排列与组合公式 1 排列 从n个不同元素中任取r个元素排成一

单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,1.3 古典概型与几何概型,1.3.1 排列与组合公式,1. 排列,从,n,个不同元素中任取,r,个元素排成一列（考虑元素先后出现次序），称此为一个,排列,，此种排列的总数为,若,r,=,n,，则称为,全排列的总数为,A,n,=,n,!,第1章 概率论基础,2. 重复排列,从,n,个不同元素中每次取出一个，放回后再取出下一个，如此连续取,r,次所得的排列称为,重复排列,，此种重复排列数共有,n,r,个，这里,r,允许大于,n,1.3.1,排列与组合公式,3. 组合,从,n,个不同元素中任取,r,个元素并成一组（不考虑元素先后出现次序），称为一个,组合,，此种组合的总数为,易知 ， ,排列组合公式在古典概型的概率计算中经常使用,1.3.1,排列与组合公式,1.3.2 古典概型,具有以下两个特点的试验称为,古典概型,：,(1) 有限性：试验的样本空间只含有限个样本点；,(2) 等可能性：试验中每个基本事件发生的可能性相同,对于古典概型，若样本空间中共有,n,个样本点，事件,A,包含,k,个样本点，则事件,A,的概率为,容易验证，由上式确定的概率满足公理化定义,1.3 古典概型与几何概型,【例1.5】（摸球问题）箱中盛有,个白球和,个黑球，从其中任意地接连取出,k,+1个球(,k,+1,+,)，如果每个球被取出后不再放回，试求最后取出的球是白球的概率,1.3.2 古典概型,解,：由于注意了球的次序，故应考虑排列,接连不放回地取,k,+ 1个球的所有结果共有,个，,即样本空间中共有 个样本点,最后取出的白球可以是,个白球中的任一个，,共有,种取法，,其余,k,个可以是其余,+,1个的任意,k,个，,共有 种取法，,因而事件,A,=“取出的,k,+ 1球中最后一个是白球”中共含有 个样本点，于是,与,k,无关！,1.3.2 古典概型,【例1.6】（分房问题）有,n,个人，每个人都以同样的概率被分配在,N,（,n,N,）间房中的每一间中，试求下列各事件的概率：,(1),A,=“某指定,n,间房中各有一人”；,(2),B,=“恰有,n,间房，其中各有一人”；,(3),C,=“某指定房中恰有,m,(,m,n,)人,”,1.3.2 古典概型,解,：因为每个人都可以分配到,N,间房中任一间，所以,n,个人分配房间的方式共有,N,n,种，即样本空间中所有样本点的个数为,N,n,(1),A,=“某指定,n,间房中各有一人”，,“某指定,n,间房中各有一人”的分配方法,共有,n,! 种，,因而事件,A,中含有,n,!个样本点，,于是,1.3.2 古典概型,(2),B,=“恰有,n,间房，其中各有一人”,这,n,间房可自,N,间中任意选出，,共有种选法，,因而事件,B,中含有 个样本点，,于是,1.3.2 古典概型,(3),C,=“某指定房中恰有,m,(,m,n,)人,”,事件,C,中的,m,个人可自,n,个人中任意选出,共有种选法，,其余,n,m,个人可以任意分配在其余,N, 1间房里，,共有 个分配法，,因而事件,C,中有 个样本点，,于是,1.3.2 古典概型,1.3.3 几何概型,具有以下两个特点的试验称为几何概型：,(1) 随机试验的样本空间为某可度量的区域,；,(2),中任一区域出现的可能性的大小与该区域的几何度量成正比而与该区域的位置和形状无关,1.3 古典概型与几何概型,对于几何概型，若事件,A,是,中的某一区域，且,A,可以度量，则事件,A,的概率为,其中，如果,是一维、二维或三维的区域，则,的几何度量分别是长度、面积和体积,1.3.3,几何概型,【例1.8】（约会问题）甲乙两人约定在下午6点到7点之间在某处会面，并约定先到者应等候另一人20分钟，过时即可离去，求两人能会面的概率,1.3.3,几何概型,解,：以,x,和,y,分别表示甲乙两人到达,约会地点的时间（以分钟为单位），,在平面上建立,xOy,直角坐标系，,因为甲乙都是在0到60分钟内等可能到达，所以这是一个几何概型问题,样本空间,=,(,x,，,y,)：0,x,，,y,60,事件,A,=“甲乙将会面”,= (,x,，,y,),：|,x,y,|,20,因此,1.3.3,几何概型,【例1.9】（蒲丰投针问题）平面上画有间隔为,d,(,d, 0)的等距平行线，向平面任意投掷一枚长为,l,(,l,d,)的针，求针与任一平行线相交的概率,解,：以,x,表示针的中点与最近一条平行线的距离，又以,表示针与直线间的交角,易知样本空间,满足,由这两式可以确定,xOy,面上,的一个矩形,，,其,面积为,1.3.3,几何概型,事件,A,=“针与平行线相交”当且仅当,因此,1.3.3,几何概型,蒲丰投针试验的应用及意义：,当投针试验次数,n,很大时，测出针与平行线相交的次数,m,，根据频率的稳定性，,频率值可作为,P,(,A,)的近似值带入上式，,那么,利用上式可以计算圆周率,的近似值,1.3.3,几何概型,课堂思考,某接待站在某一周曾接待过 12次来访,已知所有这 12 次接待都是在周二和周四进行的,问是否可以推断接待时间是有规定的.,假设接待站的接待时间没有,规定,且各来访者在一周的任一天,中去接待站是等可能的.,解,一周内接待 12 次来访共有,12 次接待都是在周二和周四进行的共有,故12 次接待都是在周二和周四进行的概率为,实际应用中，认为小概率事件在一次试验中几乎是不可能发生的 , 从而可知接待时间是有规定的.,兴趣拓展,生日问题 (1),n,个人,生日各不相同的概率(,n,365).,解答下面问题并利用计算机进行计算:,计算机计算结果:,