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单击此处编辑母版标题样式,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,主要内容,线性函数的和与数量乘积,L,(,V,P,),的维数,第二节 对偶空间,对偶空间,一、线性函数的和与数量乘积,设,V,是数域,P,上一个,n,维线性空间，,V,上全,体线性函数组成的集合记作,L,(,V,P,).,可以用自然,的方法在,L,(,V,P,),上定义加法和数量乘法,.,1.,线性函数的和,定义,2,设,f,g,是,V,的两个线性函数，定义函,数,f,+,g,如下：,(,f,+,g,)(,) =,f,(,) +,g,(,) ,V,.,f,+,g,称为,f,g,的,和,.,性质,f,+,g,是线性函数,.,证明,(,f,+,g,)(, + ,) =,f,(, + ,) +,g,(, + ,),=,f,(,) +,f,(,) +,g,(,) +,g,(,),= (,f,+,g,)(,) + (,f,+,g,)(,),，,(,f,+,g,)(,k,) =,k,f,(,) +,k,g,(,),=,k,(,f,+,g,)(,) .,证毕,2.,数量乘积,定义,3,设,f,是,V,上线性函数，对,P,中任意,数,k,，定义函数,k f,如下：,(,k f,) (,) =,k,(,f,(,),，,V,，,k f,称为,k,与,f,的,数量乘积,.,容易证明,k f,也是线性函数,.,容易检验，,在这样定义的加法和数量乘积下，,L,(,V,P,),成为数域,P,上的线性空间,.,二、,L,(,V,P,),的维数,取定,V,的一 组基,1,2, ,n,作,V,上,n,个,线性函数,f,1,f,2, ,f,n,使得,因为,f,i,在基,1,2, ,n,上的值已确定，这样的线,性函数是存在且唯一的,.,对,V,中向量,有,f,i,(,) =,x,i, (2),即,f,i,(,),是,的第,i,个坐标的值,.,引理,对,V,中任意向量,，有,而对,L,(,V,P,),中任意向量,f,有,证明,(3),是,(2),的直接结论，而由,(1),及,(3),就得,证毕,定理,2,L,(,V,P,),的维数等于,V,的维数，而且,f,1,f,2, ,f,n,是,L,(,V,P,),的一组基,.,证明,首先证明,f,1,f,2, ,f,n,是线性无关的,.,设,c,1,f,1,+,c,2,f,2,+ +,c,n,f,n,= 0,(,c,1,c,2, ,c,n,P,) .,依次用,1,2, ,n,代入，即得,c,1,=,c,2,= =,c,n,= 0 .,因此,f,1,f,2, ,f,n,是线性无关的,.,又由,知,L,(,V,P,),中任一向量都可由,f,1,f,2, ,f,n,线性表出，所以,f,1,f,2, ,f,n,是,L,(,V,P,),的,一组基，于是,dim,L,(,V,P,) =,n,= dim,V,.,证毕,三、 对偶空间,1.,定义,定义,4,L,(,V,P,),称为,V,的,对偶空间,.,L,(,V,P,),的一组基,称为,1,2, ,n,的,对偶基,.,以后我们简单地把,V,的对偶空间记为,V,*,.,例,考虑实数域,R,上的,n,维线性空间,V,=,P,x,n,对任意取定的,n,个不同实数,a,1,a,2, ,a,n,根据拉,格朗日插值公式，得到,n,个多项式,它们满足,p,1,(,x,) ,p,2,(,x,) , ,p,n,(,x,),是线性无关的，因为由,c,1,p,1,(,x,) +,c,2,p,2,(,x,) + +,c,n,p,n,(,x,) = 0,，,用,a,i,代入，即得,又因,V,是,n,维的，所以,p,1,(,x,) ,p,2,(,x,) , ,p,n,(,x,),是,V,的一组基,.,设,L,i,V,*,(,i,= 1 , 2 , ,n,),是在,a,i,点的取值,函数：,L,i,(,p,(,x,) =,p,(,a,i,) ,p,(,x,),V,i,= 1 ,2 , ,n,.,则线性函数,L,i,满足,因此，,L,1,L,2, ,L,n,是,p,1,(,x,) ,p,2,(,x,) , ,p,n,(,x,),的,对偶基,.,2.,两组基的对偶基之间的关系,设,V,是数域,P,上一个,n,维线性空间,.,1,2, ,n,及,1,2, ,n,是,V,的两组基,.,它们的对,偶基分别是,f,1,f,2, ,f,n,及,g,1,g,2, ,g,n,.,再设,(,1,2, ,n,) = (,1,2, ,n,),A,，,(,g,1,g,2, ,g,n,) = (,f,1,f,2, ,f,n,),B,，,其中,由假设,i,=,a,1,i,1,+,a,2,i,2,+, +,a,ni,n,i,= 1 , 2 , ,n,.,g,j,=,b,1,j,f,1,+,b,2,j,f,2,+, +,b,nj,f,n,j,= 1 , 2 , ,n,.,因此,=,b,1,j,a,1,i,+,b,2,j,a,2,i,+ +,b,nj,a,ni,=,1 ,i,=,j,;,0 ,i,j,i,j,= 1 , 2 , ,n,.,由矩阵乘法定义，即得,B,T,A,=,E,，,即,B,T,=,A,-1,.,因此有下述定理：,定理,3,设,1,2, ,n,及,1,2, ,n,是线性空间,V,的两组基，它们的对偶基分别为,f,1,f,2, ,f,n,及,g,1,g,2, ,g,n,.,如果由,1,2, ,n,到,1,2, ,n,的过渡矩阵为,A,，那么由,f,1,f,2, ,f,n,到,g,1,g,2, ,g,n,的过渡矩阵为,(,A,T,),-1,.,设,V,是,P,上一个线性空间，,V,*,是其对偶空间,取定,V,中一个向量,x,，定义,V,*,的一个函数,x,*,如,下：,x,*,(,f,) =,f,(,x,) ,f,V,*,.,根据线性函数的定义，容易检验,x,*,是,V,*,上的一,个线性函数，因此是,V,*,的对偶空间,(,V,*,),*,=,V,* *,中的一个元素,.,定理,4,V,是一个线性空间，,V,*,是,V,的对偶,空间的对偶空间,.,V,到,V,*,的映射,x,x,*,是一个同构映射,.,证明,对任意,x,1,x,2,V,f,V,*,有,(,x,1,+,x,2,),*,(,f,) =,f,(,x,1,+,x,2,),= f,(,x,1,) +,f,(,x,2,),=,x,1,*,(,f,) +,x,2,*,(,f,),= (,x,1,*,+,x,2,*,),(,f,),，,(,kx,1,),*,(,f,) =,f,(,kx,1,) =,k,f,(,x,1,),=,k,x,1,*,(,f,),= (,k,x,1,*,)(,f,) .,因此,(,x,1,+,x,2,),*,=,x,1,*,+,x,2,*,，,(,kx,1,),*,=,k,x,1,*,.,所以这个映射保持加法和数量乘法,.,如果,x,*,为,V,*,上零函数，即对任一,f,V,*,都,有,f,(,x,) = 0 ,则由,得，,x,= 0 .,故这个映射是单射，又因,V,与,V,*,维数相同,所以这个映射是一个同构映射,.,证毕,这个定理说明，线性空间,V,也可看成,V,*,的线,性函数空间，,V,与,V,*,实际上是互为线性函数空间,的,.,这就是对偶空间名词的来由,.,由此可知，任一,线性空间都可看成某个线性空间的线性函数所成,的空间，这个看法在多线性代数中是很重要的,.,本节内容已结束,!,若想结束本堂课,请单击返回按钮,.,本节内容已结束,!,若想结束本堂课,请单击返回按钮,.,本节内容已结束,!,若想结束本堂课,请单击返回按钮,.,本节内容已结束,!,若想结束本堂课,请单击返回按钮,.,本节内容已结束,!,若想结束本堂课,请单击返回按钮,.,本节内容已结束,!,若想结束本堂课,请单击返回按钮,.,本节内容已结束,!,若想结束本堂课,请单击返回按钮,.,本节内容已结束,!,若想结束本堂课,请单击返回按钮,.,本节内容已结束,!,若想结束本堂课,请单击返回按钮,.,本节内容已结束,!,若想结束本堂课,请单击返回按钮,.,本节内容已结束,!,若想结束本堂课,请单击返回按钮,.,本节内容已结束,!,若想结束本堂课,请单击返回按钮,.,本节内容已结束,!,若想结束本堂课,请单击返回按钮,.,本节内容已结束,!,若想结束本堂课,请单击返回按钮,.,本节内容已结束,!,若想结束本堂课,请单击返回按钮,.,本节内容已结束,!,若想结束本堂课,请单击返回按钮,.,本节内容已结束,!,若想结束本堂课,请单击返回按钮,.,本节内容已结束,!,若想结束本堂课,请单击返回按钮,.,本节内容已结束,!,若想结束本堂课,请单击返回按钮,.,本节内容已结束,!,若想结束本堂课,请单击返回按钮,.,本节内容已结束,!,若想结束本堂课,请单击返回按钮,.,本节内容已结束,!,若想结束本堂课,请单击返回按钮,.,本节内容已结束,!,若想结束本堂课,请单击返回按钮,.,本节内容已结束,!,若想结束本堂课,请单击返回按钮,.,本节内容已结束,!,若想结束本堂课,请单击返回按钮,.,
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