平面问题的极坐标解答

,第四章 平面问题的极坐标解答,第一节 极坐标中的平衡微分方程,第二节 极坐标中的几何方程及物理方程,第三节 极坐标中的应力函数与相容方程,第四节 应力分量的坐标变换式,第五节 轴对称应力和相应的位移,第四章 平面问题的极坐标解答,第六节 圆环或圆筒受均布压力,第八节 圆孔的孔口应力集中,第九节 半平面体在边界上受集中力,第十节 半平面体在边界上受分布力,例题,第七节 压力隧洞,区别,:直角坐标中,x,和,y,坐标线都是直线,有,固定的方向,x,和,y,的量纲均为,L,。,极坐标中, 坐标线（ =常数）和 坐标线（ =常数）在不同点有不同的方向;,相同,:两者都是正交坐标系。,直角坐标(,x,y,),与极坐标 比较：,坐标线为直线, 坐标线为圆弧曲线;,的量纲为,L,的量纲为1。这些区别,将引,起弹性力学基本方程的区别。,对于圆形，弧形，扇形及由径向线和环向围成的物体，宜用极坐标求解。用极坐标表示边界简单，使边界条件简化。,应用,41 极坐标中的平衡微分方程,在,A,内任一点（ ， ）取出一个微分体，考虑其平衡条件。,微分体,-,由夹角为 的两径向线和距离,为 的两环向线围成。,两 面不平行，夹角为 ；,两 面面积不等，分别为 ， 。,从原点出发为正， 从,x,轴向,y,轴方向,转动为正。,注意：,平衡条件：,平衡条件,考虑通过微分体形心,C,的 向及矩的平衡,，,列出,3,个平衡条件:,注意：,-,通过形心,C,的力矩为,0,，当,考虑到二阶微量时，得,-,通过形心,C,的 向合力为0，,整理，略去三阶微量，得,同理，由 通过形心,C,的 向合力为0可得：,极坐标下的平衡微分方程：,几何方程,-,表示微分线段上,形变和位移之间的几何关系式 。,42 几何方程及物理方程,极坐标系中的几何方程可以通过微元变形分析直接推得，也可以采用坐标变换的方法得到。下面讨论后一种方法。根据直角坐标与极坐标之间的关系，有,注意：,可求得,根据张量的坐标变换公式,对平面问题：,几何方程,由此可得,比较可知,极坐标中的物理方程,直角坐标中的物理方程是代数方程，且,x,与,y,为正交，,故物理方程形式相似。,物理方程,极坐标中的物理方程也是代数方程,且,与 为正交，,平面应力问题的物理方程：,物理方程,对于,平面应变问题,，只须作如下同样变换，,边界条件,-,应用极坐标时，弹性体的边界面通常均为坐标面，即：,边界条件,故边界条件形式简单。,平面应力问题在极坐标下的基本方程,物理方程,物理方程,对于,平面应变问题,，只须将物理方程作如下的变换即可。,以下建立直角坐标系与极坐标系的变换关系，用于：,43,极坐标中的应力函数 与相容方程,1、 物理量的转换;,2、从直角坐标系中的方程导出极坐标,系中的方程。,函数,的变换,：,将式 或 代入，,坐标变量,的变换,：,反之,1.从直角坐标系到极坐标系的变换,坐标变换,或,矢量,的变换,：,位移,坐标变换,将对 的导数，变换为对 的导数：,可看成是 ，而 又是 的函数，即 是通过中间变量 ，为 的复合函数。,有:,坐标变换,导数,的变换：,而,代入，即得,一阶导数的变换公式,一阶导数,，,。,展开即得：,二阶导数,的变换公式,，可以从式(,e),导出。例如,二阶导数,拉普拉斯算子,的变换：,由式（,f）,得,二阶导数,3.极坐标中应力用应力函数 表示,可考虑几种导出方法：,2.极坐标中的相容方程,从平衡微分方程直接导出（类似于,直角坐标系中方法）。,相容方程,应力公式,(,2,) 应用特殊关系式，即当,x,轴转动到与,轴重合时，有:,(3) 应用应力变换公式（下节）,应力公式,(4) 应用应力变换公式（下节），,而,代入式 (,f,) ，,得出 的公式。,比较两式的 的系数，便得出 的公式。,应力公式,当不计体力时应力用应力函数表示的公式,应力公式,4.极坐标系中按应力函数 求解，应满足,：,(1),A,内相容方程,(2) 上的应力边界条件（设全部为应,力边界条件）。,(3),多连体,中的,位移单值条件,。,按 求解,应力分量不仅具有方向性，还与其作用面有关。,应力分量,的坐标变换关系：,44 应力分量的坐标变换式,1、已知 ，求 。,（含 ）的,三角形微分体,，厚度为1，如下图,A,，,考虑其平衡条件。,取出一个包含,x、y,面,(,含 )和,面,得,同理，由,得,类似地取出包含,x,面,y,面和 面的三角形微分体，厚度为1，如图,B,，,考虑其平衡条件，,得,应用相似的方法，可得到,2、,已知 ，求,3、可以用前面得到的求一点应力状态的公式推出。,4、也可以用应力坐标变换公式得到,轴对称,，,即绕轴对称，凡通过此轴的任何面均为对称面,。,轴对称应力问题：,45 轴对称应力和相应的位移,轴对称应力问题,应力数值轴对称,-,仅为 的函数，,应力方向轴对称,-,展开并两边同乘 得：,相应的应力函数 ，所以,应力公式为：,（1）,相容方程,的通解,这是一个典型的欧拉方程，引入变量,，则 。,则原方程变为,此方程,解的形式为,代入整理得特征方程为,由此可得应力函数的通解为,（4-10）,(2),应力通解,：,（4-11）,将应变代入几何方程，对应第一、二式分别积分，,应变通解：,将应力代入物理方程，得,对应的应变分量的通解。应变 也为轴对称。,(4),求对应的位移：,分开变量，两边均应等于,同一常量,F,将 代入,第三式,，,由两个常微分方程，,其中,代入 ，,得,轴对称应力对应的位移通解，,I，K,为,x、y,向的刚体平移，,H,为绕,o,点的刚体转动角度。,位移通解,（4-12）,说明,（2）在轴对称,应力条件下，形变也是轴对称,的,但位移不是轴对称的。,（3）实现轴对称应力的条件是，物体形状、,体力和面力应为轴对称。,（1）在轴对称,应力条件下，(4-10、11、12,),为应力函数、应力和位移的通解，,适用于任何轴对称应力问题。,说明,(4) 轴对称应力及对应的位移的通解已满足相容方程，它们还必须满足边界条件及多连体中的位移单值条件，并由此求出其系数,A,、,B,及,C,。,说明,(5) 轴对称应力及位移的通解，可以用于求解应力或位移边界条件下的任何轴对称问题。,(6) 对于平面应变问题，只须将 换为,圆环(平面应力问题)和圆筒(平面应变问题)受内外均布压力，属于,轴对称应力,问题，,可以引用轴对称应力问题的通解。,46 圆环或圆筒受均布压力,问题,问题,边界条件是,边界条件,考察,多连体中的位移单值条件,：,圆环或圆筒，是有两个连续边界的多连体。而在位移解答中，,式(,b),中的 条件是自然满足的，而其余两个条件还不足以完全确定应力解答(,a) 。,单值条件,是一个多值函数：对于 和 是同一点，但式(,c),却得出两个位移值。由于同一点的位移只能为单值，因此,B,= 0。,单值条件,由,B=0,和边界条件 (,b) ，,便可得出,拉梅解答，,单值条件,(4-13,),解答的应用：,（1）只有内压力,（2）只有内压力 且 ，成为,具有圆孔的无限大薄板（弹性体）。,（3）只有外压力,单值条件,单值条件的说明：,（1）多连体中的位移单值条件，,实质上就,是,物体的连续性条件,（即位移连续性,条件）。,（2）在连续体中，应力、形变和位移都,应为单值。,单值条件,按位移求解时：取位移为单值，求形变（几何方程）也为单值，求应力（物理方程）也为单值。,按应力求解时,：取应力为单值，求形变（物理方程）也为单值，求位移（由几何方程积分），常常会出现多值项。,所以，按应力求解时，对于多连体须要校核位移的单值条件。,单值条件,对于单连体，通过校核边界条件等，位移单值条件往往已自然满足；,对于多连体，应校核位移单值条件，并使之满足。,47 压力隧洞,本题是两个圆筒的,接触问题,，两个均为轴对称问题（平面应变问题）。,1.压力隧洞,-,圆筒埋在无限大弹性体中，受有均布内压力。圆筒和无限大弹性体的弹性常数分别为,压力隧洞,因为不符合均匀性假定，必须分别采用两个轴对称解答：,圆筒,无限大弹性体,压力隧洞,应考虑的条件：,（1）位移单值条件：,（2）圆筒内边界条件：,（3）无限远处条件，由圣维南原理,压力隧洞,由（1）（4）条件，解出解答（书中式（4 -16）。,（4） 的,接触条件,，当变形后两弹性体,保持连续时，有,压力隧洞,2.一般的接触问题。,(1),完全接触,：,变形后两弹性体在,s,上仍然保持连续。这时的接触条件为：在,s,上,当两个弹性体 ，变形前在,s,上互相接触，变形后的,接触条件,可分为几种情况,：,接触问题,(2),有摩阻力的滑动接触,：变形后在,S,上法向保持连续，而切向产生有摩阻力的相对滑移，则在,S,上的接触条件为,其中,C,为凝聚力。,接触问题,(4),局部脱离,：变形后某一部分边界上两弹性体脱开，则原接触面成了自由面。在此部分脱开的边界上，有,(3),光滑接触,：变形后法向保持连续，但切向产生无摩阻力的光滑移动，则在,s,上的接触条件为,接触问题,在工程上，有许多接触问题的实际例子。如机械中轴与轴承的接触，基础结构与地基的接触，坝体分缝处的接触等等。一般在接触边界的各部分，常常有不同的接触条件，难以用理论解表示。我们可以应用有限单元法进行仔细和深入的分析。,接触问题,3. 有限值条件,图（,a）,设图（,a,）,中半径为,r,的圆盘受法向均布压力,q,作用,，,试求其解答。,有限值条件,引用轴对称问题的解答，并考虑边界 上的条件，上述问题还是难以得出解答。这时，我们可以考虑,所谓,有限值条件,，,即除了应力集中点外，弹性体上的应力应为有限值,。,而书中式(4-11)的应力表达式中，当 时， 和 中的第一、二项均趋于无限大，这是不可能的。按照有限值条件， 当 时，必须有,A=B=,0,。,有限值条件,在弹性力学问题中，我们是在区域内和边界上分别考虑静力条件、几何条件和物理条件后，建立基本方程及其边界条件来进行求解的。,一般地说，单值条件和有限值条件也是应该满足的，但是这些条件常常是自然满足的。而在,下列的情形,下须要,进行校核,：,(1),按应力求解时，多连体中的位移单值条件,。,有限值条件,在弹性力学的复变函数解法中，首先排除不符合单值条件和有限值条件的复变函数，从而缩小求解函数的范围，然后再根据其他条件进行求解。,(2),无应力集中现象时,， 和,，,或,处,的,应力的有限值条件,(因为正、负幂函数在这些点会成为无限大)。,有限值条件,工程结构中常开设孔口最简单的为圆孔。,本节研究,小孔口问题,，应符合,（1）孔口尺寸弹性体尺寸，,孔口引起的应力扰动局限于小范围内。,48 圆孔的孔口应力集中,小孔口问题,（2）孔边距边界较远,（1.5倍孔口尺寸）,孔口与边界不相互干扰。,当弹性体开孔时，在小孔口附近，将,发生,应力集中现象,。,小孔口问题,1.带小圆孔的矩形板，,四边受均布拉力,q,，,图(,a)。,双向受拉,内边界条件为，,将外边界改造成为圆边界，作,则有,利用圆环的轴对称解答,，取,且,R,r，,得,应力解答：,双向受拉,（4-17）,2. 带小圆孔的矩形板，,x, y,向分别受拉压,力,，图(,b,)。,所以应力集中系数为2。,内边界条件为,最大应力发生在孔边，,作 圆，求出外边界条件为,双向受拉压,应用,半逆解法,求解（非轴对称问题）:,由边界条件， 假设,代入相容方程，,由 关系，假设 ，所以设,双向受拉压,除去 ，为典型欧拉方程，通过与前面,45,相同的处理方式，可以,得解,然后代回式（,d),即可求出应力。,双向受拉压,校核边界条件 (,b) , (c) ，,求出,A,B,C,D,，,得,应力解答,：,在孔边 ， ，最大、最小应力为 ，应力集中系数为 。,双向受拉压,（4-18）,3.带小圆孔的矩形板，,只受,x,向均布拉力,q。,单向受拉,应用图示叠加原理（此时令 ）,得,应力解答,:,单向受拉,（4-19）,讨论：,（1）孔边应力，,最大应力 3,q,，,最小应力-,q,。,单向受拉,（2),y,轴 上应力，,可见，距孔边1.5,D,处 ，由于孔口引起的应力扰动5%。,单向受拉,（3）,x,轴 上应力,，,同样，距孔边1.5,D,处 ，由于孔口引起的应力扰动远处的应力，,孔口附近应力无孔时的应力。,（2）,局部性,-,应力集中区域很小，约在距孔边,1.5倍孔径（,D）,范围内。此区域外的应力扰动，一般 。,410 半平面体在边界 上受分布力,当半平面体表面有,分布荷载,作用,时，其应力和位移解答可从集中力的解答得出。,F,（,原集中力）代之为微分集中力,（,作用点为,）。,x,（,原表示,F,作用点到,M,的铅直距离）仍为,x,;,y,（,原表示,F,作用点到,M,的水平距离）,应代之为,应力 （式（4-24）的推广：,然后对 积分，从 。,（原,M,点到,F,作用点的水平距离） 代之为,s,（,原,B,点到,F,作用点的水平距离） 代之为,然后对 积分，从,相对沉陷解答 的推广：,F,（,原集中力） 代之为,半平面体在边界上受有,均布单位力作用,书中用上述方法，导出了基础梁计算中的公式。如点,K,在均布力之外，则沉陷为,若基点,B,取得很远 ，有,其中：,