4.第四讲 直线(1+2)

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,上讲要点回顾：,熟练掌握点的投影规律、各种位置点的投影,两点间的相对位置关系：,熟练掌握各种位置直线的投影特性和作图方法；,掌握直线上点的投影特性及定比关系；,平行线：在所平行投影面上的投影反映实长和与另外两个投影面的倾角，其余两投影同时垂直它们之间共有轴。,垂直线：在所垂直投影面上的投影积聚为一点，其余两投影同时平行它们之间共有轴，且同时反映实长。,A C,:,C B,=,a c,:,c b,=,a,c,:,c,b,=,a,c,:,c,b,，,直线的迹点,aa,X ; a,a,Z,;,aX,= a,Z,指标值大的在 左、前、上；注意正对时，重影点如何加括号,复习题,已知点,A,（,6,，,5,，,1,）、,B,（,1,，,2,，,6,）、,C,（,1,，,6,，,3,）,完成,AB,、,BC,的三面投影并指出,AB,、,BC,对投影面的相对位置。,a,a,a,b,b,b,X,Z,Y,W,Y,H,O,c,c,c,AB,一般位置,BCW,6,5,1,1,2,6,6,3,X,O,Z,Y,W,Y,H,H,V,X,Z,Y,W,O,复习题：,已知点,A,的坐标为,X15,，,Y10,，,Z20,，作点,A,的 三面投影图，,并用直观图来表达点,A,的空间位置。,a,a,a,a,a,a,a,x,15,20,a,y,a,z,10,A,复习题,：已知,点的正投影位置，且,、,两点等高，又知,点距面,20,，点距,V,面,10,，、两点间的水平距离为,30,。求、两点的投影。有几解？,a,20,a,10,30,b,b,1,b,b,1,X,有两解,b,a,所在等高线,b,所在位置,X,H,V,O,其它分角内点的,投影,两投影面体系由,V,面和,H,面两个投影面构成 。,V,面和,H,面将空间分成四个分角。处在前、上侧的那个分角称为第一分角。我们通常把物体放在第一分角中来研究。,V,X,B,b,x,H,b,b,b,b,b,x,B,点是二分角的点，,V,、,H,两个投影面的投影，都落在了投影轴的上方，同理，四分角的点的两个投影都落在投影轴的下方，这正是不采用二、四分角的原因,O,C,c,c,c,x,c,c,其它分角内点的,投影,(,续,),D,d,d,d,d,a,a,A,a,x,a,a,复习题,：,在,AB,直线上取一点,C,，使,C,点离,H,面,20,高,，并求出直线,AB,的迹点。,a,b,a,b,c,c,a,b,n,nN,n,m,mM,m,n,提示侧平,线的迹点,M,m,n,m,m,n,a,a,b,a,b,b,A,B,N,X,X,a,b,a,b,20,c,c,复习题,：,已知点在直线上，且距面的距离为,20,，求点的水平投影。并求出其,H,、,V,面的迹点,。,a,b,a,b,c,c,m,mM,复习题,：,已知点在直线上，且距面的距离为,20,，求点的水平投影。并求出其,H,、,V,面的迹点,。,a,b,a,b,c,c,n,nN,复习题,：,已知点在直线上，且距面的距离为,20,，求点的水平投影。并求出其,H,、,V,面的迹点,。,第一学期教学安排,(48,学时,、,4,学时,/,周,共,12,周,),第一,、,二次讲课内容：绪论制图基础、投影基本知识、,第三次讲课内容：点、直线（,1,）,第四次讲课内容：直线,(2),（两直线的相对位置）,第五次讲课内容：平面（特殊面、一般面）、直线与平面、,平面与平面（,1.,平行问题）,第六次讲课内容：直线与平面、平面与平面（,2.,相交问题）,第七次讲课内容：直线与平面、平面与平面的相对问题（,4.,综合情况）,第八次讲课内容：平面立体的投影及表面取点、立体截交线（,1,）,第九次讲课内容：立体截交线（,2,）、两平面立体的相贯线（,1,）、同坡屋面 的交线,第十次讲课内容：曲面立体的表面取点及截交线（,1,）,第十一次讲课内容：曲面立体的截交线（,2,）、轴测投影（,1,）,第十二次讲课内容,:,轴测投影（,2,）、复习,第十九周,:,考试,第三章 直 线,基本内容,3-1,直线的投影,3-2,直线对投影面的相对位置,3-3,属于直线的点,3-4,一般位置线段的实长及其对投影面的倾角,3-5,两直线的相对位置,3-6,直角投影定理,基本要求,（,1,）熟练掌握各种位置直线的投影特性和作图方法；,（,2,）掌握直线上点的投影特性及定比关系；,（,3,）,熟练掌握,用直角三角形法求一般位置直线段的实长及其对投影面倾角的方法，并能,灵活运用,直线的实长、投影、直线与投影面倾角三者之间的关系,。,（,4,）,熟练,掌握,两直线平行、相交、交叉三种相对位置的投影特性，能根据两直线的投影判别两直线的相对位置。,（,5,）,熟练,掌握,直角的投影定理及其应用。, ,一、,直角三角形法,求一般位置线段实长及其对投影面倾角,的空间分析,二、直角三角形法的运用,3-4,一般位置线段的实长及其对投影面的倾角,直角三角形法,求线段实长及,的,空间分析,AB,0,=,ab,|,z,A,-z,B,|,|,z,A,-z,B,|,AB,A,B,b,b,a,a,B,0,X,O,|,z,A,-z,B,|,X,a,a,b,b,AB,ab,|,z,A,-z,B,|,AB,|,z,A,-z,B,|,ab,角所包含的内容,:,AB,0,=,ab,A,B,b,b,a,a,B,0,X,O,a,X,a,b,b,a,b,AB,AB,a, b,|,Y,A,-,Y,B,|,|,Y,A,-Y,B,|,AB,|,Y,A,-Y,B,|,A,0,|,Y,A,-Y,B,|,|,Y,A,-Y,B,|,角所包含的内容,:,直角三角形法,求线段实长及,的,空间分析,X,Z,Y,O,A,B,b,b,a,b,a,a,Z,X,a,a,a,O,Y,H,Y,W,b,b,b,|,X,A,-X,B,|,|,X,A,-X,B,|,A,0,直角三角形法,求线段实长及,的,空间分析,AB,a,b,|,X,A,-,X,B,|,角所包含的内容,:,Z,X,a,a,a,O,Y,H,Y,W,b,b,|,X,A,-X,B,|,b,Sc,ab,如何不用,W,投影求,角,?,直角三角形法,用线段在某一投影面上的投影长作为一条直角边，再以线段的两端点相对于该投影面的坐标差作为另一条直角边，所作直角三角形的斜边即为线段的实长，斜边与投影长间的夹角即为线段与该投影面的夹角,解决的空间几何问题,求空间直线的实长、倾角、以及通过求坐标差来求空间直线的投影等,直角三角形法的实质,是求解一般位置线段的实长及倾角等,空间几何问题,的,几何作图方法,。解题时，只要是,全等的直角三角形，无论画在何位置，都不影响解题结果,。但用什么长度来作直角边不能弄错，如求,角,就应以其,水平投影长,为,直角边。,直角三角形法,所述直角三角形的四要素：,实长、倾角、投影长、坐标差,。四个要素中只要知道任意两个要素，均可求得另外两个要素，但须清楚诸要素之间的关系。,注意投影长、坐标差、倾角均对同一投影面,坐标差,X,实长,投影,W,面投影,ab,倾角,直角三角形法小结,(,本讲重难点,),坐标差,Y,投影,V,面投影,ab,倾角,坐标差,Z,投影,H,面投影,ab,倾角,用细实线画直角三角形（不是画直角三角形的投影，而是一个几何作图的方法）,|,z,A,-z,B,|,例题,1,已知 线段的实长,AB,和正面投影及,B,点的水平投影，求它的水平投影。,ab,b,X,a,b,AB,|,z,A,-z,B,|,ab,a,a,1,作图方法一,ab,AB,|,y,A,-y,B,|,例题,1,（续）已知 线段的实长,AB,和正面投影及,B,点的水平投影，求它的水平投影。,a,a,1,|,y,A,-y,B,|,a,b,AB,b,X,a,b,AB,O,|,y,A,-y,B,|,作图方法二,b,b,X,a,a,BC(L),c,L,AB,c,z,A,-,z,B,ab,SC,例题,2,已知线段,AB,的投影，试定出属于线段,AB,的点,C,的投影， 使,BC,的实长等于已知长度,L,。,c,e,e,例题,3:,已知直线,AB,、,BC,的投影,要求在直线,AB,上取点,D,，使,BD=BC,。,X,Z,Y,W,Y,H,O,a,a,a,b,b,b,c,c,SC,AB,d,d,求作,ABC,的角平分线,BE,。,e,求,SC,AB,定比,等腰三角形几何性质,SC,BC,本讲中的较难题,d,d,例题,4,：,已知,AB=BC,，,完成,BC,投影。,b,a,c,a,b,sc,sc,c,分析：,从已知条件可以知道，,AB,、,BC,均为一般位置直线，在投影中均不能反映真实的长度。由于,AB,的两面投影都知道，可以利用直角三角形法求出,AB,、,BC,的实长，又知道,BC,的一个投影，再次利用直角三角形法求出,BC,的另一个投影。,投影作图,：,根据,Z,AB,ab,SC,求出,AB,实长,根据,Y,BC,b,c,SC,求出,Y,BC,本题几解,?,有二解,a,b,c,1,a,b,。,S,C,AB,分析,依据等边三角形的边长及坐标差可求未知边的投影长，,C,点在,H,面上，即,C,点的,Z,坐标等于,0,，就知道了,Z,AC,，,Z,BC,。,投影作图,求,S,C,AB,。,用,S,C,AB,和,Z,A,、,Z,B,求得,ac,、,bc,投影长。,分别以,a,、,b,为圆心，相应的投影长为半径画圆弧相交于点,c,。,由,c,求得,c,，,完成全图。,例题,5,：以,AB,为边作等边,ABC,，,使顶点,C,在,H,面上,ac,本题有两解,Y,AB,Z,BC,bc,Z,AC,ac,bc,c,1,S,C,AB,S,C,BC,S,C,AC,本讲难题,3-5,两直线的相对位置,一、,平行两直线,二、,相交两直线,三、,交叉两直线,四、,交叉两直线的可见性,一、平行二直线,1,、两平行直线在同一投影面上的投影仍平行。 反之，若两直线在同一投影面上的投影均相互平行，则此二直线平行。,2,、平行两线段之比等于其同面投影之比。,X,b,a,a,d,b,d,c,c,X,b,a,a,b,d,c,d,c,A,B,C,D,o,两相交直线在同一投影面上的投影仍相交，且交点属于两直线 。反之，若两直线在同一投影面上的投影均相交，且交点属于两直线，或者说两同面投影的交点连线垂直于相应投影轴，则该两直线相交。,二、相交二直线,b,X,a,a,b,k,c,d,d,c,k,X,B,D,A,C,K,b,b,a,a,c,c,d,d,k,k,三、 交叉两直线,凡不满足平行和相交条件的直线为交叉两直线。,b,X,a,a,b,c,d,d,c,1,1,(2,),2,X,O,B,D,A,C,b,b,a,a,c,c,d,d,2,1,1,(2,),2,1,四、判断交叉两直线重影点的可见性,判断重影点的可见性时，需要看重影点在另一投影面上的投影，坐标值大的点投影可见，反之不可见，不可见点的投影加括号表示。,投影图中通常可从重合投影处开始，向上或向下（或向左）作投影连线，先遇到的点，坐标值较小，应加括号。,X,O,B,D,A,C,b,b,a,a,c,c,d,d,3,4,1,2,4,3,1,2,( ),( ),例题,6,：,判断两直线重影点的可见性,b,b,c,d,d,c,X,a,a,3,4,3,4,1,2,1 2,( ),( ),o,Y,W,Y,H,z,例题,7,：,判断两直线,AB,和,CD,是否平行。,X,a,a,c,d,d,c,b,b,a,b,c,d,主要方法,补,W,投影,定比,利用相交、平行直线均共面,首先观看两侧平线各投影字母顺序是否一致，不一致者肯定是交叉二线，一致者再作图判断。,不平行,(,),4,z,o,Y,W,Y,H,X,a,a,c,d,d,c,b,b,( ),( ),1 ,例题,8,：,判断两直线的相对位置并判别重影点的可见性。,d,a,c,b,方法,：,补,W,投影判断二线交叉,3,1 ,2 ,V,投影重影处一般位置线在前，,H,投影,重影处,侧平线在上,2,5,5,4,3,2 ,注意：如结论是交叉直线，必须判别重影点的可见性。,（ ）,（ ）,例题,8,（续）,：,判断两直线的相对位置。,定比判别重影点的可见性同前。,V,面投影重影处一般位置直线在前，侧平线在后。,H,面投影重影处一般位置直线在下，侧平线在上。,点,、,属于侧平线，点,属于一般位置直线,判别重影点的可见性,。,方法,：,定比判断,两直线交叉,b,a,a,c,d,d,c,b,X,O,1,3,1,2,2,3,判别前后,判别上下,X,Z,O,Y,H,Y,W,a,c,b,a,b,c,例题,9,：,过,点,A,作直线与直线,BC,及,OZ,轴相交。,f,f,还可换成（,与,OX,或,OY,轴相交,）,因,OZ,是铅垂线,水平投影积聚成,点,位置在,O,处,所以应先过,a,作水平投影,.,分析：,e,e,直线,AD,的,AM,段在,分角，,MD,段在,分角。,X,Z,O,Y,H,Y,W,a,c,b,a,b,c,例题,9,（续,1,） 过,点,A,作直线与直线,BC,及,Z,轴,相交。,e,e,d,d,m,m,f,f,点,F,是直线,AD,上与,H,、,V,等距的点,例题,9,（续,1,） 过,点,A,作直线与直线,BC,及,Z,轴,相交。,X,Z,O,Y,a,c,b,a,b,c,e,e,d,d,m,m,A,B,C,E,M,X,Z,O,Y,H,Y,W,a,c,b,a,b,c,例题,9,：,（续,2,）过,点,A,作直线与直线,BC,及,OZ,轴相交。,还可换成（,与,OX,或,OY,轴相交,）,e,e,虽然直线穿入其它分角，题目未明确要求，有时可以只画位于第,分角内的部分直线段,3-6,直角投影定理,一、,两直线垂直相交,定理一：垂直相交的两直线，其中有一条直线平行于投影面时，则两直线在该投影面上的投影仍反映直角。,定理二： 相交两直线在某一投影面上的投影反映直角，且有一条直线平行于该投影面，则空间两直线的夹角必是直角。,二、,两直线垂直交叉,定理三：相互垂直的两直线，其中有一条直线平行于投影面时，则两直线在该投影面上的投影仍反映直角。,定理四：两直线在某一投影面上的投影反映直角，且有一条直线平行于该投影面，则空间两直线的夹角必是直角。,直角投影定理,若空间二直线相互垂直（相交或交叉）其中只要有一条直线平行于某一投影面，则此二直线在该投影面上的投影相互垂直；反之，若二直线在某一投影面上的投影相互垂直，且只要其中一直线平行于该投影面，则此二直线在空间必然垂直。,或者叙述为若直角有一条边平行于某一投影面，则在该投影面上的投影反映直角。,a,A,H,B,C,c,b,1,、垂直相交的两直线的投影,c,X,b,c,b,a,AB,垂直于,AC,且,AB,平行于,H,面,则有,ab,ac,已知：,ABAC,，,ABH,面,求证：,cab,90,证明：,AB H,而,AaH,ABAa,又,ABAC ,ABCcaA,平面,ABab,ab,CcaA,故,abac, cab,90,a,O,2,、交叉垂直的两直线的投影,B,H,A,b,a,N,n,m,AB,垂直于,MN,且,AB,平行于,H,面,则有,ab,mn,M,C,c,X,b,a,b,a,m,n,n,m,O,AB,b,例题,10,：,作三角形,ABC,，,ABC,为直角，使,BC,在,MN,上，,且,BC,AB,=2,3,。,b,c,b,c,=BC,n,m,a,a,X,m,n,c,两解,例题,11,：,作已知线段,AB,、,CD,公垂线,EF,的投影及实长。,注意公垂线,EFAB(AB V) EFV,EF CD,a ( b),a,b,c,d,d,c,（e,）,e,S,C,f,f,例题,11,：,（续）作已知线段,AB,、,CD,公垂线,EF,的投影,及实长。,O,c,b,a,a ( b),X,c,d,d,注意公垂线,EFAB(AB H) EFH,EF CD,(e),e,S,C,f,f,例题,12,：,已知,BC,与,AB,垂直，,BC,等于定长,L,，点,C,属于,H,面，,abox,，,求作,BC,的,V,、,H,投影。,a,b,a,b,L,L,Z,B,- Z,C,c,c,c,c,分析 由已知条件可知：,AB,H,面，,H,投影中反映直角。又点,C,属于,H,面，即,Z,C,=0,，则,Z,B,- Z,C,能确定，以实长,L,作直角三角形求得,BC,的,H,投影长。,投影作图,过,b,作,ab,的垂线,以定长,L,为斜边，以,Z,B,- Z,C,为直角边作直角三角形，求出,bc,长度,完成,BC,的,V,、,H,投影 。,两解,例题,12,：（续）,已知,BC,与,AB,垂直，,BC,等于定长,L,，点,C,属于,H,面，,abox,，,求作,BC,的,V,、,H,投影。,a,b,a,b,L,L,Z,B,- Z,C,c,c,c,c,分析,由已知条件可知：,AB,H,面，,H,投影中反映直角。又点,C,属于,H,面，即,Z,C,=0,，则,Z,B,- Z,C,能确定，以实长,L,作直角三角形求得,BC,的,H,投影长。,投影作图,过,b,作,ab,的垂线,以定长,L,为斜边，以,Z,B,- Z,C,为直角边作直角三角形，求出,bc,长度,完成,BC,的,V,、,H,投影 。,两解,例题,13,：,已知等边三角形,ABC,，,边,BC,属于,MN,，完成此,三角形的,V,、,H,投影,。,n,m,a,a,m,n,d,d,ADsc,30,b,c,b,c,DB,或,DC,的实长,30,A,D,B,C,分析,正三角形,ABC,的边,BC,之高,即其中线，已知高可以完全确定正三角形。,空间作图步骤,求作,BC,的高,AD,以高求正三角形,ABC,的边长。,用直角三角形法求高,AD,的实长。,以,AD,的实长为直角边，夹角为,以,d,为中心，在,mn,上量取上述, 完成三角形的,V,、,H,投影。,自,A,向,MN,作垂线,AD,即,BC,的高。,投影作图步骤,30,作直角三角形,直角三角形中,30,角所对边长。,例题,14,：,求作,AB,、,CD,间的公垂线的投影及实长。,分析：,AB,、,CD,都为,水平线,。根据,直角投影定理,，,水平线在,H,面上能反映直角,。因此,公垂线的水平投影,能直接求出。由于,公垂线,EF,为一般位置直线,，,所以还应用直角,法求,实长,。,d,c,b,a,a,b,c,2,d,e,f,e,f,Fz,Ez,Sc,本章要点,熟练掌握直线的七种空间位置以及分类,熟练掌握求一般位置直线的实长、倾角的原理、方法。（直角三角形法）,熟练掌握点与直线的关系，直线与直线的关系。,充分理解空间相互垂直的两直线的投影特征，熟练掌握直角投影定理。,习题,P11,、,P12,、,P13,自习：,1.,平面的表示方法,（平面迹线的求解）,2.,各种位置平面的投影,预习：,3.,平面上取点和直线，,4.,平面上的最大斜度线,（平面倾角的求解）,本讲结束,（,）,c,d,c,d,c,d,关于交叉二直线重影点的可见性判别（其中一直线为侧平线）,a,b,a,b,a,b,(,2,),2,3,(3),1,1,1,V,、,H,上重影,一般线只有一点，而不是两个点,；而侧平线有两个点,