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单击此处编辑母版标题样式,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,主要内容,引入,不可约多项式,第五节 因式分解定理,因式分解及唯一性定理,二、不可约多项式,在下面的讨论中，仍然选定一个数域,P,作为系,数域，我们考虑数域,P,上的多项式环,P,x,中多项,式的因式分解,.,1.,定义,定义,8,数域,P,上次数,1,的多项式,p,(,x,),称为,域,P,上的,不可约多项式,，如果它不能表成数域,P,上两个次数比,p,(,x,),的次数低的多项式的乘积,.,按照定义，一次多项式总是不可约多项式,.,正如上面指出的，,x,2,+ 2,是实数域上的不可约,多项式，但是它在复数域上可以分解成两个一次多,项式的乘积，因而不是不可约的这就说明了，,一个,多项式是否不可约是依赖于系数域的,.,显然，不可约多项式,p,(,x,),的因式只有非零常,数与它自身的非零常数倍,cp,(,x,) (,c, 0,),这两种，此,外就没有了,.,反过来，具有这个性质的次数,1,的,多项式一定是不可约的,.,由此可知，,不可约多项式,p,(,x,),与任一多项式,f,(,x,),之间只可能有两种关系，或,者,p,(,x,) |,f,(,x,),或者,(,p,(,x,) ,f,(,x,) ) = 1 .,事实上，如果,(,p,(,x,) ,f,(,x,) ) =,d,(,x,),，那么,d,(,x,),或者是,1,或者是,cp,(,x,) (,c, 0,) .,当,d,(,x,) =,cp,(,x,),时，就有,p,(,x,) |,f,(,x,) .,不可约多项式有下述的重要性质,.,2.,性质,定理,5,如果,p,(,x,),是不可约多项式，那么对于,任意的两个多项式,f,(,x,) ,g,(,x,),，由,p,(,x,) |,f,(,x,),g,(,x,),一,定推出,p,(,x,) |,f,(,x,),或者,p,(,x,) |,g,(,x,) .,证明,如果,p,(,x,) |,f,(,x,),，那么结论已经成立,.,如果,p,(,x,) |,f,(,x,),，那么由以上的说明可知,(,p,(,x,) ,f,(,x,) ) = 1 .,于是由,即得,p,(,x,) |,g,(,x,) .,证毕,利用数学归纳法，这个定理可以推广为：,如果,不可约多项式,p,(,x,),整除一些多项式,f,1,(,x,) ,f,2,(,x,) , ,f,s,(,x,),的乘积,f,1,(,x,),f,2,(,x,) ,f,s,(,x,),，那么,p,(,x,),一定整除,这些多项式之中的一个,.,下面来证明这一章的主要定理,.,三、因式分解及唯一性定理,因式分解及唯一性定理,次数,1,的多项式,f,(,x,),都可以唯一地分解成数域,P,上一些不可约多项式的乘积,.,所谓唯一性是说,如,果有两个分解式,f,(,x,) =,p,1,(,x,),p,2,(,x,) ,p,s,(,x,) =,q,1,(,x,),q,2,(,x,) ,q,t,(,x,) ,那么必有,s,=,t,并且适当排列因式的次序后有,p,i,(,x,) =,c,i,q,i,(,x,) ,i,= 1 , 2 , ,s,其中,c,i,(,i,= 1 , 2 , ,s,),是一些非零常数,.,数域,P,上每一个,证明,先证分解式的存在性,.,我们对,f,(,x,),的,次数作归纳法,.,因为一次多项式都是不可约的，所以,n,= 1,时,结论成立,.,设,(,f,(,x,) ) =,n,并设结论对于次数低于,n,的,多项式已经成立,.,如果,f,(,x,),是不可约多项式，结论是显然的,不,妨设,f,(,x,),不是不可约的，即有,f,(,x,) =,f,1,(,x,),f,2,(,x,),，,其中,f,1,(,x,),，,f,2,(,x,),的次数都低于,n,.,由归纳法假设,f,1,(,x,),和,f,2,(,x,),都可以分解成数域,P,上一些不可约多,项式的乘积,.,把,f,1,(,x,),，,f,2,(,x,),的分解式合起来就得到,f,(,x,),的一个分解式,.,由归纳法原理，结论普遍成立,.,再证唯一性,.,设,f,(,x,),可以分,解,成不可约多项式,的,乘积,f,(,x,) =,p,1,(,x,),p,2,(,x,) ,p,s,(,x,) .,如果,f,(,x,),还有另一个分解式,f,(,x,) =,q,1,(,x,),q,2,(,x,) ,q,t,(,x,) ,其中,q,i,(,x,) (,i,= 1 , 2 , ,t,),都是不可约多项式, 于是,f,(,x,) =,p,1,(,x,),p,2,(,x,) ,p,s,(,x,) =,q,1,(,x,),q,2,(,x,) ,q,t,(,x,) . (1),我们对,s,作归纳法,.,当,s,= 1,，,f,(,x,),是不可约,多项式，由定义必有,s,=,t,= 1 ,且,f,(,x,) =,p,1,(,x,) =,q,1,(,x,) .,现在设不可约因式的个数为,s,- 1,时唯一性已证,.,由,f,(,x,) =,p,1,(,x,),p,2,(,x,) ,p,s,(,x,) =,q,1,(,x,),q,2,(,x,) ,q,t,(,x,),得,p,1,(,x,) |,q,1,(,x,),q,2,(,x,) ,q,t,(,x,),，,因此，,p,1,(,x,),必能除尽其中的一个，无妨设,p,1,(,x,) |,q,1,(,x,) .,因为,q,1,(,x,),也是不可约多项式，所以有,p,1,(,x,) =,c,1,q,1,(,x,) , (2),p,1,(,x,),p,2,(,x,) ,p,s,(,x,) =,q,1,(,x,),q,2,(,x,) ,q,t,(,x,),p,1,(,x,) =,c,1,q,1,(,x,),由,得,p,2,(,x,) ,p,s,(,x,) =,c,1,-1,q,2,(,x,) ,q,t,(,x,) .,由归纳法假定，有,s,- 1 =,t,- 1 ,即,s,=,t, (3),并且适当排列次序之后有,p,2,(,x,) =,c,2,c,1,-1,q,2,(,x,),，即,p,2,(,x,) =,c,2,q,2,(,x,),，,p,i,(,x,) =,c,i,q,i,(,x,) (,i,= 3, ,s,) . (4),(2) , (3) , (4),合起来就是所要证的结论,.,证毕,应该指出，因式分解定理虽然在理论上有其基,本重要性，但是它并没有给出一个具体的分解多项,式的方法,.,实际上，对于一般的情形，普遍可行的,分解多项式的方法是不存在的,.,在多项式,f,(,x,),的分解中，可以把每一个不可约,因式的首项系数提出来，使它们成为首项系数为,1,的多项式，再把相同的不可约因式合并,.,于是,f,(,x,),的分解式为,其中,c,是,f,(,x,),的首项系数，,p,1,(,x,) ,p,2,(,x,) , ,p,s,(,x,),是不同的首项系数为,1,的不可约多项式，而,r,1,r,2, ,r,s,是正整数,.,这种分解式称为,标准分解式,.,如果已经有了两个多项式的标准分解式，我们,就可以直接写出两个多项式的最大公因式,.,多项式,f,(,x,),与,g,(,x,),的最大公因式,d,(,x,),就是那些同时在,f,(,x,),与,g,(,x,),的标准分解式中出现的不可约多项式方幂,的乘积，所带的方幂的指数等于它在,f,(,x,),与,g,(,x,),中所带的方幂中的较小的一个,.,由以上讨论可以看出，带余除法是一元多项,式因式分解理论的基础,.,我们知道，整数也有带余,除法，即,对于任意整数,a,b,b, 0 ,都存在唯一的整数,q,r,使,a,=,qb,+,r,其中,0,r, |,b,| .,本节内容已结束,!,若想结束本堂课,请单击返回按钮,.,本节内容已结束,!,若想结束本堂课,请单击返回按钮,.,本节内容已结束,!,若想结束本堂课,请单击返回按钮,.,本节内容已结束,!,若想结束本堂课,请单击返回按钮,.,本节内容已结束,!,若想结束本堂课,请单击返回按钮,.,本节内容已结束,!,若想结束本堂课,请单击返回按钮,.,本节内容已结束,!,若想结束本堂课,请单击返回按钮,.,本节内容已结束,!,若想结束本堂课,请单击返回按钮,.,本节内容已结束,!,若想结束本堂课,请单击返回按钮,.,本节内容已结束,!,若想结束本堂课,请单击返回按钮,.,本节内容已结束,!,若想结束本堂课,请单击返回按钮,.,本节内容已结束,!,若想结束本堂课,请单击返回按钮,.,本节内容已结束,!,若想结束本堂课,请单击返回按钮,.,本节内容已结束,!,若想结束本堂课,请单击返回按钮,.,本节内容已结束,!,若想结束本堂课,请单击返回按钮,.,本节内容已结束,!,若想结束本堂课,请单击返回按钮,.,本节内容已结束,!,若想结束本堂课,请单击返回按钮,.,本节内容已结束,!,若想结束本堂课,请单击返回按钮,.,本节内容已结束,!,若想结束本堂课,请单击返回按钮,.,本节内容已结束,!,若想结束本堂课,请单击返回按钮,.,本节内容已结束,!,若想结束本堂课,请单击返回按钮,.,本节内容已结束,!,若想结束本堂课,请单击返回按钮,.,本节内容已结束,!,若想结束本堂课,请单击返回按钮,.,本节内容已结束,!,若想结束本堂课,请单击返回按钮,.,本节内容已结束,!,若想结束本堂课,请单击返回按钮,.,
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