一概率论基础知识

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,周 圣 武,数理统计,Tel: E-mail:,1,我们身边的概率统计问题,1.,火车站旅客的到达流、出发流,2.,儿童的身高与年龄有关吗？,3.,小麦的产量可以预报吗？,4.,假设在某地征,100,名新兵，应事先向该地调拨多少套军装？,2,5.,两人约定今晚,8:008:30,在某地会面，早到者等候对方,10,分钟，请你估算他们约会成功的可能性有多大？,6.,每天上午,10:00-11:00,进入图书馆的读者数,7.,咱们班有两人在同一天过生日吗？,3,请在上课期间关闭,手机、MP3、MP4、,4,第,1,章 概率论基础知识,1.1,事件及其运算,1.2,概率,1.3,随机变量及其分布函数,1.4,随机变量的函数及其分布,1.5,随机变量的数字特征,1.6,大数定律和中心极限定理,5,1 事件及其运算,在一定条件下，并不总是出现相同结果，但又有一定的统计规律的现象称为,随机现象。,自然界中的现象分为两大类：,将来可以预知，,条件一定、结果一定,将来不可以预知，,条件一定、结果不定,（,1,）确定现象,：,（,2,）不确定现象,：,6,1.,随机试验,随机试验应该广义理解，是对随机现象的一次观察、,一次测量、一次统计等等，简称,试验,，记作,E,。,具有以下三个特点的试验称为,随机试验。,（,可重复性,）,(1),可以在相同情况下重复进行；,(2),每次试验可能出现的试验结果具有多种可能性，,(3),每次试验前不能确定会出现哪种结果；,但能事先知道试验的所有可能结果；,(,随机性,）,(,多样性,）,7,定义,1,将,随机试验,E,的所有可能结果组成的集合，,称为,E,的,样本空间,，记作,。,2.,样本空间,样本空间的元素，即,E,的每个结果，称为,样本点。,E,1,：抛一枚硬币，观察正面,H,、,反面,T,出现的情况。,8,E,2,：,将一枚硬币抛掷三次，观察正面、反面出现的情况。,E,3,：观察一段时间内进入某商场的顾客人数,E,4,：,记录一只灯泡的使用寿命,9,定义2,一般,我们称试验,E,的样本空间,的子集称为,随机事件，,简称,事,件，用,A , B , C , D,等表示。,3.,随机事件,比如：,掷骰子试验，点数是偶数、奇数、大于,3,等都是事件。,事件的表示方法：,语言定性描述,，,用集合描述。,比如：,掷骰子试验中，掷出点数是偶数可表示为：,A=2,，,4,，,6 =,“,点数为偶数”。,10,在试验中,事件,A,中的一个样本点出现,则称,事件,A,发生,。,（,1,）事件的发生,在掷骰子试验中，,如果掷出数字4，则,2,、,3,发生,定义,3,个事件：,11,基本事件,只含有一个样本点的事件，称为,基本事件。,（,2,）特殊事件,为六个基本事件。,例如,：在掷骰子试验中,12,必然事件,不可能事件,在每次试验中一定不发生的事件，称为,不可能事件，,记为,，,即为空集,，,其中不包含任何样本点。,在每次试验中总是发生的事件，称为,必然事件。,例如：,掷一枚骰子,1,次，则,点数,1,为必然事件,点数,6,为不可能事件。,由于样本空间,包含所有的样本点，每次试验中它总是发生的，因此,样本空间,是必然事件。,13,事件的包含与相等,记为,若事件,A,发生,必,导致事件,定义：,B,发生,，,则,称,B,包含,A,。,（,A,的每一个样本点都是,B,的样本点）,或,即,定义,：若,且,则称,A,与,B,相等,记为,A = B,.,4.,事件间的关系及其运算,（,1,）事件间的关系,14,事件的和,定义,事件,例如,称为,A,与,B,的和事件。,当且仅当,A,、,B,中至少有一个发生时，,或,=,B,A,U,15,事件的积,当且仅当事件,A,与事件,B,同时,发生时,或,定义,记为,称为,事件,A,与,B,的积。,发生,且,=,B,A,I,16,推广：,把事件的交、并推广到有限多个和无限多个,可列个事件的并,可列个事件的积,n,个事件至少有一个发生,n,个事件同时发生,17,事件的差,当且仅当“事件,A,发生且事件,B,不发生时，事件,A,B,发生,.,定义,例如,称为,事件,A,与,B,的差事件。,且,事件, ,A,B,=,18,互不相容事件,注,1,：,A,与,B,互不相容,表示,事件,A,与,B,不能,同时,发生。,定义,若,AB,，,则称事件,A,与,B,相容。,注,2,：,基本事件是两两,互不相容,的,(,互斥,),。,若,AB=,，则称,A,与,B,为互不相容。,19,对立事件,则称,A,与,B,为,对,立事件,(,互逆,),。,且,即：事件,A,、,B,有且仅有一个发生。,定义,事件,A, B,满足,记为,若,E,只有两个互不相容的结果，那么这两个结果构成对立事件。,20,(2),事件的运算规律,交换律,结合律,分配律,德,.,摩根律,21,例,1,设,A,B,C,表示三个事件,试表示下列事件,(1),A,发生,B,与,C,不发生,(2),A,与,B,发生,C,不发生,(3),A,，,B,，,C,都发生,(4),A,，,B,，,C,至少有一个发生,(5),A,，,B,，,C,全不发生,(6),A,，,B,，,C,至少有两个发生,22,例,2,从一批,100,件的产品中每次取出一个（取后不放,回），假设,100,件产品中有,5,件是次品,，,用事件,A,k,表示,第,k,次取到次品,试用,表示下列事件。,1.,三次全取到次品。,2.,只有第一次取到次品,3.,三次中至少有一次取到次品,4.,三次中恰有两次取到次品,5.,三次中至多有一次取到次品,或,23,1.,频率的定义,1.2,概率,24,频率的性质：,25,试验者,抛币次数,n,“正面向上”次数,频率,De Morgan,2084,1061,0.518,Bufen,4040,2048,0.5069,Pearson,12000,6019,0.5016,Pearson,24000,12012,0.5005,抛掷钱币试验记录,26,随机事件,A,出现的频率 会稳定地在某个固定的,27,2.,概率,(1),样本空间与事件域,例如在几何概型中就不能把不可度量的子集作为事件。,因此我们可以理解，事件是, 中满足某些条件的子集。为此下面介绍,事件域,的概念。,事件是样本空间, 的一个子集，反之未必成立。,28,则称,F,为事件域，,F,中的元素称为事件，, 称为必然事件。,一般对满足上述条件的集类称为,-,域，,所以事件域是一个,-,域。,定义,1,设, 是样本空间，,F,是由 的一些子,集构成的集类，如果满足下列条件：,29,它具有下列性质：,30,31,(2),概率的定义,定义,2,(,可列可加性,),设 是给定的样本空间，,个事件域， 是定义在,F,上一个实值集,函数,如果它满足条件：,F,是 中的一,则有,（非负性）,（规范性）,则称,P(A),是事件,A,的概率（简称为概率）,.,32,描述一个随机实验的三个基本组成部分：,事件域,F,概率,P,概率空间,33,(3),概率的性质,性质,1,性质,2,（有限可加性）,若,两两互不相容，则,性质,3,如果 ，,则,性质,4,34,性质,5,性质,6,推广：,35,解,例,1,已知,求,A,B,C,中至少有一个发生,的概率。,36,例,2,证明,证,例,3,，求,解,A,B,37,设,是随机试验,E,的样本空间，如果,满足以下两个条件：,（,1,）有限性,试验的样本空间中的元素只有有限个；,（,2,）等可能性,每个基本事件的发生的可能性相同。,例如：,E,1,：抛硬币,观察哪面朝上，=,=H,T,则称随机试验,E,为,等可能概型,或,古典概型,。,E,2,：投一颗骰子，观察出现的点数,3.,等可能概型,=,=1，2，3，4，5，6,38,若事件,A,包含,k,个基本事件，即,其中,(,表示,中的,k,个不同的数,),39,例,1,将两封信随机的投入四个邮筒,求,: 1),前两个邮筒中没有信的概率,2),第一个邮筒中只有一封信的概率,.,解,:,设,A =,“,前两个邮筒中没有信”,B =,“,第一个邮筒中只有一封信”,1),2),例,2,投两枚,骰子，事件,A=“,点数之和为,3,”,，,求,答：,1/18,例,3,投两枚,骰子，点数之和为奇数的概率。,答：,1/2,40,例,4(,生日问题,),设每个人的生日在一年,365,天中的任一,天是等可能的,即均为,那么随机选取,n,(365),人。,(1),他们的生日各不相同的概率为多少？,(2),至少有两个人生日相同的概率为多少？,解,(1),设,A,= “,n,个人的生日各不相同”,(2),设,B,= “,n,个人中至少有两个人生日相同”,41,引例,:,取一副牌,随机的抽取一张,问,:,(1),抽中的是,K,的概率,;,(2),若已知抽中的是红桃,问抽中的是,K,的概率。,解：,A,抽中的是红桃,B,抽中的是,K,(1),(2),上述式子具有普遍性吗,?,在古典概型中,Yes!,4.,条件概率,42,定义,设,A,，,B,为两事件，且,则称,为在事件,A,发生条件下事件,B,发生的,条件概率。,43,例,1,设某种动物由出生算起活到,20,年以上的概率为,0.8,，活到,25,年以上的概率为,0.4.,问现年,20,岁的这种动物，它能活到,25,岁以上的概率是多少？,解,设,A,=,能活,20,年以上,，,B,=,能活,25,年以上,依题意，,P,(,A,),=,0.8,P,(,B,),=,0.4,所求概率为,P,(,B|A,),.,44,由条件概率的定义：,即,若,P,(,B,)0,则,P,(,AB,)=,P,(,B,),P,(,A,|,B,) (2),而,P,(,AB,)=,P,(,BA,),5.,乘法公式,若已知,P,(,B,),P,(,A,|,B,),时,可以反求,P,(,AB,).,将,A,、,B,的位置对调，有,若,P,(,A,)0 ,则,P,(,AB,)=,P,(,A,),P,(,B,|,A,) (3),若,P,(,A,)0,则,P,(,BA,)=,P,(,A,),P,(,B,|,A,),(2),和,(3),式都称为乘法公式,利用它们,可计算两个事件,A,B,同时发生的概率,45,46,乘法公式应用举例,一个罐子中包含,b,个白球,和,r,个红球,.,随机地抽取一个球，观看颜色后放回罐中，并且再加进,c,个与所抽出的球具有相同颜色的球,.,这种手续进行四次，试求第一、二次取到白球且第三、四次取到红球的概率,.,（波里亚罐子模型）,b,个白球,r,个红球,47,于是,W,1,W,2,R,3,R,4,表示事件“,连续取四个球，第一、第二个是白球，第三、四个是红球,.,”,b,个白球,r,个红球,随机取一个球，观看颜色后放回罐中，并且再加进,c,个与所抽出的球具有相同颜色的球,.,解,设,W,i,=,第,i,次取出是白球,i,=1,2,3,4,R,j,=,第,j,次取出是红球,，,j,=1,2,3,4,48,应用乘法公式,当,c, 0,时，由于每次取出球后会增加下一次也取到同色球的概率,.,这是一个,传染病模型,.,每次发现一个传染病患者，都会增加再传染的概率,.,=,P,(,W,1,)P(,W,2,|,W,1,)P(,R,3,|,W,1,W,2,)P(,R,4,|,W,1,W,2,R,3,),P,(,W,1,W,2,R,3,R,4,),49,设一个班,30,名学生采用抓阄的办法分一张音乐会,入场券,问各人获得此票入场券的机会是否均等？,解,设,“第 名学生抓到入场券”,i,=1,2,30,例,2,同理,第,i,个人要抓到此入场券,必须是他前面的,i,-1,个人都没抓到此入场券。,50,51,一批零件共,100,件,其中有,10,件次品,每次从其中任取,一个零件，取后不放回。试求：,2),如果取到一个合格品就不再取下去，求在,3,次,内取到合格品的概率。,1),若依次抽取,3,次,求第,3,次才抽到合格品的概率；,“第 次抽到合格品”,解,设,例,3,1),52,2),设,“三次内取到合格品”，,且互不相容,则,53,有三个箱子,分别编号为,1,2,3.1,号箱装有,1,个红球,4,个白球,2,号箱装有,2,红,3,白球，,3,号箱装有,3,红球。某人从三箱中任取一箱,从中任意摸出一球,求取得红球的概率,.,解,记,A,i,=,球取自,i,号箱,i,=1,2,3;,B,=,取得红球,B,发生总是伴随着,A,1,，,A,2,，,A,3,之一同时发生，,1,2,3,其中,A,1,、,A,2,、,A,3,两两互不相容,看一个例子,:,6.,全概率公式,54,将此例中所用的方法推广到一般的情形，就得到在概率计算中常用的,全概率公式,.,对求和中的每,一项运用乘法,公式得,P,(,B,)=,P,(,A,1,B,)+,P,(,A,2,B,)+,P,(,A,3,B,),代入数据计算得：,P,(,B,)=8/15,运用加法公式得到,即,且,A,1,B,、,A,2,B,、,A,3,B,两两相互独立,55,一个事件发生,.,定义,设,是随机试验,E,的样本空间，,B,1,B,2,B,n,是,E,的一组事件，如果：,为样本空间,的一个划分。,56,定理1,设,为随机试验,E,的样本空间，,B,1,B,2, ,B,n,为,的一个划分，且,P,(,B,i,)0,i,=1,2,n,，,则对样本空间,中的任意事件,A,，有,57,例,1,1,7,红,3,黄,2,5,蓝,5,白,3,8,蓝,2,白,现在三个盒子,先在第一,个盒子中任取一球,若取到红球,则在第二个盒子中任取两球,;,若在第一个盒子中取到黄球，则在第三个盒子中,任取两球,求第二次取到的两球都是蓝球的概率,解,:,设,= “,从第一盒子取红球”,= “,从第一盒子取黄球”，,= “,第二次取两只蓝球”,则,58,该球取自哪号箱的可能性最大,?,这一类问题是“,已知结果求原因,”,.,在实际中更为常见，它所求的是条件概率，是已知某结果发生条件下，探求各原因发生可能性大小,.,某人从任一箱中任意摸出一球，,发现是红球,求该球是取自,1,号箱的概率,.,1,2,3,1,红,4,白,或者问,:,7.,贝叶斯公式,看一个例子,:,59,某人从任一箱中任意摸出一球，,发现是红球，求该球是取自,1,号箱的概率,.,记,A,i,=,球取自,i,号箱,i,=1,2,3;,B,=,取得红球,求,P,(,A,1,|,B,),运用全概率公式,计算,P,(,B,),将这里得到的公式一般化，就得到,贝叶斯公式,1,2,3,1,红,4,白,?,60,定理,2,（贝叶斯公式）,设,为随机试验,E,的样本空间,A,为,E,的任意一个事件,为,的一个划分, 且,则,1763,年由贝叶斯,(Bayes),给出,61,例,2,在电报通讯中发出,0,和,1,的概率为,0.6,和,0.4,由于存在干扰,发出,0,时,分别以概率,0.7,和,0.1,接收到,0,和,1,以,0.2,的概率收到模糊信号“,x,”,发出,1,时,以概率,0.85,和,0.05,收到,1,和,0,，以概率,0.1,收到模糊信号“,x,”,试求,: 1),收到模糊信号 “,x,”,的概率；,2),收到模糊信号 “,x,”,时,译成哪个信号最好？,解,:,设,= “,发出信号 ”,= “,收到信号 ”,1),2),62,8.,事件的相互独立性,（,1,）,两个事件的独立性,（,2,）,多个事件的独立性,63,显然,P,(,A,|,B,)=,P,(,A,),这就是说,不论,事件,B,是否发生,都不影响事件,A,发生的概率,这时称事件,A,与,B,相互独立,.,（,1,）两事件的独立性,A,=,第二次掷出,6,点,，,B,=,第一次掷出,6,点,，,先看一个例子：,将一颗均匀骰子连掷两次，,设,64,若两事件,A,、,B,满足,P,(,AB,)=,P,(,A,),P,(,B,),则称,A,与,B,相互独立,，简称,A,与,B,独立,.,定理,1,事件,A,与,B,相互独立,定义,1,65,例,1,从一副不含大小王的扑克牌中任取一张，记,A,=,抽到,K,B,=,抽到的牌是黑色的,由于,P,(,A,)=4/52=1/13,问事件,A,与,B,是否相互独立？,解,P(,AB,)=2/52=1/26.,P,(,B,)=26/52=1/2,=,P,(,AB,)=,P,(,A,),P,(,B,),因此 事件,A,与,B,相互独立。,66,=,P,(,A,)1,P,(,B,),=,P,(,A,),P,(,AB,),P,(,A,)=,P,(,A,A,B,),A,与,B,相互独立,=,P,(,A,),P,(,A,),P,(B),仅证,A,与 独立,定理,2,若两事件,A,、,B,独立,则,证明,=,P,(,A,),P,( ),故,A,与 独立,相互独立；,相互独立；,相互独立。,67,例：,设,且,试证,证,68,（,2,）多个事件的独立性,定义,2,注：,69,70,对于三个事件,A,、,B,、,C,，若,P,(,AB,)=,P,(,A,),P,(,B,),P,(,AC,)=,P,(,A,),P,(,C,),P,(,BC,)=,P,(,B,),P,(,C,),P,(,ABC,)=,P,(,A,),P,(,B,),P,(,C,),四个等式同时成立,则称,事件,A,、,B,、,C,相互独立,.,定义,3,71,n,个事件相互独立,包含等式个数：,定义,4,72,定理,2,设 是,n,个事件,（,1,）若 相互独立，则其中任意,k,个事件,也相互独立。,（,2,）若 相互独立，则其中任意,k,个事件,的对立事件与其它的事件组成的,n,个事件也相互独立。,73,例,1,三人独立地去破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为,1/5,，,1/3,，,1/4,，问三人中至少有一人能将密码译出的概率是多少？,解,将三人编号为,1,，,2,，,3,，记,所求为,已知,P,(,A,1,)=1/5 ,P,(,A,2,)=1/3 ,P,(,A,3,)=1/4,A,i,=,第,i,个人破译出密码,，,i,=1 , 2 , 3,74,1,2,=1,1,P,(,A,1,)1,P,(,A,2,)1,P,(,A,3,),3,75,例,2,某电路如图所示,已知,正常工作的概率为,假定,能否正常工作是相互独立的,试求,:,1),整个电路正常工作的概率,解,:,设,表示 正常工作,2),若整个电路正常工作,求 正常工作的概率,D,= “,电路正常工作”,则相互独立,76,1.,甲、乙、丙三人同时射击一架飞机，他们击中的概率依次为,0.4，0.5，0.7。飞机被一人击中而被击落的概率为0.2，飞机被两人击中而被击落的概率为0.6，若三人都击中，则飞机必被击落。求飞机被击落的概率。,思考题,77,2.,轰炸机要完成任务，必须是驾驶员找到目标，同时投弹员投中了目标。设驾驶员甲和乙找到目标的概率分别为,0.9,和,0.8,；投弹员丙和丁在驾驶员找到目标的情况下，投中目标的概率分别为,0.7,和,0.6,。现在要装备两架轰炸机，问甲、乙、丙、丁应如何两两配合，才能使完成任务的概率最大？,答案：当甲丙，乙丁配合时，完成任务的概率最大,3.,设两个相互独立的事件,A,和,B,都不发生的概率为,1/9,，,A,发生,B,不发生的概率与,B,发生,A,不发生的概率相等，求,P,(,A,),。,答案：,2/3,78,Thank you,79,