资源描述
单击此处编辑母版标题样式,*,*,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,荆门职业技术学院高等数学,电子教案,第一章,欢迎大家学习高等数学课程,数学的重要性已经不言而喻。大量的科学研究和实际问题的解决几乎都要以数学为手段和工具，尤其是数学技术和计算机技术相结合，使得数学向更广泛的领域渗透，高等数学是近代数学的基础，也是在现代科学技术、经济管理、人文科学中应用最广泛的一门课程。,本课程的目标是让大家较系统地掌握必需的高等数学基础理论、基本知识和常用的计算方法，形成数学的应用意识，为后继课程学习和利用数学解决实际问题打下基础。,机动 目录 上页 下页 返回 结束,1,高等数学课程简介,高等数学课程,内容包括一元函数微积分，空间解析几何与向量代数，多元函数微积分、无穷级数，常微分方程等五个部分 。,高等数学与初等数学的重要区别在于高等数学引入了极限这一工具，通过这一工具使之能够处理许多初等数学无法解决的复杂的量与量之间的变化关系。,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2,正确地理解和掌握极限这一高等数学中最重要的概念和思想方法是学习和领会高等数学中各种概念和方法的基础，把握住这一课程的方法论的核心就等于把握住了课程的脉搏。,高等数学课程学习提示,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3,第一章 函数、极限与连续,本章中的概念,函数,极限,连续,研究对象,研究方法,研究桥梁,机动 目录 上页 下页 返回 结束,4,一、常量与变量、区间与邻域,二、函数的概念,三、函数的几种特性,四、反函数,五、复合函数与初等函数,第一节 函数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,5,数学的主要研究内容是数量关系 ， 空间形式。其中数量又可以分为两类：,常量,在某过程中数值保持不变的量，例如真空中的光速。,变量,在某过程中数值发生变化的量，例如一天中的气温。,注意,常量与变量是相对“过程”而言的.,通常用字母,a, b, c,等表示常量,常量与变量的表示方法：,用字母,x, y, t,等表示,变,量.,也可以用其他字母表示变量与常量，这里采用的记号是数学上习惯的表示方法。,机动 目录 上页 下页 返回 结束,6,变量在某一过程中有确定的变化范围。如果变化范围是连续的，则可以用,区间,来表示。,区间:,是指介于某两个实数之间的全体实数.这两个实数叫做区间的端点.,称为,开区间,称为,闭区间,机动 目录 上页 下页 返回 结束,7,无限区间,区间长度:,两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.,称为半开区间,称为半开区间,有限区间,机动 目录 上页 下页 返回 结束,8,邻域:,=,机动 目录 上页 下页 返回 结束,9,去心邻域:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,10,二、函数的概念,(,本质上是一种数量关系),定义：,设,x,和,y,是两个变量。,D,是一个给定的数集。如果对于每个数,x D ，,变量,y,按照一定法则总有（唯一）确定的数值和它对应，则称,y,是,x,的函数,，记作,y = f (x),数集,D,叫这个函数的,定义域,，,x,叫做,自变量,，,y,叫做,因变量,。,其中,定义域,值域,机动 目录 上页 下页 返回 结束,11,对函数概念进一步的说明：,2）,约定：,定义域是使表达式及实际问题都有意义的自变量集合,.,3）,两个函数相同：,指两个函数具有相同的定义域和对应法则,定义域、对应法则和值域称为函数的三要素，值域由定义域和对应法则确定。,12,几种特殊的函数举例,符号函数,当,x, 0,当,x,= 0,当,x, 0,取整函数,当,机动 目录 上页 下页 返回 结束,13,分段函数,在自变量的不同变化范围中,对应法则用不同的式子来表示的函数,称为分段函数.,14,三、函数的几种特性,设函数,且有区间,(1),有界性,使,称,使,称,为,有界函数,.,在,I,上,有界,.,M,-M,y,x,o,y=f(x),X,有界,y,M,x,X,无界,-M,o,15,(2),单调性,当,时,称,为,I,上的,称,为,I,上的,单调增函数,;,单调减函数,.,16,(3),奇偶性,且有,若,则称,f,(,x,),为偶函数,;,若,则称,f,(,x,),为奇函数,.,说明,:,若,在,x,= 0,有定义,则当,为奇函数时,必有,例如,偶函数,双曲余弦,记,机动 目录 上页 下页 返回 结束,17,(4),周期性,且,则称,为周期函数,若,称,l,为,周期,(,一般指,最小正周期,).,周期为,周期为,注:,周期函数不一定存在最小正周期,.,例如,常量函数,狄里克雷函数,x,为有理数,x,为无理数,18,四、反函数,习惯上,的反函数记成,19,其反函数,(减),1),y,f,(,x,),单调递增,(减),.,且也单调递增,反函数的性质,:,2),函数,与其反函数,的图形关于直线,对称,.,如右图,指数函数与对数函数,互为反函数的函数图像,20,五、 复合函数,则称,设有函数两个函数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,为由这两个函数确定的,复合函数,u,称为,中间变量,.,注意,:,构成复合函数的条件,不可少,.,例如,函数链,:,但,函数链,不能构成复合函数,.,可定义复合函数,21,两个以上函数也可构成复合函数,.,例如,可定义复合函数,:,22,基本初等函数与初等函数,(1),基本初等函数,指以下五类函数：,幂函数、,指数函数、,对数函数、,三角函数、,反三角函数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,幂 函 数,:,y,x,(,R,是常数,);,指数函数,:,y,a,x,(,a,0,且,a,1);,对数函数,:,y,log,a,x,(,a,0,且,a,1),特别当,a,e,时,记为,y,ln,x,;,三角函数,:,y,sin,x,y,cos,x,y,tan,x,y,cot,x,y,sec,x,y,csc,x,;,反三角函数,:,y,arcsin,x,y,arccos,x,y,arctan,x,y,arccot,x,.,23,由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数,称为初等函数,.,都是初等函数,.,例如,函数,（2,）,初等函数,又如,可表为,故为,初等函数,.,24,内容小结,与函数相关的概念:常量与变量，区间与邻域,定义域,对应法则,3.,函数的特性,有界性,单调性,奇偶性,周期性,4.,初等函数的结构,2.,函数的定义及函数的二要素,第二节 目录 上页 下页 返回 结束,25,
展开阅读全文