19概率论与数理统计

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,1,概率论与数理统计,(,十九,),开始,2013.05.20,1,2,概率论与数理统计,第五章 部分作业答案,2,3,3,3,4,3.,4,5,3.,又,5,6,4,6,7,4.,7,8,5,8,9,5,.,9,10,12,10,11,12.,11,12,概率论与数理统计,第六章 部分作业答案,12,13,6,13,14,6,2),14,15,6.1),6.2),15,16,7,16,17,7.1),7.2),17,18,8,18,19,8.,19,20,11,20,21,11.1),11.2),21,22,12,22,23,12.,23,24,14,24,25,14.,25,26,设,来自总体,的简单随机样本， 为样本均值， 为样本方差，则,（,a,） （,b,）,（,c,）,（,d,）,补例,-,26,27,概率论与数理统计,第七章 补例,27,28,例、,从一大批产品的,100,个样品中,得一级品,60,个,.,一级品率,p,是,0-1,分布的参数,.,计算得,于是,所求,p,的,置信度为,0.95,的近似,置信区间,为,求,:,这,大批产品的一级品率,p,的,置信度为,0.95,的,置信区间,.,解,:,这里,1-,=0.95,/2,=0.025,，,n=100,u,0. 975,=1.96,例,18-18,.,28,29,例,1,、,有一批糖果,.,现随机取,16,袋,称的重量如下,:,解,:,这里,1-,=0.95,/2=0.025, n-1=15,t,0.975,(15)=2.1315,由给出的数据,计算得,于是总体均值,的,置信度为,0.95,的,置信区间,为,设袋装糖果近似地服从正态分布,试求 总体均值,的,置信度为,0.95,的,置信区间,.,例,18-19.1,.,29,30,例,2,、,有一批糖果,.,现随机取,16,袋,称的重量如下,:,设袋装糖果近似地服从正态分布,.,这里,/2=0.025, 1-,/2,=0.975, n-1=15,2,0.025,(15)=27.488,2,0.975,(15)=6.262,计算得,于是,标准差 ,的,置信度为,0.95,的,置信区间,为,求标准差 ,的,置信度为,0.95,的,置信区间,.,解,:,例,18-19.2,.,30,31,例,3,、,比较两种型号子弹的枪口速度,.,随机地取,A,型,10,发,测得枪口速度平均值为,500,标准差,1.10; B,型,20,发,测得枪口速度平均值为,496,标准差,1.20.,假设两总体可认为近似地服从正态分布,且方差相等,.,这里,1-,=0.95,/2=0.025, n,1,=10, n,2,=20,n,1,+ n,2,- 2=28, t,0.975,(28)=2.0484,S,w,=1.1688,即 置信下限大于,0,实际上认为,1,比,2,大,.,于是,两总体均值差,1,-,2,的,置信度为,0.95,的,置信区间,为,求,两总体均值差的,置信度为,0.95,的,置信区间,.,解,:,可认为两总体相互独立,方差相等但未知,.,例,18-20,.,31,32,例,4,、,比较两种催化剂的得率,.,原催化剂试验,8,次,测得的得率平均值为,91.73,样本方差,3.89;,新催化剂试验,8,次,测得的得率平均值为,93.75,样本方差,4.02;,假设两总体可认为近似地服从正态分布,且方差相等,.,这里,1-,=0.95,/2=0.025, n,1,=8, n,2,=8,n,1,+ n,2,- 2=14, t,0.975,(14)=2.1448,S,w,2,=3.96,即 包含,0,实际上认为得率无显著差别,.,所求的,置信区间,为,求,两总体均值差,1,-,2,的,置信度为,0.95,的,置信区间,.,解,:,可认为两总体相互独立,方差相等但未知,.,例,18-21,.,32,33,例,5,、,比较两台机器工作状况,.,随机地取,A,台产品,18,只,测得样本方差,0.34;,随机地取,B,台产品,13,只,测得样本方差,0.29;,假设两总体相互独立,近似地服从正态分布,N,(,1,1,2,),N,(,2,2,2,),参数均未知,.,这里,1-,=0.90,=0.10, n,1,=18, n,2,=13,s,1,2,=0.34,s,2,2,=0.29,即 包含,1,实际上认为,1,2,2,2,无显著差别,.,于是,所求,置信度为,0.90,的,置信区间,为,求,总体方差比,1,2,/,2,2,置信度为,0.90,的,置信区间,.,解,:,例,18-22,.,33,34,概率论与数理统计,第八章,假设检验,34,35,提出,关于总体的假设,.,根据样本对所提出的假设做出判断,:,是接受,还是拒绝,.,第八章,假设检验,* 8.1.,假设检验问题,35,36,由,假设,推导出,“小概率事件”,;,再由此,“小概率事件”,的发生就可以推断,“假设不成立 ”,。,“,统计推断原理”,36,37,例 ：某人进行射击，设每次射击命中率为,0.02,，独立射击,400,次，求至少击中两次的概率。,PX1=1-PX=0-PX=1,=1-(0.98),400,-400(0.02)(0.98),399,=np=8,PX1=1-PX=0-PX=1,=1-e,-8,-8e,-8,=0.997,1.,一个事件尽管在一次试验中发生的概率很小,但只要试验次数很多,而且试验是独立地进行的,那末这一事件的发生几乎是肯定的。,2.,如果射手在,400,次射击中,击中目标的次数竟不到两次,我们将怀疑“假设”的正确性,即认为该射手射击的命中率达不到,0.02,。,查指数函数表得,0.000335,前例,04-12,37,38,提出,关于总体的假设,:,射击命中率为,0.02,依据,样本,:,400,次射击中,击中目标的次数,X,设定,小概率事件,:,即,PX2=0.003,根据,样本值,对所提出的假设做出,判断,:,接受,或,拒绝,.,如果,竟不到两次,我们将怀疑“假设”的正确性,即认为,该射手射击的命中率达不到,0.02,*,假设检验问题,38,39,其具体作法是,:,1.,根据实际问题提出,原假设,H,0,和,备择假设,H,1,；,2.,给定显著性水平的值,(01),以及样本容量,n,；,3.,确定检验统计量,以及拒绝域的形式；,4.,按 求出,拒绝域；,5.,取样，根据样本观察值做出判断,:,是接受假设,H,0,(,即拒绝假设,H,1,),，还是拒绝假设,H,0,(,即接受假,设,H,1,),。,39,40,机器包装糖果,.,所包袋装糖果重量近似地服从正态分布,.,机器正常时,均值为,0.5,公斤,标准差为,0.015,公斤,.,某日开工后检验包装机工作是否正常,.,现随机取,9,袋,称的重量如下,:,解释,:,认为该日所包袋装糖果重量近似地服从正态分布,.,长期经验表明标准差比较稳定为,0.015,公斤于是认为总体服从,X,N,(,0.015,2,),这里,未知,.,问包装机工作是否正常,?,问题是,根据样本值来判断,:, = 0.5,还是 ,0.5,。,例,19-01,.,40,41,(1),我们提出假设,H,0,：,= ,0,(= 0.5),；,和,H,1,：, ,0,。,这是两个对立的假设。我们要给出一个合理的法则，根据这一法则，利用已知样本做出判断,:,是接受假设,H,0,(,即拒绝假设,H,1,),，还是拒绝假设,H,0,(,即接受假设,H,1,),。,如果做出的判断是拒绝假设,H,0,(,即接受假设,H,1,),则认为包装机工作是不正常的,;,否则,做出判断是接受假设,H,0,(,即拒绝假设,H,1,),，则认为包装机工作是正常的。,41,42,思路,:,所提出的假设涉及总体均值,故想到用样本,均值 来做出判断,.,由于样本均值 反映总体均值,的大小,.,因此当假设为真时,与,的偏差,| -,|,不,应太大,.,若其过分大,我们就怀疑假设的正确性而,拒绝,H,0,.,而当假设为真时,42,43,(3),于是我们适当选择一正数,k,，当观测的样本,均值 满足,就拒绝假设,H,0,.,否则,就接受假设,H,0,衡量 的大小可归结为衡量,的大小。,43,44,(2),犯这种错误是无法排除的。只能希望犯这种,错误的概率控制在一定限度之内，即给出一个较,小的数,(01),使犯这种错误的概率不超过,即使得,由于判断的依据是一个样本，因此当假设为,真时仍可能做出拒绝假设,H,0,的判断。这是一种,错误，犯这种错误的概率记为,44,45,这时就能确定,k,了,.,我们令,而当假设为真时,由正态分布分位点的定义得,(4),于是若满足,则拒绝,H,0,而若,则接受,H,0,.,45,46,(5),于是拒绝假设,H,0,(,即接受假设,H,1,),认为包装,机工作是不正常的。,回到本例,中,取,=0.05, n=9, =,0.015,查表得,k=,u,0.975,=1.96 .,再由样本算得,=0.511,既有,46,47,由一次试验得到的观察值，满足不等式几乎是不可能的。现在竟然出现了，则我们有理由怀疑原来假设的正确性，因而拒绝假设,H,0,。否则，没有理由怀疑原来假设的正确性，只得接受假设,H,0,。,此,检验法符合实际推断原理,的。因为通常,取得较,小，一般为,0.05, 0.01,。,而当假设,H,0,为真时,即,= ,0,时,是一个小概率事件。,47,48,此例中，当样本容量固定时，选定,后，数,k,就可以确定。它是检验上述假设的一个,门槛值,。如果,则称 与,0,的差异是,显著,的，因而拒绝假设,H,0,。,则称 与,0,的差异是,不显著,的，只得接受假设,H,0,。,数,称为,显著性水平,。统计量,若,称为,检验统计量,。,48,49,在显著性水平,下，,检验假设,H,0,：,= ,0,；,H,1,：, ,0,。,上面提出的假设检验问题可以叙述成：,也常说成“在显著性水平,下，针对,H,1,检验,H,0,”,。,H,0,称为,原假设,或,零假设,；,H,1,称为,备择假设,。,检验统计量取某个区域,C,中的值时，我们拒绝原假设,H,0,，则称区域,C,为,拒绝域,，拒绝域的边界点称为,临界点,。,49,50,*,由于判断的依据是一个样本，总有可能做出,错误的判断,:,当假设为不真时也可能做出接受假设,H,0,的判断。,这是一种“,取伪,”的错误，称为,第二类错误,.,犯这种错误的概率记为,当假设为真时仍可能做出拒绝假设,H,0,的判断。,这是一种“,弃真,”的错误，称为,第一类错误,.,犯这种错误的概率记为,50,51,犯这种错误是无法排除的。我们希望犯这两种,错误的概率都很小,.,一般来说,当样本容量固定时,若减少犯一类错误,的概率,则犯另一类错误的概率往往增大,.,若要使犯,两种错误的概率都减小,除非增加样本容量,.,于是,在给定样本容量的情况下,一般来说,我们总,是控制犯第一类错误的概率,使它小于或等于,.,即,使犯第一类错误的概率不超过,.,这种只对犯第一类错误的概率加以控制,而不考虑,犯第二类错误的检验问题,称为,显著性检验,问题,.,51,52,具体作法步骤是,:,1.,根据实际问题,(,一般是关于总体参数值,),提出,原假设,H,0,和,备择假设,H,1,；,2.,给定显著性水平的值,(01),以及样本容量,n,；,3.,确定检验统计量,(,通常是相应参数的点估计,),以及,拒绝域的形式；,4.,按 求出,拒绝域；,5.,取样，根据样本观察值做出判断,:,是接受假设,H,0,(,即拒绝假设,H,1,),，还是拒绝假设,H,0,(,即接受假,设,H,1,),。,52,53,* 8.2.,一个,正态总体,N,(,2,),的假设检验,1.,2,为已知,关于,均值,的检验,(u,检验,),前面已得到关于,= ,0,的在显著性水平,下，,双边,检验假设,H,0,：,= ,0,；,H,1,：, ,0,。,A.,双边,采用统计量,作为检验统计量,当,|z|,过分大时就拒绝,H,0,拒绝域的形式为,53,54,2.,2,为未知,关于,均值,的检验,(t,检验,),采用统计量,总体为,N,(,2,),其中,2,为未知,我们来求检验问题,:,H,0,：,= ,0,；,H,1,：, ,0,。,在显著性水平,下的拒绝域,.,作为检验统计量,当,|t|,过分大时就拒绝,H,0,拒绝域的形式为,54,55,前面已知,当,H,0,为真时,故由,即得,相应的单边检验的拒绝域见表,8.1,。,从而检验问题的,拒绝域为,由,t,统计量得出的检验法称为,t,检验法,。,55,56,某厂生产钢筋，已知钢筋强度服从正态分布，,2,为未知。,其强度标准为,52(kg/mm,2,),，今抽取,6,个样品，测得其强度数据如下,(,单位：,kg/mm,2,),：,48.5 49.0 53.5 49.5 56.0 52.5,。,判断这批产品的强度是否合格,(,=0.05,),？,t,未落在拒绝域中,故接受,H,0,即认为产品的强度与标准强度无显著性差异，就现在样本提供的信息来看，产品是合格的。,在,H,0,成立的条件下,解,:,现在, n=6,t,0.975,(5)=2.571,。,又得,例,19-02,.,56,57,3.,单个正态总体方差的假设检验（ 检验）,设,总体为,N,(,2,) ,、,2,均为未知,要求,检验假设,(,显著性水平为,),：,H,0,：,2,= ,0,2,；,H,1,：,2, ,0,2,。,由于,s,2,是,2,的无偏估计，当,H,0,为真时，,比值在,1,附近摆动，而不应过分大于,1,，,也不应过分小于,1,。我们已知,57,58,我们取,其拒绝域的形式为：,作为检验统计量。,此处,k1,、,k2,的值由下式确定：,或,58,59,可得,拒绝域为,为计算方便取,或,59,60,提出待检假设和备择假设,称此检验法为 检验，其一般步骤如下,或,则否定,H,0,，,选用统计量 ，,在,H,0,成立的条件下，,由给定的检验水平,，查 分布表，得临界值,确定否定域为,由样本值计算 ，并与临界值比较；,结论：若,若 则不能否定。,由 统计量得出的检验法称为,检验法,。,60,某炼铁厂的铁水含碳量,X,服从正态分布。现对操作工艺进行了某种改进，从中抽取,5,炉铁水，测得含碳量数据如下：,4.421 4.052 4.353 4.287 4.683,。,取,=0.05,，,是否可以认为新工艺炼出的铁水含碳量的方差仍为 ？,否定,H,0,，即不能认为方差是,(0.108),2,。,在,H,0,成立的条件下,解,:,现在, n=5,=0.05,，,得临界值,又得,例,19-03,.,61,62,概率论与数理统计,(19),结束,作业,:,习题八的,1, 3, 7, 8,演示,34,！,62,1,63,64,3,64,65,7,65,66,8,66,67,(1),分布的,上,分位点,则称 为该分布的上,分位点,.,如,:,正态分布,、,t,分布,、,2,分布,、,F,分布,、,.,等的,上,分位点,.,请注意：,设,X,为一个随机变量,其分布为,F,对任意,0,1,若,满足条件,67,68,(2),分布的,下,分位点,则称 为该分布的下,分位点,.,如,:,正态分布,、,t,分布,、,2,分布,、,F,分布,、,.,等的,下,分位点,.,请注意：,设,X,为一个随机变量,其分布为,F,对任意,0,1,若,满足条件,68,69,(3),对称分布的,双侧,分位点,则称 为该分布的,双侧,分位点。 如,:,正态分,布,、,t,分布,、,.,等的,双侧,分位点,。请注意：,设,X,为一个随机变量,其分布密度为,对称的,对任意,0,1,若,满足条件,69,70,正态分布,N(0,1),的下、,(,上,),分位点记为,:,t,(n),分布,的下、,(,上,),分位点记为,:,2,(n),分布,的下、,(,上,),分位点记为,:,F,(n,1,n,2,),分布,的下、,(,上,),分位点记为,:,70,71,由对称性得,2,。,对于,n45,的 分布的（上）,分位点由下式近似得到,u,1-,为,标准正态分布,的（,上）,分位点,.,1,。正态,分布的（上）,分位点可查附表,2.,71,72,3,。,为 分布的下,分位点,.,对于,n45,的 分布的（下）,分位点由下式近似,得到,u,为,标准正态分布,的,下,分位点,.,4,。,对于 分布的下,分位点可查附表,5.,表中无有的可由右式得出,:,72,再见,73,99-9-28, , , , , ,！,#,￥,%*,（）,+|“,：？,！,￥,（）,、,。，；。,73,