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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第一节 高斯消元法,第二节 矩阵的运算,第三节 初等矩阵,第一章 矩阵,第一节 高斯消元法,一、,线性方程组,增广矩阵,设,n,个元,m,个方程的线性方程组为,a,11,x,1,+,a,12,x,2,+,a,1,n,x,n,=,b,1 ,a,21,x,1,+,a,22,x,2,+,a,2,n,x,n,=,b,2 ,a,m,1,x,1,+,a,m,2,x,2,+,a,mn,x,n,=,b,m .,(1),如果我们记：,二 、 矩阵的概念,由,m,n,个数,a,ij,(,i,=1, 2, ,m,;,j,=1, 2, ,n,),有序地排列成,m,行(横排),n,列,(,竖排,),的数表,称为一个,m,行,n,列的矩阵，简记为 (,aij,),m,n,通常用大写字母,A,、,B,、,C,、,表示.,m,行,n,列的矩阵,A,也写成,A,m,n,构成矩阵的每个数称为矩阵的元素，而,aij,表示,矩阵,第,i,行第,j,列的元素,。,A11,a22,aii,所在斜线叫做,A,的,主对角线,。,例如,是一个,3,阶方阵,.,几种特殊矩阵,(2),只有一行的矩阵,称为行矩阵,(,或行向量,),.,行数与列数都等于 的矩阵 ，称为 阶,方阵,.,也可记作,只有一列的矩阵,称为列矩阵,(,或列向量,).,称为,对角矩阵,(,或,对角阵,）,.,同型矩阵与矩阵相等的概念,1.,两个矩阵的行数相等,列数相等时,称为同型矩阵,.,例如,，,为同型矩阵,.,2.,两个矩阵 为,同型矩阵,并且对应元素相等,即,则称矩阵,相等,记作,高斯消元法,消元法解线性方程组,引例 求解线性方程组,解,用“回代”的方法求出解：,于是解得,小结：,1,上述解方程组的方法称为消元法,2,始终把方程组看作一个整体变形，用到如下三种变换,（,1,）交换方程次序；,（,2,）以不等于的数乘某个方程；,（,3,）一个方程加上另一个方程的,k,倍,上述三种变换都是可逆的,由于三种变换都是可逆的，所以变换前的方程组与变换后的方程组是同解的故这三种变换是同解变换,因为在上述变换过程中，仅仅只对方程组的系数和常数进行运算，未知量并未参与运算,则对方程组的变换完全可以转换为方程组的增广矩阵的变换,定义,下面三种变换称为矩阵的初等行变换,:,矩阵的初等变换,定义 矩阵的初等列变换与初等行变换统称为初等变换,初等变换的逆变换仍为初等变换,且变换类型相同,同理可定义矩阵的初等列变换,(,所用记号是把“,r,”,换成“,c,”),逆变换,逆变换,逆变换,用矩阵的初等行变换 解上述方程组：,上述求解过程是将线性方程组的增广矩阵进行初等行变换化阶梯形，从而得到简化的同解方程组，达到消元与求解方程的目的，这种利用矩阵的初等行变换求解线性方程组的方法称为,高斯消元法,(,或,矩阵消元法,).,
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