CHAP4 随机变量的数字特征

单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,CHAP4,随机变量的数字特征,1,4.1,数学期望,定义,4.1,设离散型随机变量的分布律为,若,则称,的和为随机变量的,数学期望,简称,期望,或,均值,，记为,即,4.1.1,离散型随机变量的数学期望,例,设,X,服从参数为,p,的,（,0-1,）,分布，,E,(,X,),.,解,X,的分布律为,因此,例,X,b,(,n, p,),求,E,(,X,),解,：,X,的分布律为,令,l=k,-1,例,求,E(,X,),其中,解,X,的分布律为,解,例,4.1.2,连续型随机变量的数学期望,定义,4.2,设连续型随机变量,X,的密度函数为,f,(,x,),若,则称积分,的值为随机变量,的,数学期望,，,即,记为,注意 不是所有的随机变量都有数学期望,例如：柯西,(Cauchy),分布的密度函数为,但,发散,它的数学期望不存在,!,Augustin-Louis Cauchy,1789 - 1857,例,设,X,U(a, b),求,E,(,X,),解,X,的密度函数为,即数学期望位于区间,(,a, b,),的中点,例,求随机变量,X,的分布，其中,解,X,的密度函数为,4.1.3,随机变量函数的数学期望,例,某项任务完成所需时间,X,（单位：天）服从正态分布,N(100,25),奖金办法规定：该项任务若在,100,天完成，则得奖金,10000,元；若在,100,天至,115,天内完成，则得奖金,1000,元；若完成时间超过,115,天，则罚款,5000,元，试求完成该项任务获得的平均奖金数,解,设,Y,为完成该项任务所获奖金数，由题意知，,Y,是,X,的函数，即,，得,故,Y,的分布律为,Y,-5000 1000 10000,概率,0.0013 0.4987 0.5,E(,Y,),5492.2,元,定理,4.1,设,Y,是随机变量,X,的函数：,Y,g,(,X,),（,g,是连续函数）,（,1,）,X,是离散型随机变量，它的分布律为,则有,（,2,）,X,是连续型随机变量，它的密度函数为,f,(,x,),则有,推论,4.1,设,Z,是随机变量,X,Y,的函数,Z=g,(,X, Y,),（,g,是连续函数），那么，,Z,是一个一维随机变量,（,1,）若二维离散型随机变量,(,X,Y,),的分布律为,，则有,（,2,）若二维连续型随机变量,(,X,Y,),的密度函数为,f,(,x ,y,),且,例,设随机变量,X,U (a, b),，,，求,E,(,Y,) .,解,X,的密度函数为,例,设,，求,注意到,，,解,例,例,设二维随机变量,(,X,Y,),的密度函数为,求,a,，,E(X),，,E(Y),，和,E(XY),得,a,1,从而,(,X,Y,),的密度函数为,例,设,(X,Y),服从,0,a0,a,上的均匀分布,求,E|X-Y|.,a,a,y=x,X,Y,0,x-y0,x-y0,S,1,S,2,解,4.1.4,数学期望的几个重要性质,（,3,）设,X,，,Y,是两个随机变量，则有,E,(,X+Y,),=E,(,X,),+E,(,Y,),（,1,）设,C,是常数，则有,E,(,C,),=C,（,2,）设,X,是一个随机变量，,C,是常数，则有,E,(,CX,),=CE,(,X,),（,4,）设,X,，,Y,是两个相互,独立,的随机变量，则有,E,(,XY,),=E,(,X,),E,(,Y,),注意,若,E,(,X Y,) =,E,(,X,),E,(,Y,),，,X ,Y,不一定独立,X,Y,p,ij,-1 0 1,-1,0,1,0,p, j,p,i,X Y,P,-1 0 1,但是,解,例,4.2,方 差,4.2.1,方差与标准差,定义,4.3,设,X,是一随机变量，若,存在，则称,为,X,的,方差,，,记为,D(X),或,Var(X),，即,是与随机变量,X,具有相同量纲的量，称,为,X,的,标准差,或,均方差,，记为,随机变量,X,的方差表达了,X,的取值与其数学期望的偏离程度它是衡量,X,取值分散程度的一个尺度,对于离散型,随机变量,X,，若其分布律为,则,对于连续型随机变量,X,，若其密度函数为,f,(,x,),则,定理,4.2,若随机变量,X,的方差存在，则有,证明,例,设随机变量,X,具有数学期望,解,称为,的,标准化变量,例,设随机变量,X,(1,p),，其分布律为,解,例,设,解,例,设,解,X,的密度函数为,4.2.2,方差的性质,（,1,）设,C,是常数，则,D,(,C,),=,0,（,3,）,设,X,，,Y,是两个随机变量，则有,特别，若,X,，,Y,相互独立，则有,（,2,）设,X,是随机变量，,C,是常数，则有,（,4,）,D,(,X,),=,0,的充要条件是,X,以概率,1,取常数,C,，即,显然，这里,C=E,(,X,),分布,参数,数学期望,方差,两点分布,二项分布,泊松分布,均匀分布,指数分布,正态分布,4.3,协方差和相关系数,4.3.1,协方差与相关系数的概念与性质,定义,4.4,若,E,X-E(X)Y-E(Y),存在，则称其为随机变量,X,与,Y,的,协方差,，记为,Cov,(,X, Y,),即,Cov(,X, Y,),E,X-E(X),Y-E(Y),定理,4.3,对于任意两个随机变量,X,与,Y,， 假设,Cov(,X, Y,),，,D,(,X,), D,(,Y,),都存在，则下列各式成立,定义,4.5,称为随机变量,X,和,Y,的相关系数。,相关系数是一个无量纲的量。,定理,4.4,设随机变量,X,和,Y,的相关系数,存在，则,4.3.,2,相互独立与不相关的关系,定理,4.5,设随机变量,X,与,Y,的相关系数存在，若,X,与,Y,相互独立，则,X,与,Y,一定不相关。,定义,4.6,若随机变量,X,与,Y,的相关系数,则称,X,和,Y,不相关。,(1),不相关与相互独立的关系,注意,相互独立,(2),不相关的充要条件,不相关,既不独立也不相关的例子,但,结论,