题：,(解答需要转动情况下的动能定理),16,1、质点的角动量,旧称,动量矩,(,Angular Momentum),质量为 的质点以速度 在空间运动，某时刻相对原点,O,的位矢为 ，质点,相对于原点的角动量,定义为,大小：,方向：服从右手螺旋定那么。,O,m,单位： kg, m,2,/s,二、质点的角动量定理,17,2角动量与位矢有关，说到角动量时必须指明是对哪一参照点而言；,例,作,圆周运动,的质点的角动量。,1角动量是描述转动状态的物理量；,说明：,质点以角速度 作半径,为,的圆周运动，相对圆心的角动量大小为：,质点作,匀速率,圆周运动时，角动量是恒量。,18,3) 在,直角坐标系,中，角动量的表达式为：,例,当质点在,xoy,面内,作,平面运动,时，角动量为：,19,例如，电子绕核运动，具有轨道角动量，电子还有内禀的自旋运动，因而具有自旋角动量，等等。,4) 角动量的概念，不但能描述经典力学中的宏观运动，在近代物理理论中仍然是表征,微观运动,状态的重要物理量。,角动量是原子、分子和原子核系统的根本性质之一，并且只能取特定的不连续的量值，此称为角动量的量子化。在这些微观系统的性质的描述中，角动量起着非常重要的作用。,当质点作平面运动时，质点对运动平面内某参考点O 的角动量动量矩，也可称为质点对过 O 点垂直于运动平面的轴的角动量动量矩。,20,m,d,1,d,2,d,3,A,B,C,解：,例1:,一质点,m,，速度为，如图所示，,A、B、C,分别为三个参考点，此时,m,相对三个点的距离分别为,d,1,、,d,2,、,d,3,，试分别,求,此时刻质点对三个参考点的角动量。,大小：,方向：,都垂直纸面向里,21,例2：,有一个质量为 m = 1 kg 的物体, 在力,的作用下运动。 当 t = 0 时，,求:,t = 1s时对原点,此1s内，力所做的功？对物体冲量？,22,质点对,参考点,O,的,角动量,随时间的,变化率,，等于作用于质点的合力对该点,O,的力矩 。,2、质点的角动量定理,质点,角动量,定理的微分形式：,23,冲量矩,质点的角动量定理,：对同一参考点,O,，质点所受到的冲量矩等于质点角动量的增量。,注意：,定理中的,力矩,和,角动量,都必须是,相对于同一参考点,而言的。,说明:,(1) 冲量矩是质点角动量变化的原因。,(2) 质点角动量的变化是,力矩对时间的积累,的结果。,24,质点所受对参考点,O,的合力矩总为零时，质点对该参考点,O,的角动量为一恒矢量。,3、质点的角动量守恒定律：,说明：,1质点的角动量守恒的条件是力矩总和为零。,思考：质点作匀速直线运动和匀速率圆周运动,注意：合力为零，合力矩未必为零！,合力不为零时，合力矩可能为零,，有两种情况：,一、,力的作用点就在参考点,，此时位置矢量 = 0；,二、,沿力的方向的延长线通过参考点,，此时：,例：匀速率圆周运动；地球绕日转动,25,例如，行星在绕太阳的运动中，对太阳的角动量守恒；人造地球卫星绕地球运行时，它对地心的角动量守恒；电子绕原子核运动时，电子对原子核的角动量守恒。,如果质点在运动中受到的力始终指向某个固定的中心，这种力叫做,有心力,，该固定中心称为,力心,。,有心力相对于力心的力矩恒为零,。所以，在有心力作用下质点对力心的角动量都是守恒的。,2有心力问题,26,摆球受力如图。,逆时针,顺时针,重力矩,张力矩,例：,质量为的圆锥摆摆球，以速率,v,运动时，对参考点的角动量是否守恒？对参考点的角动量是否守恒？,27,28,例5 一半径为 R 的光滑圆环置于竖直平面内。一质量为 m 的小球穿在圆环上，并可在圆环上滑动。小球开场时静止于圆环上的点 A (该点在通过环心 O 的水平面上)，然后从 A 点开场下滑。设小球与圆环间的摩擦略去不计。求：小球滑到任意点 B 时对环心 O 的角动量和角速度。,解：,小球受重力和支持力作用. 对O点, 支持力的力矩为零，重力矩垂直纸面向里。,由质点的角动量定理：,29,考虑到,有,由题设条件, 对上式积分, 有,30,例6 ：,用绳系一小球使它在光滑的水平面上做匀速率圆周运动，其半径为,r,0,，角速度为,0,。现通过圆心处的小孔缓慢地往下拉绳使半径逐渐减小。,求：,当半径缩为,r,时的角速度。,解：,m,r,0,r,o,以小孔,O,为原点，绳对小球的拉力为有心力，,对,O,点其力矩为零，,那么小球对O 点的角动量守恒。,初态：,末态：,角动量守恒：,所以：,或：,31,应用角动量守恒定律可以证明,开普勒第二定律:,16世纪末至17世纪初，开普勒仔细地分析整理了前人记录下的大量准确的有关行星运动的资料，总结出行星运动的规律、即开普勒三定律。,只是开普勒尚不理解，他所发现的三大定律已传达了重大的“天机。由于角动量正比于位矢的掠面速度，因此开普勒第二定律意味着角动量守恒。事实上，牛顿定律及万有引力定律提出时都以开普勒定律为验证实例,行星与太阳的连线在一样时间内扫过相等的面积.,32,行星在太阳的引力作用下沿椭圆轨道运动，由于引力的方向在任何时刻总与行星对于太阳的位矢反平行，因此行星受到的引力对太阳的力矩为零。,角动量的方向不变，说明位矢和速度所决定的平面的方位不变，行星就在这个平面内运动，它的轨道是二维的。,所以，行星在运行过程中，它对太阳的角动量保持不变。,33,在dt时间间隔内，,扫过的面积为,而行星对太阳的角动量的大小,有心力作用，角动量,L,守恒，故面积变化率恒定。,Kepler第二定律的证明：,34,在低轨道上运行的地球卫星，由于大气摩擦阻力对地心的矩不为零，其对地心的角动量不守恒。在此力矩的作用下，卫星的角动量值不断减小，最后陨落地面。,角动量守恒是自然界的普遍规律。,角动量守恒、动量守恒、能量守恒定律并称为,三大守恒定律,，这三大守恒定律的成立有着深刻的内在原因。现代物理学已确认，这些守恒定律是和自然界的更为普遍的属性时空对称性相联系的。,能量守恒,和,动量守恒,分别是,时间平移,对称性和,空间平移,对称性的结果，而,角动量守恒,是,空间旋转,对称性的结果。(参,6.4, 自学,),35,例7:,一颗地球卫星，近地点181km，速率8.0km/s，远地点327km，,求：,在远地点处的卫星速率。,解：,卫星对地球的角动量守恒,近地点,远地点,那么,且,思考：行星对椭圆轨道的另一焦点角动量是否守恒？,36,质点系的角动量定理,质点系的角动量,质点系的角动量,L,S,i,L,i,r,S,i,i,m,i,v,i,各质点对给定参考点的,角动量的矢量和,惯性系中某给定参考点,m,1,2,m,3,m,r,1,3,r,2,r,3,v,2,v,v,1,O,37,质点系的角动量定理推导,O,m,1,2,m,F,1,F,1,内,F,2,内,外,F,2,外,r,1,2,r,d,某给定参考点,对质点系:,38,角动量定理的微分形式,角动量定理的积分形式,质点系的角动量定理,作用于质点系的外力对,参考点,O,的合力矩 ，等于质点系对该点的,角动量,随时间的,变化率,.,对同一,参考点,O,，质点系所受的,冲量矩,等于质点系,角动量,的增量.,39,假设质点系所受的外力对某固定参照点的力矩的矢量和为零，那么质点对该固定点的角动量守恒。,质点系的角动量守恒定律,质点系的角动量守恒定律,由：,40,1,2,3,4,两人同时到达；,用力上爬者先到；,握绳不动者先到；,以上结果都不对。,两人质量相等,O,一人握绳不动,一人用力上爬,随堂小议,可能出现的情况是,终点线,终点线,滑轮质量,既忽略,轮绳摩擦,又忽略,41,O,m,1,2,m,v,1,2,v,R,同高从静态开始往上爬,忽略轮、绳质量及轴摩擦,质点系,m,1,2,m,若,m,1,2,m,系统受合外力矩为零，,角动量守恒,。,系统的初态角动量,系统的末态角动量,m,1,v,1,R,2,m,2,v,R,0,得,2,v,v,1,不论体力强弱, 两人等速上升。,若,m,1,2,m,系统受合外力矩不为零，角动量不守恒。,可应用,质点系角动量定理,进行具体分析讨论。,42,例8,一质量,的登月飞船, 在离月球表面高度,处绕月球作圆周运动。现飞船采用如下登月方式：当飞船位于点,A,时，它向外侧短时间喷气，使飞船与月球相切地到达点,B,，且,OA,与,OB,垂直。飞船所喷气体相对飞船的速率为,。已知,月球半径,;,在飞船登月过程中，月球,的重力加速度视为常量,。,试求：,登月飞船在登月过,程中所需消耗燃料的质量,是多少?,B,h,O,R,A,43,解,设飞船在点,A,的速度 , 月球质量,m,M,由万有引力和牛顿定律,B,h,O,R,A,已知,求,所需消耗燃料的质量 .,44,得,得,当飞船在,A,点以相对速度 向外喷气的短时间里，飞船的质量减少了,m,而为,，并获得速度的增量 ，使飞船的速度变为 ，其值为：,质量,在,A,点和,B,点只受有心力作用，角动量守恒,B,h,O,R,A,45,飞船在,A,点喷出气体后, 在到达月球的过程中, 机械能守恒,即,于是,而,B,h,O,R,A,46,定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律,(),1、刚体定轴转动的角动量,O,(所有质元的角动量之和),对于刚体的定轴转动，我们应当用角动量来描述刚体运动状态，而不是用动量。,引入,转动惯量,(后详述),有,一般:,47,2、刚体定轴转动的角动量定理,O,质点系：,定轴转动：,故,对刚体:,定轴转动的角动量定理：,作用在刚体上的合外力矩的冲量矩等于作用时间内角动量的增量。,对非刚体：,48,内力矩不改变系统的角动量。,守恒条件：,若 不变， 不变；,若 变， 也变，但 不变。,定轴转动的角动量定理,，则,若,注,在,冲击,等问题中，,当刚体受到的合外力矩恒为0 时，其角动量守恒。,守恒有两种情况：,3、刚体定轴转动的角动量守恒定律,49,讨论,守恒条件：,不仅要分析力是外力还是内力，而且重要的是要分析外力力矩的和。,当合外力不为0时，合外力矩可以为0,(看对何轴),当合外力为0时，,合外力矩不一定为0；,50,解：两飞轮通过摩擦到达共同速度,合外力矩为0，系统角动量守恒。,共同角速度,例9,：,两个共轴飞轮转动惯量分别为,J,1,、,J,2,，角速度分别为,1 、,2,，,求：,两飞轮啮合后共同的角速度,。,51,王注,: 对点和对轴转动情形都可用上式定义，但其中的,r,含义不同,(教材中只涉及对定轴转动情形),：对参考点转动：,r,为各质点(元),到参考点的距离,；对参考轴转动：,r,为各质点(元),到转轴的垂直距离,。,物理意义：,是刚体转动的惯性的量度。,刚体的转动惯量的大小：,1与刚体的总质量、形状、大小有关。,2与质量对轴的分布有关。,3与轴的位置有关。(所以必须指明对何轴/点的J ),对确定的刚体、给定的转轴(或定点)，J是一常数,定义:,转动惯量问题,质点系：,52,质量离散分布质点系的转动惯量：,转动惯性的计算:,质量连续分布的刚体的转动惯量:,：质量元,线分布,体分布,面分布,53,质量,线分布,的刚体：,：,质量线密度,质量,面分布,的刚体：,：,质量面密度,质量,体分布,的刚体：,：,质量体密度,只有对于几何形状规那么、质量连续且均匀分布的刚体才能用积分直接计算出刚体的转动惯量。对于形状复杂的刚体通常通过实验测得其转动惯量。,质量连续分布的刚体:,：,质量元,54,m,1,2,m,转轴,O,l,1,l,2,假设连接两小球视为质点的轻细硬杆的质量可以忽略，那么：,可视为分立质点构造的刚体:,转轴,O,2,m,m,1,6,0,1,l,2,l,55,例1：,求半径为,R,质量为,M,的圆环绕垂直于圆环平面的质心轴转动的转动惯量,J,。,解：,分割质量元,dm,，各质量元到轴的距离相等，,绕圆环质心轴的转动惯量为:,相当于质量为M的质点对轴的转动惯量，,与质量在环上的分布无关。,56,例 2：,一质量为 、半径为 的均匀圆盘，,求：,通过盘中心,O,并与盘面垂直的轴的转动惯量。,解,设圆盘面密度为 ，在盘上取半径为 ，宽为 的圆环。,圆环质量,所以:,圆环对轴的转动惯量,转动惯量与盘上质量对轴的分布有关,O,r,d,r,R,m,dm,思考:,圆柱,如何？,解题时常用到,57,O,O,解,设棒的线密度为 ，取一距离转轴,OO,为 处的质量元 ,例 3 :,一,质量为 、长为 的均匀细长棒，,求：,通过棒,中心,（和,端点,）并与棒垂直的轴的转动惯量。,O,O,如转轴过,端点,垂直于棒,转动惯量与轴的位置有关。,58,R,R,R,R,1,2,R,R,L,b,a,匀质矩形薄板,转轴通过中心垂直板面,I,= (,a,+,b,),2,2,m,12,匀质细圆环,转轴通过中心垂直环面,I,=,m,R,2,匀质细圆环,转轴沿着环的直径,2,I,=,2,m,R,匀质厚圆筒,转轴沿几何轴,I,= (,R,1,-,R,2,),2,2,m,2,匀质圆柱体,转轴通过中心垂直于几何轴,m,I,=,R,+,2,2,m,12,4,L,匀质薄球壳,转轴通过球心,2,I,=,2,m,R,3,R,2,=0时, 即为圆柱,59,平行轴定理:,P,转动惯量的大小取决于刚体的,质量,、,形状,、,大小,、,质量分布,及,转轴的位置,。,质量为 的刚体，如果对过质心轴的转动惯量为 ，则对任一与该轴平行，相距为 的转轴的转动惯量为：,C,O,注意,例:圆盘对,P,轴的转动惯量:,O,(证明需用质心性质，此略),60,例：如下图，求：刚体对经过棒端O且与棒垂直的轴的转动惯量？(棒长为L、圆盘半径为R,例：,以长为 l、质量为 m 的匀质细杆绕其一端垂直于杆的轴转动为例，利用平行轴定理,求,转动惯量 。,解：,绕细杆质心的转动惯量为：,绕杆的一端转动惯量为,O,记住！,61,转动惯量的计算方法：,直接由定义求：注意 r 为到轴的垂直距离,复杂形状的刚体，可以先求出简单形体的，,再相加。注意对同一轴,平行轴定理：,62,例5,质量很小长度为,l,的均匀细杆，可绕过其中心,O,并与纸面垂直的轴在竖直平面内转动。当细杆静止于水平位置时，有一只小虫以速率,垂直落在距点,O,为,l,/4,处，并背离点,O,向细杆的端点,A,爬行。设小虫与细杆的质量均为,m,。,求：,欲使细杆以恒定的角速度转动，小虫应以多大速率向细杆端点爬行?,解：,小虫与细杆的碰撞视为完全非弹性碰撞，碰撞前后系统角动量守恒。,63,由角动量定理,即,考虑到,64,例：质量为m 半径为R 的匀质薄球壳，求：其绕过球心的轴直径的转动惯量。,解：,在球面取一圆环带，,半径,65,例：质量为m 半径为R 的匀质球体绕过球心的轴直径的转动惯量。,解：,把球体看作无数个同心薄球壳的组合,注: 也可把球体看作无数个同轴薄圆盘的组合 (自练习),66,例8 有一长为l，质量为m1的均匀细棒，静止平放在光滑水平桌面上，它可绕通过其端点O，且与桌面垂直的固定光滑轴转动。另有一质量为m2 、水平运动的小滑块，从棒的侧面沿垂直于棒的方向与棒的另一端A相碰撞，并被棒反向弹回，碰撞时间极短。小滑块与细棒碰撞前后的速率分别为v和u，那么碰撞后棒绕轴转动的角速度 为多大？,67,解：,不考虑摩擦时, 棒和滑块组成的系统对过O点的竖直轴合外力矩为0，碰撞前后角动量守恒,68,l,l,/2,C,A,B,M,N,h,解：,碰撞前 M 落在,A,点的速度,碰撞后的瞬间，M、N具有一样的线速度。,例9,一杂技演员 M 由距水平跷板高为,h,处自由下落到跷板的一端,A,，并把跷板另一端的演员N 弹了起来。设跷板是匀质的，长度为,l,，质量为,，跷板可绕中部支撑点,C,在竖直平面内转动，演员的质量均为,m,。假定演员M落在跷板上，与跷板的碰撞是完全非弹性碰撞。,求：,演员N可弹起多高?,69,把M、N和跷板作为一个系统，角动量守恒。,解得,演员 N 以 u 起跳，到达的高度,l,l,/2,C,A,B,M,N,h,70,谢谢大家！,