第1-4节 n阶行列式的定义

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,1,物电学院,计算物理教研室,线性代数,线性代数,Linear Algebra,2,重要性,线性代数是讨论代数学中线性关系经典理论的课程，它具有较强的抽象性与逻辑性，是高等学校工科本科各专业的一门重要的基础理论课，也是硕士研究生入学全国统一考试中必考的数学课程之一。,广泛性,由于线性问题广泛存在于科学技术的各个领域，而某些非线性问题在一定条件下，可以转化为线性问题，因此本课程所介绍的方法广泛地应用于各个学科。尤其在计算机日益普及的今天，该课程的地位与作用更显得重要,。,主要内容,本课程主要讲授行列式、矩阵及其运算、矩阵的初等变换、向量组的线性相关性、矩阵的相似变换、二次型等共六章内容,教学要求,通过教学，使,大家,掌握该课程的基本理论与方法，培养创造性分析、思维和逻辑推理能力,，,培养解决实际问题的能力，并为学习相关课程及进一步扩大数学知识面奠定必要的数学基础。,Summarize,考试方法,期末总评成绩满分,100,分,按如下三部分折算,：,1),平时成绩：,20% (,作业,+,考勤,),总共,10,次作业，每次,4,道计算题。缺交一次扣,4,分，迟交一次扣,2,分；,课堂点名共,10,次，缺席一次扣,4,分，迟到一次扣,2,分,2),期中考试：,20%,3),期末考试：,60%,参考书目,1,、杨荫华， 线性代数， 北京大学出版社，,20042,、陈龙玄，钟立敏 线性代数简明教程， 中国科学技术大学出版社，,19973,、线性代数,同济大学应用数学系 编，高等教育出版社，,20054,、王中良,线性代数解题指导,-,概念、方法与技巧，北京大学出版社，,20055,、线性代数附册学习辅导与习题选解，同济大学应用数学系编，高等教育出版,社，,2004,总目录,第一章 行列式,（,6,课时）,1.,二、三阶行列式的定义,2,全排列及其逆序数,3 n,阶行列式的定义,4,对换,5,行列式的主要性质,6,行列式按行,(,列,),展开,7,克拉默法则,第二章 矩阵及其运算,（,5,课时）,1,矩阵,2,矩阵的运算,3,逆矩阵,4,矩阵的分块,第三章 矩阵的初等变换与线性方程组,（,5,课时）,3.1,矩阵的初等变换,3.2,初等矩阵,3.3,矩阵的秩,3.4,线性方程组的解,第四章 向量组的线性相关性,（,8,课时）,4.1,向量组及其线性组合,4.2.,向量组的线性相关性,4.3,向量组的秩,4.4,线性方程组的解的结构,4.5,向量空间,第五章 相似矩阵及二次型（,8,课时）,5.1,向量的内积、长度及正交性,5.2.,方阵的特征值和特征向量,5.3,相似矩阵,5.4,对称矩阵的对角化,5.5,二次型及其标准形,5.6,用配方法化二次型成标准形,5.7,正定二次型,5,物电学院,计算物理教研室,线性代数,第一章 行列式,目 录, 1,二、三阶行列式, 2,全排列及其逆序数, 3 n,阶行列式的定义, 4,对换, 5,行列式的性质, 6,行列式按行,(,列,),展开, 7,克莱姆法则,第一章 行列式,一、内容提要,行列式是研究线性代数的一个重要工具，近代被广泛运用到理工科各个领域，特别在工程技术和科学研究中，有很多问题需要用到“行列式”这个 数学工具。,本章主要讨论如下几个问题：,1,、行列式的概念及性质；,2,、行列式的计算；,3,、展开法则；,4,、,Cramer,法则求解方程组。,第一章 行列式,物电学院,一、引例,本节从二元方程组的解法入手，介绍二、三阶行列式的概念以及学会用对角线法则求二、三阶行列式,n,阶行列式的概念源于对线性方程组的研究：,例 设有二元线性方程组,第一节,二阶、三阶行列式,利用加减消元法,:,(1)*a,22,-(2)*a,12,和,(1)*a,21,-(2)*a,11,式中的分子和分母都是方程组中四个,系,数分两对相乘再相减而得。,若,则该线性方程组有唯一解，且可用消元法求出,其解可以写成如下形式,：,10,此解的公式不易记,为便于记忆和应用,萨鲁斯,(,Sarrus.P.F,.),创造性地引进行列式的记号,:,定义,:,设,是四个数，称,为二阶行列式。,称为这个二阶行列式的,(,i,j,),元素，,两个下角标,i, j,分别表示所在的行和列的序号，,第一个下标,i,称为,行,标，表明该元素位于第,i,行；,第二个下标,j,称为,列,标，表明该元素位于第,j,列。,主对角线,副对角线,二、二,阶,行列式的计算,对角线法则,若记,对于二元线性方程组,系数行列式,二阶行列式的定义可以用对角线法则来记忆。,分别称式中,红,、,兰,线为主、副对角线。,对上面线性方程组的解，若用行列式记号，令：,物电学院,解可写成,则二元,线性方程组的解为,注意,分母都为原方程组的系数行列式,.,例如，对线性方程组,由于,二元一次方程组的解为,：,类似地，为了得出关于三元线性方程组：,的解法，引入三阶行列式：,定义,定义,:,称,=,上式称为数表所确定的,三阶行列式,.,三、三阶行列式,物电学院,四、三阶行列式的计算,列,标,行标,对角线法则,注意,红线上三元素的乘积冠以正号，,蓝线上三元素的乘积冠以负号,说明,1,对角线法则只适用于二阶与三阶行列式,如果三元线性方程组,系数行列式,附录,:,利用三阶行列式求解三元线性方程组,2.,三阶行列式包括,3!,项,每一项都是位于不同行,不同列的三个元素的乘积,其中三项为正,三项,为负,.,若记,同理求出,D,2, D,3,则三元线性方程组的解为,:,解： 按对角线法则有：,例题,2,计算三阶行列式,例题,3,求解方程,解：方程左端的三阶行列式,22,为了给出,n,阶行列式的定义，以及展开表达式一般形式，先介绍,“全,排列,”,及其,“,逆序数,”,的概念。,1【,排列,】,permutation,把,n,个不同的元素排成一列，叫做这,n,个元素的全排列，或,n,阶排列（简称排列）。,例如,:,自然数,1, 2,的排列共有两种：,12, 21,自然数,1, 2, 3,的排列共有六种：,123,，,132,，,213,，,231,，,312,，,321,推广,: n,个不同元素的排列共有,n!,种。其中, n,阶排列中都有一个从小到大的排列,1,2,3,.n,称为自然顺序排列,(,或标准排列,).,用,P,n,表示,n,个元素所成全排列的个数，则,P,n,n,！,2,全排列及其逆序数,物电学院,线性代数,23,为了方便起见，今后把自然数,1,2,n,视为,n,个不同的元素的代表。用,P,n,表示这,n,个不同的元素中的一个排列,(,P,n,=1,2,n) ,且,时,于是,便是,1,2,n,的一个排列。,2【,逆,序,】,an inverse,order,在一个排列中,如果某两个元素比较,前面的数大于后,面的数,就称这两个数构成一个逆序,;,如在,n,个不同自然数的一个排列中,某个数字的右边有,t,i,个比它小的数字,则说明该数字在此排列中有,t,i,个逆序。,例如,:,有一排列,: 31254,3,12,54,其中,3,后面比,3,小的有,1,2,两个数字,则,3,在该排列中有两个逆序,.,一个排列中所有数字的逆序数之和称为该排列的逆序数。对于排列,把这个排列中各数的反序之和称为这个排列的逆序数,.,记为,【,逆序数,】,：,number of the inverse-orders,25,例如,排列的逆序数记作：,3【,计算排列逆序数的方法,】,方法,1,分别计算出排列中每个元素后面比它小的数码,个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数，,这每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆,序数,.,分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码,个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数，,这每个元素的逆序数之总和即为所求排列的,逆,序数,.,方法,2,例,1,求排列,32514,的,逆,序数,.,解,在排列,32514,中,3,排在首位，逆序数为,0;,2,的前面有,一个大的数,逆序数,1,；,5,是最大的数，其,前,面没有大数,逆序数为,0;,物电学院,线性代数,3 2 5 1 4,于是排列,32514,的,逆,序数为,:,1,的前面有,3,个比,1,大的数,其,逆,序数为,3;,4,的前面有,1,个大数,故,逆,逆序数为,1;,例如,2431,45321,12n,t,(2431) = 4,偶排列,t,(45321) = 9,奇排列,t,(12n) = 0,偶排列,注意,:,1,、标准排列是偶排列,.,4【,排列的奇偶性,】,奇排列,（,odd permutation,）,逆,序数为奇数的排列称为奇排列,;,偶排列,（,even permutation,）,逆,序数为偶数的排列称为偶排列；,例,计算下列排列的逆序数，并讨论它们的奇偶性,.,解,此排列为,偶排列,.,解,当 时为偶排列；,当 时为奇排列,.,物电学院,线性代数,解,当 为偶数时，排列为偶排列，,当 为奇数时，排列为奇排列,.,2,排列具有奇偶性,.,3,计算,排列,逆序数常用的方法有,2,种,.,1,个不同的元素的所有排列种数为,小结,4 n,阶全排列逆序数的范围,:,最小的逆序总数,:,最大的逆序总数,:,一般情形为,:,3 n,阶行列式的定义,列,标,行标,注意,红线上三元素的乘积冠以正号，,蓝线上三元素的乘积冠以负号,注意,对角线法则只适用于二阶与三阶行列式,1,、三阶行列式的结构,从上式可以看出三阶行列式展开式的特点,:1,）三阶行列式展开式中共有,3!=6,项；,2,）各项都有,3,个因子,且是每行每列中各选一个不同的,元的积；,3,）每项都有确定的符号。,把上等式右端展开的每项的三个因子按它们在行列,式中行的顺序排成,:,即每项三个元的行标恰好是按自然顺序排列而列标,排成,p,1,p,2,p,3,构成自然数,123,的一个排列,共有,3!=6,种排列,.,其中偶排列前带正号,奇排列前带负号,.,因此，二、三阶行列式展开式可以改写如下,:,以上结果可以很自然地推广到,n,阶情形,2【,定义,】,n,2,个元素排成,n,行,n,列，称,为,n,阶行列式，其中,是对所有,n,阶排列,取和。,此行列式可简记,或 ， 。,记一阶行列式 ；,3,【,n,阶行列式的等价定义,】,：,4【,说明,】,1,）行列式是一种特定的算式，它是根据求解方程个,数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的,;,2,） 阶行列式是 项的代数和,;,3,）,n,阶行列式的每项都是位于不同行、不同列,n,个元素的乘积,;,正负号由下标排列的逆序数决定,.,4,）一阶行列式 不要与绝对值记号相混淆,;,5【,几个特殊行列式,】,：,例,1,上三角行列式、下三角行列式、对角形行列式的值均为主对角线元素的乘积。,上三角行列式,下三角行列式,对角形行列式,副上（下）三角形行列式、副对角形行列式的绝对值是副对角线元素之乘积：,6【,实例分析,】,：,例,1,计算上,三角行列式,展开式中项的一般形式是,所以不为零的项只有,解,分析 用展开定义求：,例,2,计算下,三角行列式,展开式中项的一般形式是,所以不为零的项只有,解,分析 用展开定义求：,例,3,例,4,证明,对角行列式,证明,第一式是显然的,下面证第二式,.,若记,则依行列式定义,证毕,例,5,计算对角行列式,展开式中项的一般形式是,从而这个项为零，,所以 只能等于,同理可得,解,分析,即行列式中不为零的项为,6,、思考题,1,、分别用两种方法求排列,16352487,的逆序数,.,2,、已知,3,用行列式的定义计算,4,确定,5,阶行列式中乘积项 的符号,.,思考题,1,解答,解,用方法,1,1 6 3 5 2 4 8 7,用方法,2,由前向后求每个数的逆序数,.,思考题,2,解答,解,含 的项有两项,即,对应于,线性代数,解,3,第一章,50,线性代数,【,例,4】,确定,5,阶行列式中乘积项 的符号,.,【,解,】,方法,1,5 + 4 = 9,方法,2,定义,:,在一个排列中，将某两个数的位置对调,（其它数不动）的变动叫做一个对换。,定理,1,一个排列中的任意两个数对换后，排列,改变奇偶性。,推论,n,!,个,n,阶排列在同一个,对,换下,两两配对,由一个变成另一个。,定理,2,在全部,n,阶排列中，奇偶排列各,占一半。, 4,对换,2,4,3,1,2,1,3,4,证明定理,1.1,对一个排列施行一个,对,换改变排列的奇偶性,证明：,设排列为,对,换 与,除 外，其它元素的逆序数不改变,.,当 时，,的逆序数增加,1;,经,对,换后 的,逆,序数不变,经,对,换后,b,的逆序数减少,1,，,a,的逆序数不变,.,因此,对,换相邻两个元素，排列改变奇偶性,.,设排列为,当 时，,现来,对,换 与,物电学院,线性代数,次相邻对换,次相邻对换,次相邻对换,所以一个排列中的任意两个元素对换，排列改变,奇偶性,.,推论,奇排列调成标准排列的对换次数为奇数，,偶排列调成标准排列的对换次数为偶数,.,证明,由定理,1,知对换的次数就是排列奇偶性的,变化次数,而,标准排列是偶排列,(,逆序数为,0),因此,知推论成立,.,可见：,3,个数码共有,3!=3*2=6,个,3,级排列，其中奇偶排,列各占一半,.,对比三阶行列式可知：,观察由,1,，,2,，,3,这三个数组成的,6,个三级排列，,偶排列,123,，,231,，,312,奇排列,132,，,213,，,321,每项都是行列式的不同行不同列的三个元的乘积,三阶行列式是一切这种项的代数和。,3,【,n,阶行列式的等价定义,】,：,