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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,专题复习,-“,线段和（差）的最值”,我们初中数学中学习过的平面图形有线段、角、三角形、四边形和圆，而线段和的最值问题都基于图形的轴对称性来确定问题中点的位置，从而求线段和的最值，同时这部分题目的考查也会渗透在平面直角坐标系和函数的题目中，因此将这块放在二轮复习中进行专题复习。,设计思想,从历年的中考数学题型来看，经常会考查距离最值的问题，并且这部分题目在中考中失分率很高，应该引起我们的重视。几何极值问题在教材中虽然没有专题讲解，但却给出了它的模型。初学时大家的认知水平和理解水平有限，处理这类问题时我们并没有进行拓展和延伸，因此在初三的综合复习中对此进行专题复习是很有必要的。,本课我们共同来解决线段和的最值问题,复习指导,课本原型,（,七年级,(,下,),）,如图所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区,A,、,B,提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从,A,、,B,到它的距离之和最短？,A,B,P,A,P,理论依据：两点之间，线段最短,用途：求两条线段和的最小值,应用：求两条线段和的最小值,模型一：,（,两点同侧）,：如图,1,，点,P,在直线,l,上运动，画出一点,P,使,PA+PB,取最小值。,模型二：,（,两点异侧）,：如图,2,，点,P,在直线,l,上运动，画出一点,P,使,PA+PB,取最小值。,B,l,P,A,图,1,B,A,B,l,P,图,2,【,典型例题,】,例,1.,（,“两定一动”,）如图，在直角坐标系中，点,A(3,4),，,B(0,2),，点,P,为,x,轴上一动点，,求当,PA +PB,最小时点,P,的坐标,y,x,B,A,O,P,类型“两点同侧”,在,x,轴上确定一点,P,使,PA+PB,最小，因此先作,B,（,A,）关于,x,轴的对称点,B,（,A,） ，连接,A,B,与,x,轴的交点即为所求的点,P,。,由,B(0,2),，所以,B,(0,-2),，因为,A(3,4),，所以易求直线,A,B,：,y=2x-2,所以点,P,（,1,，,0,）,B,变式训练,如图，,MN,是,O,的直径，,MN=2,，点,A,在,O,上，,AMN=30,，,B,为弧,AN,的中点，,P,是直径,MN,上一动点，则,PA+PB,的最小值为,A,B,O,N,M,P,B,【,典型例题,】,例,2.,（,“两动一定”,）如图，在锐角,ABC,中，,AB=,，,BAC=45,，,BAC,的平分线交,BC,于点,D,，,M,、,N,分别是,AD,和,AB,上的动点，请你求出,BM+MN,的最小值,A,B,C,D,N,M,N,N,解析：,AD,是角平分线，所以具有轴对称，先作,N,与,N,关于,AD,对称，所以,M,N,=MN,，要使,BM+MN,最小，即,BM+MN=,BM+M,N,最小，所以当,B,，,M,，,N,在一条直线上时最小，此时为,B,N,的长度，而,B,N,最小时即为,B,N,与,AC,垂直时最小，易求得,BM+MN,的最小值为,4,变式训练,练习,1,，如图，正方形,ABCD,的边长为,4,，,CDB,的平分线,DE,交,BC,于点,E,，若点,P,Q,分别是,DE,和,DC,上的动点，则,PQ+PC,的最小值（ ）,A.2 B. C.4 D.,A,B,C,D,Q,P,E,【,变式训练,】,练习,2,，如图，,AOB=45,，,P,是,AOB,内一点，,OP=10,，,Q,、,R,分别是,OB,、,OA,上的动点，求,PQR,周长的最小值,B,P,A,O,P,1,P,2,Q,R,【,典型例题,】,例,3,.(“,两动两定”,),如图，直线,l,1,、,l,2,交于,O,，,A,、,B,是两直线间的两点，从点,A,出发，先到,l,1,上一点,P,，再从,P,点到,l,2,上一点,Q,，再回到,B,点，求作,P,、,Q,两点，使,AP,PQ,QB,最小。,Q,P,A,B,解析：由前面的知识积累可以得知：先作出点,A,与,A,关于直线,l,1,对称，则,PA=P,A,，然后再作,B,与,B,关于,l,2,对称，则,QB=Q,B,连接,A,B,交,l,1,，,l,2,于点,P,，,Q,，则,AP+PQ+QB= P,A,+PQ+Q,B,，当四点共线时，,AP+PQ+QB,最小。,A,B,O,l,1,l,2,【,变式训练,】,已知,在平面直角坐标系中，点,A,（,1,3),、,B(4,2),，请问在,x,轴上是否存在点,C,，在,y,轴上是否存在点,D,，使得围成的四边形,ADCB,周长最短,.,x,y,A,O,B,A,D,C,B,反思总结,此类试题往往以角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等为背景，这些问题的设置背景有都有一个共同点，那就是：都有一个,“轴对称性”,的图形共同点，解题时只有从变化的背景中提取出“建奶站问题”的数学模型，再通过找定直线,（在那条直线上确定点就作定点关于这条直线的对称点）,的对称点，从而将问题转化为上面的类型进行求解，但有时问题是求三角形周长或四边形周长的最小值，一般此类问题中会含有定长的线段，依然可以转化为“建奶站问题”来进行求解。,【,课时练习,】,1,、,如图,1,，等边,ABC,的边长为,6,，,AD,是边,BC,上的中线，,M,是,AD,上的动点，,E,是边,AC,上的一点，若,AE=2,，,EM+CM,的最小值为,_,。,2,、如图,2,，菱形,ABCD,中，,BAD=600,，,M,是,AB,的中点，,P,是对角线,AC,上的一个动点，若,PM+PB,的最小值是,3,，则,AB,长为,_.,图,1,图,2,3.,如图，,O,的半径为,2,，点,A,，,B,，,C,在,O,上，,OAOB,AOC=60,0,，,P,是,OB,上一动点，,PA+PC,的最小值为,_,。,4,在正方形,ABCD,中，点,E,是,BC,上的一定点，且,BE,=5,，,EC,=7,，点,P,是,BD,上的一动点，则,PE,+,PC,的最小值是,图,3,A,O,B,C,A,B,C,D,P,E,图,4,谢谢！请批评指正,2014年3月,课本原型,（,七年级（下）,）,如图所示，在三角形,ABC,中，分别量出三个三角形的三边长度，计算三角形的任意两边之差并与第三边比较，你能得到什么结论？,B,A,C,即：三角形任意两边之差小于第三边,AB-AC,BC,应用：求两条线段差的最大值,A,、理论依据：三角形两边之差小于第三边,B,、用途：求两条线段差的最大值,当,P,在直线运动到,D,时，（,AB,AC,）,取最大,P,B,C,D,【,常见模型,】,模型一：,两点同侧,：如图,1,，点,P,在直线,l,上运动。画出一点,P,，使,|PA,PB|,取最大值；,模型二：,两点异侧,：如图,2,，点,P,在直线,l,上运动，画出一点,P,使,|PA,PB|,取最大值；,P,B,A,l,B,B,P,A,l,图,1,图,2,【,典型例题,】,例,1,：已知：点,A(0,1),，,B(3,4),，点,P,在,x,轴上运动时，当,|PA-PB|,的值最大时，求出此时点,P,的坐标,y,x,O,A,B,P,P,分析：,“两点同侧”,当点,P,、,A,、,B,不在一条直线上时，,|PA-PB|AB,，所以当,|PA-PB|,的值最大时，此时点,p,、,A,、,B,在一条直线上，即直线,AB,与,x,轴的交点为,P,。,解析：当,|PA-PB|,取最大时，此时点,P,、,A,、,B,在一条直线上，设直线,AB,：,y=,kx+b,将,A(0,1),B(3,4),代入解得,k=1,b=1,所以直线,AB,：,y=x+1,，又因为点,P,在,x,轴上，易求点,P,（,-1,，,0,）,【,典型例题,】,例,2,：已知：点,A(0,1),，,B(3,0),，点,P,在直线,x=2,上运动时，当,|PA-PB|,的值最大时，求出此时点,P,的坐标,y,x,O,A,B,x=2,P,B,1,P,分析：,“两点异侧”,由题知：,|PA-PB|AB,，所以当,|PA-PB|,的值最大时，先找出点,B,关于直线,x=2,的对称点,B,l,，连接,AB,与直线,x=2,的交点即为所求点,P,，,此时满足：,|PA-PB|,的值最大；,解析：点,B,与点,B,l,关于直线,x=2,对称，,B,（,3,0,），得,B,（,1,，,0,）；易求直线,AB,：,y=-x+1,因为点,P,在,x=2,上，所以联立可解得：,P(2,-1),设计设想,从近年的中考数学题型来看，经常考查距离最值的问题，而这部分题目在中考分析中，失分率很高，应该引起我们的重视，几何极值问题在教课书虽然没有专题讲解，但却给出了它的模型。学生对几何极值模型的陌生由于当时的学生理解水平有限等条件下，教师在当时的教学中对教材例习题的拓展延伸程度相对低，因此在初三的综合复习中对此进行专题复习是很有必要的。,所以我设计本节课的思路是想通过对此类题进行深层次的挖掘、拓展、再创造，利用例题、习题的所潜在的价值，改变学生的学习方式由“重结论轻过程”向“过程与结果”并重的方向发展，使学生挖掘隐含问题的本质属性，从而达到“做一题，通一类，会一片”的解题境界。希望能通过此了复习达到预想的目标。,在具体复习过程中，将此类问题归类建模，我们知道，数学建模是一种数学的思考方法，是运用数学的语言和方法，通过抽象、简化建立能近似刻画并,“,解决,”,实际问题的一种强有力的数学手段。用模型分析实际事物，锻炼我们的创新能力，建立的模型是分析事物的很好的方法，因此在教学中，要洗染引导学生通过讨论、分析和研究，熟悉并理解数学模型。,
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