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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,1.,泰勒展开定理,2.,展开式的唯一性,3.,简单初等函数的泰勒展开式,3,泰勒,(,Taylor,),级数,1.,泰勒,(,Taylor,),展开定理,现在研究与此相反的问题：,一个解析函数能否用幂级数表达,?,(,或者说,一个解析函数能否展开成幂级数,?,解析函,数在解析点能否用幂级数表示？）,由,2,幂级数的性质知,:,一个幂级数的和函数在,它的收敛圆内部是一个解析函数,.,以下定理给出了肯定回答：,任何,解析函数,都一定,能用幂级数表示,.,定理（泰勒展开定理）,D,k,分析：,代入,(1),得,D,k,z,-(*),得证！,证明,(,不讲,),(,不讲,),证明,(,不讲,),2.,展开式的唯一性,结论,解析函数展开成幂级数是唯一的，就是它,的,Taylor,级数,.,利用泰勒级数可把解析函数展开成幂级数，这样,的展开式是否唯一？,事实上,，设,f,(,z,),用另外的方法展开为幂级数,:,由此可见，任何解析函数展开成幂级数就是,Talor,级数，因而是唯一的,.,-,直接法,-,间接法,代公式,由展开式的唯一性，运用级数的代数运算、分,析运算和 已知函数的展开式来展开,函数展开成,Taylor,级数的方法：,3.,简单初等函数的泰勒展开式,例,1,解,(P120),上述求,sin,z, cos,z,展开式的方法即为间接法,.,例,2,把下列函数展开成,z,的幂级数,:,解,(2),由幂级数逐项求导性质得：,(1),另一方面，因,ln(1+,z,),在从,z=-1,向左沿负,实轴剪开的平面内解析，,ln(1+,z,),离原点最近的一,个奇点是,-1,它的展开式的收敛范围为,z,1.,定理,第十次课,11,月,26,日,?,1.,预备知识,2.,双边幂级数,3.,函数展开成双边幂级数,4.,展开式的唯一性,4,罗朗,(,Laurent,),级数,由,3,知,f,(,z,),在,z,0,解析,，则,f,(,z,),总可以,在,z,0,的某一个圆域,z,-,z,0,R,内,展开成,z,-,z,0,的幂级数,.,若,f,(,z,),在,z,0,点不解析,，,在,z,0,的邻域中就不可能展开成,z,-,z,0,的幂级数，但如果在圆环域,R,1,z,-,z,0,R,2,内解析，,那么，,f,(,z,),能否用,级数表示呢？,例如，,P127,由此推想，若,f,(,z,),在,R,1,z,-,z,0,R,2,内解析,f,(,z,),可以展开成级数，只是这个级数含有,负幂次项,即,本节将讨论在以,z,0,为中心的圆环域内解析,的函数的级数表示法,.,它是后面将要研究的解,析函数在,孤立奇点,邻域内的性质以及定义,留数,和计算留数的基础,.,1.,预备知识,Cauchy,积分公式的推广到复连通域,-,见第三章第,18,题,P101,D,z,0,R,1,R,2,r,R,k,1,k,2,D,1,z,2.,双边幂级数,-,含有正负幂项的级数,定义,形如,-,双边幂级数,正幂项,(,包括常数项,),部分,：,负幂项部分,：,级数,(2),是一幂级数，设收敛半径为,R,2,， 则级数,在,z,-,z,0,=,R,2,内收敛，且和为,s,(,z,),+,;,在,z,-,z,0,=R,2,外发散,.,z,0,R,1,R,2,z,0,R,2,R,1,(2),在圆环域的边界,z,-,z,0,=R,1,z,-,z,0,=,R,2,上,3.,函数展开成双边幂级数,定理,证明,由复连通域上的,Cauchy,积分公式：,D,z,0,R,1,R,2,r,R,k,1,k,2,D,1,z,记为,I,1,记为,I,2,式,(*1),(*2),中系数,c,n,的积分分别是在,k,2,，,k,1,上进,行的，在,D,内取绕,z,0,的简单闭曲线,c,，由复合闭路,定理可将,c,n,写成统一式子：,证毕！,级数中正整次幂部分和负整次幂部分分别称为,洛朗级数的解析部分和主要部分,.,(2),在许多实际应用中，经常遇到,f,(,z,),在奇点,z,0,的邻域内解析，需要把,f,(,z,),展成级数，那么,就利用洛朗（,Laurent,）级数来展开,.,4.,展开式的唯一性,结论,一个在某一,圆环域内解析,的函数展开为含,有正、负幂项的级数是唯一的，这个级数就是,f,(,z,),的洛朗级数,.,事实上,，,D,z,0,R,1,R,2,c,D,z,0,R,1,R,2,c,由唯一性，将函数展开成,Laurent,级数，可,用间接法,.,在大多数情况，均采用这一简便的方,法求函数在指定圆环域内的,Laurent,展开式，只有,在个别情况下，才直接采用公式,(5,),求,Laurent,系,数的方法,.,例,1,解,例,2,解,例,3,解,例,4,x,y,o,1,2,x,y,o,1,2,x,y,o,1,2,P132,解,:,没,有,奇,点,注意首项,(2),对于,有理函数,的,洛朗展开式，首先把有理,函数分解成多项式与若干个最简分式之和，然后利用已知的几何级数，经计算展成需要的形式,.,小结：把,f,(,z,),展成洛朗,(,Laurent,),级数的方法：,解,(1),在,(,最大的,),去心邻域,例,5,y,x,o,1,2,(2),在,(,最大的,),去心邻域,x,o,1,2,练习：,(2),根据区域判别级数方式：,在圆域内需要把,f,(,z,),展成泰勒,(Taylor),级数，,在环域内需要把,f,(,z,),展成洛朗,(,Laurent,),级数,.,(3),Laurent,级数与,Taylor,级数的不同点：,Taylor,级数先展开求,R,找出收敛域,.,Laurent,级数先求,f(z),的奇点，然后以,z,0,为中心，奇点为分隔点，找出,z,0,到无穷远,点的所有使,f(z),解析的环，在环域上展成,级数,.,计算沿封闭路线积分中的应用,P135,作业,P143 12(1)(3),16(2)(3),第五章,留数,第十一次课,12,月,3,日,1.,定义,2.,分类,3.,性质,4.,零点与极点的关系,1,孤立奇点,1.,定义,例如,-z,=0,为孤立奇点,-z,=0,及,z,=1/,n,(,n =,1 , 2 ,),都是它的,奇点,-z,=1,为孤立奇点,定义,x,y,o,这说明奇点未,必是孤立的,.,除此之外，其它奇点,不是孤立的,2.,分类,以下将,f,(,z,),在孤立奇点的邻域内展成洛朗级数，根,据展开式的不同情况，将孤立点进行分类,.,考察：,特点：,没有负幂次项,特点：,只有有限多个负幂次项,特点：,有无穷多个负幂次项,定义,设,z,0,是,f,(,z,),的一个孤立奇点，在,z,0,的去心邻域内，,若,f,(,z,),的洛朗级数,没有负幂次项，称,z,=,z,0,为可去奇点,;,只有有限多个负幂次项，称,z,=,z,0,为,m,级（阶）极点,;,有无穷多个负幂次项，称,z,=,z,0,为本性奇点,.,3.,性质,若,z,0,为,f,(,z,),的可去奇点,若,z,0,为,f,(,z,),的,m (m, 1,),级极点,例如：,z,=1,为,f,(,z,),的一个三级极点，,z,=,i,为,f,(,z,),的一级极点,.,若,z,0,为,f,(,z,),的本性奇点,4.,零点与极点的关系,定义,不恒等于,0,的解析函数,f,(,z,),如果能表示成,则称,z,=,z,0,为,f,(,z,),的,m,级零点,.,例如：,定理,事实上,，,必要性得证！,充分性略！,例如,定理,:,证明,“”,若,z,0,为,f,(,z,),的,m,级极点,例,解,显然，,z,=,i,是,(1+,z,2,),的一级零点,综合,1.,留数的定义,2.,留数定理,3.,留数的计算规则,2,留数,(Residue),1.,留数的定义,定义,设,z,0,为,f,(,z,),的孤立奇点，,f,(,z,),在,z,0,邻域内的洛朗级数中负幂次项,(,z,-,z,0,),1,的系数,c,1,称为,f,(,z,),在,z,0,的,留数,，记作,Res ,f,(,z,),z,0,或,Res,f,(,z,0,),.,由留数定义,Res ,f,(,z,),z,0,=,c,1,(1),2.,留数定理,定理,证明,D,c,z,n,z,1,z,3,z,2,由复合闭路定理得：,用,2,i,除上式两边得,:,得证！,求沿闭曲线,c,的积分，归之为求在,c,中各孤立,奇点的留数,.,一般求,Res ,f,(,z,),z,0,是采用将,f,(,z,),在,z,0,邻域内,展开成洛朗级数求系数,c,1,的方法,但如果能先知道,奇点的类型，对求留数更为有利,.,以下就三类孤立奇点进行讨论：,3.,留数的计算规则,规则,I,规则,II,事实上,，由条件,（可以乘比,m,阶大的因式）,当,m,=1,时，式,(5),即为式,(4).,规则,III,事实上,，,例,1,解,例,2,解,例,3,解,例,4,解,故由留数定理得：,(1),要灵活运用规则及洛朗级数展开来求留,数，不要死套规则,.,如,是,f,(,z,),的三级极点,.,-,该方法较规则,II,更简单！,(2),由规则,II,的推导过程知，在使用规则,II,时，可将,m,取得比实际级数高，这可使计算更,简单,.,如,第十二次课,12,月,10,日,3.,在无穷远点的留数,设函数,f,(,z,),在圆环域,R,|,z,|,内解析,C,为圆环域内绕原点的任何一条简单闭曲线,则积分,的值与,C,无关,称其为,f,(,z,),在,点的留数,记作,f,(,z,),在圆环域,R,|,z,|,内解析：,理解为圆环域内绕 的任何一条简单闭曲线,.,这就是说,f,(,z,),在点的留数等于它在点的去心邻域,R,|,z,|+,内洛朗展开式中,z,-,1,的系数变号,.,定理二,如果,f,(,z,),在扩充复平面内只有有限个孤立奇点,那末,f,(,z,),在所有各奇点,(,包括,点,),的留数总和必等于零,.,证,：除点外,设,f,(,z,),的有限个奇点为,z,k,(,k,=1,2,.,n,).,且,C,为一条绕原点的并将,z,k,(,k,=1,2,.,n,),包含在它内部的正向简单闭曲线,则根据留数定理与在无穷远点的留数定义,有,所以规则,4,成立,.,定理二与规则,IV,为我们提供了计算函数沿闭曲线积分的又一种方法,在很多情况下,它比利用上一段中的方法更简便,.,例,6,作 业,P147,1,（,1,）（,4,）（,7,）,8,（,2,）（,4,）（,6,）（,8,）,9,（,1,）（,2,）（,5,）,留数定理,是复变函数的定理，若要在实变函数定积分中应用，必须将实变函数变为复变函数,.,这就要利用,解析延拓,的概念,.,留数定理又是应用到回路积分的，要应用到定积分，就必须将,定积分变为回路积分中的一部分,.,3,留数在定积分计算上的应用,如图，对于实积分 ，变量,x,定义在闭区间,a,b, (,线段,),，此区间应是回路,的一部分,.,实积分 要变为回路积分，则实函数必须,解析延拓,到复平面上包含回路的一个区域中,而实积分 成为回路积分的一部分：,1.,形如 的积分,其中,R,(cos,q,sin,q,),为,cos,q,与,sin,q,的有理函数,.,令,z,= e,i,q,则,d,z,=,i,e,i,q,d,q,而,其中,f,(,z,),是,z,的有理函数,且在单位圆周,|,z,|=1,上分母不为零,根据留数定理有,其中,z,k,(,k,=1,2,.,n,),为单位圆,|z|=1,内的,f,(,z,),的孤立奇点,.,例,1,计算 的值,.,解,由于,0,p,1,被积函数的分母在,0,q, 2,p,内不为零,因,而积分是有意义的,.,由于,cos2,q,= (e,2,i,q,+ e,-,2,i,q,) /2= (,z,2,+,z,-,2,) /2,因此,在被积函数的三个极点,z,=0,p, 1/,p,中只有前两个在圆周,|,z,|=1,内,其中,z,=0,为二级极点,z,=,p,为一级极点,.,例,2,计算 的值,.,解：令,例,3,解：,取积分路线如图所示,其中,C,R,是以原点为中心,R,为半径的在上半平面的半圆周,.,取,R,适当大,使,R,(,z,),所有的在上半平面内的极点,z,k,都包在这积分路线内,.,z,1,z,2,z,3,y,C,R,-,R,R,O,x,不失一般性,设,为一已约分式,.,此等式不因,C,R,的半径,R,不断增大而有所改变,.,例,4,例,5,解：,第十三次课,12,月,17,日,也可写为,例,6,计算 的值,.,解,这里,m,=2,n,=1,m,-,n,=1.,R,(,z,),在实轴上无孤立奇点,因而所求的积分是存在的,.,在上半平面内有一级极点,ai,例,4,计算积分 的值,.,解,因为 是偶函数,所以,因此,要算出所求积分的值,只需求出极限,下面将证明,由于,所以,j,(,z,),在,z,=0,处解析,且,j,(0)=,i,当,|,z,|,充分小时可使,|,j,(,z,)|,2,而,由于,在,r,充分小时,第六章,共形映射,1.,曲线的切线,2.,导数的几何意义,3.,共形映射的概念,1,共形映射的概念,1.,曲线的切线,设连续曲线,(,z,),(,z,),定义,切线随切点的移动而连续转动的有向曲线,称为有向光滑曲线,.,(,z,),2.,解析函数,导数的几何意义,(,辐角和模,),则,即,(1),即,(,z,),(,w,),x,(,z,),(,w,),保角性,由上述讨论我们有,(,z,),(,w,),3.,共形映射的概念,定义,定理,若上述共形映射定义中，仅保持角度绝对,值不变，而旋转方向相反，此时称第二类共形映,射。从而，定义中的共形映射称为第一类共形映,射。,在,D,内作以,z,0,为其一个顶点的小三角形,在映射下,得到一个以,w,0,为其一个顶点的小曲边三角形,这两个三角形对应边长之比近似为,|,f,(,z,0,)|,有一个角相等,则这两个三角形近似相似,.,O,x,y,O,u,v,(,z,),(,w,),z,0,w,0,a,a,C,1,C,2,G,1,G,2,定理一的几何意义,.,O,x,y,O,u,v,(,z,),(,w,),z,0,w,0,a,a,C,1,C,2,G,1,G,2,x,(,z,),(,w,),3.,共形映射的概念,定义,定理,若上述共形映射定义中，仅保持角度绝对,值不变，而旋转方向相反，此时称第二类共形映,射。从而，定义中的共形映射称为第一类共形映,射。,1.,分式线性映射的定义,2.,分式线性映射的性质,2,分式线性映射,1.,分式线性映射的定义,定义,分式线性映射,(1),总可以分解成下述三种特殊,映射的复合：,称为：,平移整线性反演,事实上,，,定义,r,o,x,y,P,规定无穷远点的对称点为圆心,o,o,T,P,1,o,x,u,y,v,z,w,2.,分式线性映射的性质,（详见,P195,）,定理,1,定理,2,定理,3,在分式线性映射下，圆周或直线上没有点,趋于无穷点，则它映射成半径为有限的圆周；若,有一点映射成无穷远点，它映射成直线,。,作业,P245 1,7,8(1)(5),P246 15(1)(2),16(1)(2),1.,分式线性映射的存在唯一性,2.,举例,3,唯一决定分式线性映射的条件,定理,1.,分式线性映射的存在唯一性,证明,式,(1),是三对点所确定的唯一的一个映射。,所求分式线性映射,因此，式,(1),说明分式线性映射具有保交比不变性。,由分式线性映射的存在唯一性定理知：,以下讨论这个映射,会把,C,的内部映射成什么？,(,不可能把,d,1,的部分映,入,D,1,，,d,1,的另一部分映入,D,2,).,事实上，,由以上讨论给出,确定对应区域,的两个方法：,事实上,由上一节和本节的讨论，还有以下,结论,：,例,1,解,2.,举例,u,v,(,w,),x,y,(,z,),第十五次课,12,月,31,日,例,2,解,u,v,o,(,w,),x,y,(,z,),o,例,3,解,u,v,(,w,),x,y,(,z,),1,1,例,4,解,u,v,o,(,w,),x,y,(,z,),o,R,例,5,解,x,y,(,z,),1,-1,i,-i,o,u,v,(,w,),o,作业,P246 15(1)(2),16(1)(2),1.,幂函数,2.,指数函数,4,几个初等函数所构成的映射,1.,幂函数,幂函数：,x,y,(,z,),u,v,(,w,),x,y,(,z,),上岸,下岸,u,v,(,w,),幂函数所构成的映射特点：把以原点为顶点的角,形域映射成以原点为顶点的角形域，但张角变成,了原来的,n,倍，因此，,x,y,(,z,),u,v,(,w,),i,例,1,解,:,-i,x,y,(,z,),i,1,1,u,v,(,w,),例,2,2.,指数函数,带形区域角形区域,x,y,(,z,),ia,u,v,(,w,),x,y,(,z,),上岸,下岸,u,v,(,w,),x,y,(,z,),u,v,(,w,),i,例,3,解,x,y,(,z,),a,b,1,例,4,解,u,v,(,w,),x,y,(,z,),u,v,(,w,),E,A,B,D,C,例,5,解,答：,x,y,(z),u,v,(w),x,y,(z),-1,1,例,6,u,v,(,w,),解,见,P244,例,7,作业,P246 19(1)(3)(8)(9),复习提纲,
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