10 第六节曲面与曲线

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第六节 曲面,一、,柱面和旋转曲面,二、空间曲线及其方程,三、空间曲线在坐标面上的投影,四、,空间区域在坐标面上的投影区域,1,曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹,曲面方程的定义：,如果曲面,S,与三元方程,F,(,x,y,z,) = 0,满足：,(1),曲面,S,上任一点的坐标都满足方程；,(2),不在曲面,S,上的点的坐标都不满足方程；,则称方程,F,(,x,y,z,)= 0,为曲面,S,的方程,而曲面,S,就叫做方程,F,(,x,y,z,)=0,的图形,2,研究空间曲面有两个基本问题,(2),已知坐标间的关系式,研究曲面形状,(1),已知曲面作为点的轨迹时,求曲面方程,(,由几何特征确定曲面方程,),(,由曲面方程研究几何特征,),例,1,求以点,M,0,(,x,0,y,0,z,0,),为球心,半径为,R,的球面方程,.,例,2,方程,x,2,+,y,2,+,z,2,2,x,+4,y,=0,表示怎样的曲面,.,解,配方得,此方程表示,:,以点,M,0,(1,2,0),为球心,半径为,的球面,.,3,一、柱面与旋转曲面,1,、柱面,(cylinder),例,x,2,+,y,2,=,R,2,在,空间,表示怎样的曲面,.,点,M,(,x,y,z,),的坐标也满足方程,x,2,+,y,2,=,R,2,解,在,xoy,面上,x,2,+,y,2,=,R,2,表示圆,C,沿曲线,C,平行于,z,轴的一切直线所形成的曲面上所有点的坐标都满足此方程,此曲面称为,圆柱面,.,对任意,z,过此点作,平行,z,轴的直线,l ,故在空间中,x,2,+,y,2,=,R,2,表示,圆柱面,.,在圆,C,上任取一点,M,1,(,x,y,0),4,定义,平行定直线并沿定曲线,C,移动的直线,l,形成的轨迹叫做,柱面,.,曲线,C,叫做,准线,直线,l,叫做,母线,.,一般地,不完全三元方程,(,x,y,z,不同时出现,),在,空间直角坐标系中表示柱面,方程,F,(,x,y,)=0,表示母线平行于,z,轴的柱面,.,准线为,xoy,面上的曲线,F,(,x,y,)=0.,方程,(,y,z,)=0,表示母线平行于,x,轴的柱面,.,准线为,yoz,面上的曲线,(,y,z,)=0,.,方程,(,z,x,)=0,表示母线平行于,y,轴的柱面,.,准线为,xoz,面上的曲线,(,z,x,)=0.,5,表示母线平行于,z,轴的,抛物柱面,.,准线为抛物线,表示母线平行于,y,轴的,椭圆柱面,.,准线为椭圆,表示母线平行于,x,轴的,双曲柱面,.,准线为双曲线,6,例,指出下列方程在平面解析几何中和空间解析几何中分别表示什么图形？,平面解析几何中,空间解析几何中,过点,(2,0),且平行于,y,轴的直线,.,方程,过点,(2,0,0),且平行于,yoz,面的平面,.,圆心在点,O,(0,0),半径为,2,的圆,过点,(0,1),且斜率为,1,的直线,过点,(0,1,0),且平行于,z,轴的平面,.,7,2,、旋转曲面,(surface of revolution),定义,平面上的曲线,C,绕其平面上一条,定,直线,l,旋转一周所形成的曲面叫做,旋转曲面,.,曲线,C,称为旋转曲面的母线,定直线,l,称为,旋转轴,.,8,点,M,到,z,轴的距离,得方程,yoz,坐标面上的已知曲线,f,(,y,z,)=0,绕,z,轴旋转一周的,旋转曲面方程,.,9,曲线,绕,z,轴旋转而成的旋转曲面方程为,绕,y,轴旋转而成的曲面方程为,例,1,绕,y,轴旋转而成的旋转曲面方程为,绕,z,轴旋转而成的旋转曲面方程为,旋转椭球面,10,绕,y,轴旋转而成的旋转曲面方程为,绕,x,轴旋转而成的曲面方程,绕,z,轴旋转而成的旋转曲面方程为,绕,x,轴旋转而成的曲面方程,11,例,2,绕,x,轴旋转而成的旋转曲面方程为,双叶旋转双曲面,绕,z,轴旋转而成的旋转曲面方程为,单叶旋转双曲面,12,旋转抛物面,13,例,4,下列曲面方程是否表示旋转曲面,?,若是,是如何形成的,?,解,1.,是旋转曲面,.,或：,2.,不是旋转曲面,.,14,试建立顶点在坐标原点,旋转轴为,z,轴,半顶角为,的圆锥面方程,.,解,绕,z,轴旋转时,圆锥面的方程为,15,空间曲线的一般方程,空间曲线,可看作空间两曲面的交线,.,三、空间曲线及其方程,1,、空间曲线的一般方程,例如,方程组,表示圆柱面,x,2,+,y,2,=1,与平面,2,x,+3,y,+ 3,z,=6,的交线,.,交线为椭圆,.,16,例,1,方程组 表示怎样的曲线？,解,与圆柱面,的交线,.,表示上半球面,17,空间曲线的参数方程,2,、空间曲线的参数方程,当给定,t,=,t,1,时,就得到曲线上的一个点,(,x,1,y,1,z,1,),随着参数,t,的变化可得到曲线上的全部点,.,18,例,2,如果空间一点,M,在圆柱面,x,2,+,y,2,=,a,2,上以角速度,绕,z,轴旋转,同时又以线速度,v,沿平行于,z,轴的正方向上升,(,其中,、,v,都是常数,),那么点,M,构成的图形叫做螺旋线,.,试建立其参数方程,.,解,动点从,A,点出发,经过,t,时间,运动到,M,点,取时间,t,为参数,点,M,在,xoy,面的投影点,N,(,x,y,0),螺旋线的参数方程,19,螺旋线的参数方程还可以写为,螺旋线的重要,性质,：,上升的高度与转过的角度成正比,即,上升的高度,螺距,20,如何将曲线,的一般方程：,(*),化为参数方程？,(1),先从一般方程,(,*,),中消去某个变量,比如,z,得方程,H,(,x,y,)=0,写出其参数方程,x,=,x,(,t,),y,=,y,(,t,).,再把,x,=,x,(,t,),y,=,y,(,t,),代入,(,*,),中的某个方程解出,z,=,z,(,t,),最后在确定,t,的变化区间,就得到了曲线的参数方程,.,例,3,把曲线 用参数方程表示,.,21,(2),在一些特殊情形, (,*,),中的某个方程是不完全三元方程,(,即方程中缺了一个未知量,),则可先将这个方程化为参数方程,再将所得结果代入,(,*,),中的另一个方程,即可求得曲线的参数方程,.,例,4,将曲线 化为参数方程,.,22,消去变量,z,后得：,曲线,对,xOy,面,的,投影柱面,设空间曲线,的一般方程为：,投影柱面的,特征,：,以此空间曲线为准线,垂直于所投影的坐标面,.,四、空间曲线在坐标面上的投影,以空间曲线,为准线,母线垂直于,xOy,面的柱面叫做,曲线对,xOy,面,的,投影柱面,空间曲线,在,xOy,面上的,投影曲线,23,曲线,在,yoz,面上的,投影柱面,和,投影曲线,：,曲线,在,zox,面上的,投影柱面,和,投影曲线,：,类似地：可定义空间曲线,：,在其他坐标面上的投影柱面和投影曲线,.,24,例,1,求曲线 在,xoy,面的投影柱面,及投影曲线方程,.,例,2,求曲线,在,xoy,面及,yoz,面的投影曲线方程,.,25,例,3,把曲线方程 转换为母线平,行于坐标轴的柱面的交线方程,26,四、空间区域在坐标面上的投影区域,例,1,解,二者交线为,27,当立体边界曲面的点与在某坐标面上的投影区域内的点一一对应,(,即不同点在该坐标面的投影点不同,),时,求该立体在此坐标面投影区域的一般方法：,(1),求边界曲面的交线在此坐标面的投影曲线,(2),投影曲线在此坐标面所围成的,闭区域,(,用不等式表示,).,28,例,2,分别求由上半球面 与圆柱面 及平面,z,=0,所围成的立体,在,xoy,平面和,在,zox,平面上,的投影区域,.,在,xoy,平面：,在,zox,平面：,29,六、小结,1,、曲面方程的概念,(2),旋转曲面,.,(1),柱面,(,母线、准线,).,2,、空间曲线的一般方程、参数方程,3,、空间曲线在三个坐标面的投影柱面和投影直线,30,