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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,HOHAI UNIVERSITY,Ch9,弯曲内力,9-1,概 述,外力特点：垂直于杆轴线外力，或作用在包含轴线平面内的外力偶。,变形特点：杆的轴线弯成曲线，且杆的横截面相对转动一角度。,F,q,(,x,),Me,纵向对称面,1,以弯曲变形为主要变形的杆件称为,梁,。,工程中绝大多数梁都有一纵向对称面，且外力均作用在此面内，此时梁的轴线在此对称面内弯成一条平面曲线，梁发生,平面弯曲,。平面弯曲是杆件的一种基本变形。,F,q,(,x,),Me,2,按梁的支承情况，梁有三种基本形式。,梁的分类：,1.,简支梁：,一端为固定铰支座，另一端为可动铰支座的梁。,2.,外伸梁：,简支但一端或两端具有外伸部分的梁。,3.,悬臂梁：,一端固定，另一端为自由的梁。,静定梁：可由静力平衡方程求出所有支座反力的梁。,超静定梁：仅用静力平衡方程不能求出全部支座反力的梁。,梁两支座间的距离称为跨度，其长度称为,跨长,。,3,A,B,q,F,1,F,2,F,1,F,2,A,B,A,B,q,(,x,),A,B,q,C,F,16.5,4,9-2,弯曲内力,1.,剪力用,F,Q,表示,单位,N,kN,。,弯矩用,M,表示,单位,Nm,kNm,。,2.,符号规定,:,剪力,:,作用于横截面上的剪力使研究对象有,顺时针转动趋势,的为正,反之为负。,F,Q,F,Q,F,Q,F,Q,+,-,剪力和弯矩,5,弯矩,:,作用于横截面上的弯矩使研究对象产生,下凸趋势,的为正,反之为负。,M,M,M,M,+,-,6,A,F,1,F,R,A,a,m,m,x,x,M,F,Q,y,c,A,B,F,1,F,2,a,m,m,x,1),.,梁上任一横截面上的剪力，在数值上等于该截面一侧所有外力沿横截面方向投影的代数和。,2),.,梁上任一横截面上的弯矩，在数值上等于该截面一侧所有外力对该截面形心力矩的代数和。,截面法,7,剪力,:,作用于横截面上的剪力使研究对象有,顺时针转动趋势,的为正,反之为负。,F,Q,F,Q,F,Q,F,Q,+,-,弯矩,:,作用于横截面上的弯矩使研究对象产生,下凸趋势,的为正,反之为负。,M,M,M,M,+,-,8,例,1,求解图示梁指定截面的内力。,2m,A,B,q,=,2kN/m,1m,1m,1,1,2,2,3,3,x,y,解：,1.,求支座反力,M,A,F,Ay,2.,求截面内力,9,A,1,1,x,M,A,F,Ay,A,1,1,x,M,A,F,Ay,2,2,解：,1.,求支座反力,2.,求截面内力,1-1,截面,2-2,截面,3-3,截面,M,1,F,Q1,M,2,F,Q2,M,3,F,Q3,A,1,1,x,M,A,F,Ay,2,2,3,3,q,= 2kN/m,此题可否不求解约束力,?,10,例,2,求解图示梁指定截面的内力。,A,B,F,3,3,1,1,2,2,5,5,4,4,M,= 4,Fa,a,a,a,解：,1.,求支座反力,2.,求截面内力,11,A,B,l,F,a,b,C,q,作业题：,求,A,截面右侧、,C,截面左侧和右侧的内力。,第十七次课结束处,12,5-3,剪力方程和弯矩方程、剪力图和弯矩图,F,Q,=F,Q,(,x,),剪力方程,以平行于梁轴线的坐标轴为,x,轴,表示横截面的位置；以垂直于梁轴线的坐标轴为,F,Q,轴或,M,轴,F,Q,以向上为正,，,M,以向下为正,，画出的图形称为剪力图或弯矩图。,M=M,(,x,),弯矩方程,将各截面的剪力和弯矩表示为截面位置的函数,二、剪力图和弯矩图：,一、剪力方程和弯矩方程,13,例,3,简支梁受均布荷载作用，如图所示。试列出剪力方程和弯矩方程，画出剪力图和弯矩图。,A,B,q,l,x,解：,1.,求支座反力,2.,列剪力方程、弯矩方程,F,Ay,F,RB,x,截面,14,3.,画剪力图、弯矩图,A,B,q,l,x,F,Q,+,x,M,+,15,例,4,一简支梁受集中荷载作用，如图所示。试列出剪力方程和弯矩方程，画出剪力图和弯矩图。,A,B,l,x,F,a,b,C,解：,1.,求支座反力,2.,列剪力方程、弯矩方程,F,Ay,F,RB,3.,画剪力图、弯矩图,16,x,F,Q,x,M,A,B,l,F,a,b,C,+,+,17,例,5,一简支梁受均布荷载及集中荷载作用，如图所示。试列出剪力方程和弯矩方程，画出剪力图和弯矩图。,A,B,l,x,F,a,b,C,q,18,例,6,一简支梁受集中力偶作用，如图所示。试列出剪力方程和弯矩方程，画出剪力图和弯矩图。,A,B,M,a,b,l,x,C,分段点：集中力、集中力偶、分布荷载起止，剪力方程、弯矩方程要分段；剪力图、弯矩图有突变，为控制截面处。由此可见剪力图、弯矩图与荷载图之间存在一定的关系。,17.5,19,A,B,q,(,x,),F,x,9-4,弯矩、剪力与分布荷载集度间的关系,设一段梁受力如图,x,处取微段,d,x,，,微段受力如图,由该微段的平衡方程,F,iy,=0,即,F,Q,(,x,),-,F,Q,(,x,)+d,F,Q,(,x,),+,q,(,x,)d,x,=0,d,x,x,q,(,x,),d,x,M,(,x,),F,Q,(,x,),M,(,x,),+,dM,(,x,),F,Q,(,x,),+,dF,Q,(,x,),C,20,d,F,Q,(,x,),d,x,=q,(,x,),得,d,F,Q,(,x,)=,q,(,x,)d,x,M,(,x,),F,Q,(,x,),M,(,x,),+,dM,(,x,),F,Q,(,x,),+,dF,Q,(,x,),q,(,x,),d,x,C,M,C,=0,M,(,x,)+,F,Q,(,x,)d,x,-,M,(,x,)+d,M,(,x,)+,q(x,)d,x,=0,d,x,2,d,M,(,x,),d,x,=,F,Q,(,x,),得,d,M,(,x,)=,F,Q,(,x,)d,x,d,2,M,(,x,),d,x,2,=,q,(,x,),从而,21,1.,q,(,x,)=0,讨论：,该梁段内,F,Q,(,x,)=,常数,。故剪力图是平行于,x,轴的直线；,弯矩是,x,的一次函数,，弯矩图是斜直线。,2.,q,(,x,)=,常数,该梁段内,F,Q,(,x,),为线性函数,。故剪力图是斜直线；,弯矩是,x,的二次函数,，弯矩图是二次抛物线。,剪力为正，弯矩图向下倾斜；剪力为负，弯矩图向上倾斜。,q,(,x,),为正，剪力图向上倾斜，弯矩图为上凸曲线；,q,(,x,),为负，剪力图向下倾斜，弯矩图为下凸曲线。,22,例,7,作如图所示外伸梁的剪力图和弯矩图。,解：,1.,求支座反力,2.,画剪力图、弯矩图,F,Ay,F,RB,找控制截面，计算控制截面上剪力、弯矩,1,1,2,2,3,3,4,4,5,5,6,6,23,F,Ay,F,RB,1,1,2,2,3,3,4,4,5,5,6,6,F,Q,72,88,60,20,(,kN,),M,(,kNm,),80,113.6,3.6m,+,+,+,+,144,16,24,F,Ay,F,RB,1,1,2,2,3,3,4,4,5,5,6,6,F,Q,72,88,60,20,(,kN,),M,(,kNm,),80,113.6,3.6m,+,+,+,+,144,16,q,(,x,)=0,剪力图是平行于,x,轴的直线；,弯矩图是斜直线。,q,(,x,)=,常数,剪力图是斜直线；,弯矩图是二次抛物线。,第十八次课结束处,25,例,8,作如图所示联合梁的剪力图和弯矩图。,解：,1.,求支座反力,2.,画剪力图、弯矩图,找控制截面，计算控制截面上剪力、弯矩,M,C,F,RA,F,Cy,1,1,2,2,3,3,4,4,26,F,Q,(,kN,),40,80,10,240,M,(,kNm,),10,75,+,+,27,9-5,按,叠加原理作弯矩图,故可先分别画出各个荷载单独作用的弯矩图，然后将各图对应处的纵坐标叠加，得所有荷载共同作用的弯矩图。,这是一个普遍性的原理，即,叠加原理,；凡是作用因素（如荷载，温度等）和所引起的结果（支座反力、内力、应力、变形等）之间成,线性关系,，叠加原理都适用。,当梁在荷载作用下为微小变形时，梁的,支座反力、剪力和弯矩与梁上荷载成线性关系。这时，,在多个荷载作用下，梁的弯矩为各个荷载单独作用时的弯矩的代数和。,28,A,B,q,l,Me=,1/8,ql,2,A,B,q,l,A,B,l,Me=,1/8,ql,2,+,ql,2,/8,M,ql,2,/8,M,如图,按,叠加原理作其弯矩图,29,A,B,q,l,Me=,1/8,ql,2,+,ql,2,/8,M,M,e,单独作用下,弯矩图,q,单独作用下,弯矩图,ql,2,/8,M,-,M,ql,2,/8,共同作用下,弯矩图,-,+,ql,2,/16,30,
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