1 傅里叶级数

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,现实世界中的周期现象,例如，在电子技术中常用,是多种多样的和复杂的,.,的矩形波，,到的周期为,就是这样一个周期现象,.,早在,18,世纪中叶，,丹尼尔,.,伯努利在解决弦振动,问题时就提出了这样的见解,:,任何复杂的振动,都可以分解成一系列谐振动之和,.,非正弦周期函数,:,矩形波,不同频率正弦波逐个叠加,这一事实,用,数学语言来描述,即为,:,在一定的条件下，,任何,周期为,的函数,都可用一系列,以,为周期的正弦函数所组成的级数来表示，,即,三角函数,谐波分析,十九世纪初，,法国数学家傅里叶曾大胆地断言,:,“,任意”函数都可以展成三角级数,.,虽然他没有,给出明确的条件和严格的证明，,但是毕竟由此,开创了“傅里叶分析”这一重要的数学分支，,拓,广了传统的函数概念,.,傅里叶的工作被认为是,十九世纪科学迈出的极为重要的第一个大步，,它对数学的发展产生的影响是他本人及同时代,的其他人都难以预料的,.,而且，这种影响至今,还在发展之中,.,这里所介绍的知识主要是由,这里所介绍的知识主要是由,同时代的德国数学家狄利克雷等人的研究成,果,.,傅里叶以及与他,一、三角级数与三角函数系,称上述形式的函数项级数为,三角级数,.,组成三角级数的三角函数系,在区间,上,正交,三角函数系的正交性,所谓,三角函数系,(2),在区间,上,正交,是指,(2),中任何两个不同函数,的乘积在该区间上的积分等于零,即,(1),(2),(5),以上等式都可以通过直接计算定积分来验证,.,(3),(4),上的积分不等于,0 .,且有,但是在三角函数系中两个相同的函数的乘积在,二、函数展开成傅里叶级数,1.,傅里叶系数,设,是周期为,的周期函数,且能展开成三角,级数,即,问题,1:,函数,f,(,x,),的,傅里叶系数,函数,f,(,x,),的,傅里叶级数,问题,2:,2.,狄利克雷,(Dirichlet),充分条件,(,收敛定理,),注意,:,函数展开成傅里叶级数的条件比展开成幂级数的条件低的多,.,例,1,将以,为周期的函数,展开成傅里叶级数,.,解,所以函数,的傅里叶级数为,注意到函数,满足狄利克雷收敛定理的条件,.,在点,处有第一类间断,它,在,其它点处连续,.,因此,的傅里叶级数收敛,当,时收敛于,或,并且,当,时收敛于,和函数为,即,的傅里叶级数的,即,的傅里叶级数的和函数为,故,的傅里叶级数展开式为,注,:,矩形波是由一系列不同频率的正弦波的叠加,而,成的,.,3,、非周期函数的周期延拓,对于非周期函数,如果函数,只在区间,上有定义,并且满足狄氏充分条件,则可通过在,或,外补充,的定义,成周期为,的周期函数,使它拓广,这个过程称为,周期,延拓,.,函数,与周期延拓后的函数,有如下关系,:,周期延拓,傅,里,叶展开,上的傅,里,叶级数,其它,例,2,将函数,则,解,将,f,(,x,),延拓成以,展成傅,里,叶级数,2,为,周期,的函数,F(x,) ,利用此展式可求出几个特殊的级数的和,.,当,x =,0,时,f,(0) = 0 ,得,说明,:,三、正弦级数和余弦级数,1.,周期为,2,的,奇、偶函数的傅里叶级数,定理：,对周期为,2,的,奇函数,f,(,x,) ,其傅里叶,级数为,周期为,2,的,偶函数,f,(,x,) ,其傅里叶级数为,余弦级数,它的傅,里,叶系数为,正弦级数,它的傅,里,叶系数为,例,3,设,的,表达式为,f,(,x,),x,将,f,(,x,),展成傅,里,叶级数,.,是,周期为,2,的周期函数,它在,解,若不计,周期为,2,的奇函数,因此,n,1,根据收敛定理可得,f,(,x,),的,正弦级数,:,级数的部分和,n,2,n,3,n,4,逼近,f,(,x,),的情况见右图,.,n,5,2.,在,0,上的函数展成正弦级数与余弦级数,周期延拓,F,(,x,),f,(,x,),在,0 , ,上展成,周期延拓,F,(,x,),余弦级数,奇延拓,偶延拓,正弦级数,f,(,x,),在,0 , ,上展成,例,4,将函数,分别展成正弦级,数与余弦级数,.,解,先求正弦级数,.,去掉端点,将,f,(,x,),作奇周期延拓,注意,:,在端点,x,= 0,级数的和为,0 ,与给定函数,因此得,f,(,x,) =,x,+ 1,的值不同,.,再求余弦级数,.,将,则有,作偶周期延拓,说明,:,令,x,= 0,可得,即,四、以,2,l,为周期的函数的傅里叶展开,周期为,2,l,函数,f,(,x,),周期为,2,函数,F,(,z,),变量代换,将,F,(,z,),作傅里叶展开,f,(,x,),的傅里叶展开式,设周期为,2,l,的周期函数,f,(,x,),满足收敛定理条件,则它的傅里叶展开式为,(,在,f,(,x,),的连续点处,),其中,定理,证明,:,令,则,令,则,所以,且它满足收敛,定理,条件,将它展成傅里叶级数,:,(,在,F,(,z,),的连续点处 ),变成,是以,2,为周期的周期函数,其中,令,(,在,f,(,x,),的 连续点处,),则有,则有,说明：,解,