高等代数1-数域

单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,*,一、数域的概念,二、数域性质定理,数域,1,一、数域,设,P,是由一些复数组成的集合，其中包括,数不为0）仍是,P,中的数，则称,P,为一个,数域,0与1，如果,P,中任意两个数的和、差、积、商（除,常见数域,： 复数域C；实数域R；有理数域Q；,（,注意：自然数集,N,及整数集,Z,都不是数域,）,定义,2,说明：,1）若数集,P中任意两个数作某一运算的结果仍在P,中，则说数集,P,对这个运算是,封闭,的,2）数域的等价定义：如果一个包含,0,，,1,在内的数,集P,对于加法，减法，乘法与除法（除数不为0）,是封闭的，则称集P为一个数域,3,是一个数域,例1证明：数集,证：,又对,设,则有,设,于是,也不为0,4,或,矛盾）,（否则，若,则,于是有,为数域,是数域.,类似可证,Gauss数域,5,例,2,设,P,是至少含两个数的数集，若,P中任,意两个,数,的差与商（除数,0,）仍属于,P，则P为一个数域。,有,证：由题设任取,所以，,P,是一个数域,时,时,6,二、数域的性质定理,任意数域P都包括有理数域Q,即，有理数域为最小数域,证明： 设,P,为任意一个数域由定义可知，,于是有,7,进而 有,而任意一个有理数可表成两个整数的商，,8,练习,判断数集 是否为数域？为什么?,9,