电路分析的一般方法

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,现代电路与系统,*,第一章,上页,下页,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第一章电路分析的一般方法,课程介绍,本课程主要内容：,网络图论及电路的矩阵方程,网络的状态方程，非线性直流电路矩阵分析，建立电路系统方程的一般方法,非正弦周期电路的稳态分析法，线性定常电路的频域分析法，对称三相非正弦周期函数的频谱,动态电路的复频域分析（拉普拉斯变换法）,网络分析的状态空间分析,现代数字系统设计概述,数字系统的建模和结构,数字系统的算法描述,基于,CPLD,与,FPGA,的数字系统设计,课程介绍,预期目标,了解电路与系统的前沿研究方向，进一步掌握电路与系统的基本概念、基本理论，重点掌握电路与系统的网络分析、矩阵分析方法及现代电路与系统的主要分析与设计理论与方法。,重点与难点,本课程的重点是电路与系统的网络分析、矩阵分析、状态空间分析和随机系统分析。难点是基于,CPLD,与,FPGA,的数字系统设计。,教材：,自编讲义,课程介绍,教材,自编讲义,参考书,现代电路分析（第二版）,杜普选等编著，清华大学出版社；,2004,年,基于,FPGA,的嵌入式系统设计,徐帆等，机械工业出版社，,2005,年,现代数字系统设计,侯伯亨,.,西安电子科技大学出版社；,2006,年,EDA,技术与,VHDL,潘松,.,清华大学出版社；,2007,年,课程介绍,课程介绍,课程目录,第一章 电路分析的一般方法,第二章 非正弦周期电流电路的稳态分析,第三章 动态电路复频域分析,拉普拉斯变换法,第四章 双口网络,第五章 网络分析的状态变量分析法,第六章 均匀传输线的正弦稳态分析,第七章 无损耗线的暂态分析,第八章 现代数字系统设计概述,第九章 基于,CPLD,与,FPGA,的数字系统设计,本章介绍利用图论工具分析电路的方法,。,利用图论可以方便地列写独立的基尔霍夫定律方程，并将电路方程表达成矩阵形式。,电路分析的一般方法,本章目录,1.1,网络的图树,1.2,基本回路和基本割集,1.3,关联矩阵,1.4,基本回路矩阵,1.5,基本割集矩阵,1.6,广义支路及其方程的矩阵形式,1.7,用矩阵运算建立节点电压方程,电路分析的一般方法,电路分析的一般方法,图论,是数学领域中一个十分重要的分支，本课程所涉及的只是图论在,电网络,中的应用，称,网络图论,。网络图论也称,网络拓扑,。,为在计算机上,列出一个复杂网络的方程,，必须用到,网络图论,和,线性代数,的一些概念。,网络图论,已成为,电网络,计算机辅助分析中,重要基础知识,和,不可缺少的工具,。,本节的基本要求：,掌握网络的,图,、,子图,、,连通图,、,割集,和,树,的概念。,1.1,网络的图 树,基尔霍夫定律是集中参数电路的基本定律，它说明电路中各部分电流和电压之间的约束关系，因为它只与电路的几何结构有关，我们用拓扑学中的一个重要分支,图论来研究。,因此,结构约束又叫拓扑约束,。,1.1,网络的图 树,电路课程学习了几种有效的电路分析方法，,回路电流法,节点电压法,当电路结构简单时，可由人工用观察法列出电路方程。,当电路结构日趋复杂时，为了便于计算机辅助电路分析，有必要研究建立电路方程的方法；为了便于计算机求解方程，电路方程应使用矩阵形式表示。,本章介绍：,电路方程的矩阵形式极其系统建立法，它是,电路的计算机辅助设计和分析,所需的基本知识。,1.1,网络的图 树,图,( graph) :,由“点” 和“线”组成。,“点”也称为节点或,顶点,(vertex),，“,线”也称为,支路,或,边,(edge),。,图通常用符号,G,来表示。,1.1.1,网络的图,图,(a),电路只含二端元件，对应的图如图,(b),所示。,电桥电路及其图,1,2,3,4,5,6,1,2,3,4,5,6,(a),(b),1.1,网络的图 树,连通图：,图中任何两个节点之间至少存在一条路径，则称为,连通图,；否则称为,非连通图,。,含互感电路及其图,*,*,1,3,4,5,6,7,2,1,2,3,4,5,6,7,(a),(b),M,1.1,网络的图 树,子图： 图的一部分称为,子图,。一个孤立的节点也是一个子图。,两个子图示例,1,2,3,4,5,6,2,3,4,6,6,(a),(b),4,1.1,网络的图 树,有向图：,图中的所有支路都指定了方向，则称为有向图；反之为无向图,回 路：,从图中某一节点出发，经过若干支路和节点,(,均只许经过一次,),又回到出发节点所形成的闭合路径称为回路。,1,2,3,4,5,6,1.1,网络的图 树,割 集：,连通图的割集是一组支路集合，并且满足：,(1),如果移去包含在此集合中的全部支路,(,但所有节点予以保留,),，则留下的图形变成两个彼此分离而又各自连通的子图（这种子图也可以是一个孤立节点）。,(2),如果留下该集合中的任一支路，则剩下的图形仍是连通的。,条件表明，割集是满足条件的为数最少的支路集合。,1,2,3,4,5,6,1.1,网络的图 树,1.1,网络的图 树,割集定义中的要点,移去割集后的图不连通；,该不连通图具有两个分离部分（而不是多个）；,割集是一个最小支路集合（少移去其中任意支路的图仍连通）。,割集与非割集示例,(a),、,(b),为割集。,(c),为非割集：移去后没变成两个分离部分。,(d),为非割集：留下,6,后，剩下的图是非连通图。,1,2,3,4,5,1,4,6,2,3,3,4,5,6,(a),(b),(c),(d),1.1,网络的图 树,线图,象电路图一样可分成,平面图,和,非平面图,。,平面图,能够画在一个平面上，并且除端点外所有支路都没有交叉的图。否则叫,非平面图,。,平面图,的,节点,和,支路,构成一个,凸多面体,的,顶点,和,棱,。如果把其中任意一个面“扩大”，可把其它的面都包在里面而,摊成,平面。,也可以把某些支路拉伸到外侧而摊成平面。如：,1.1,网络的图 树,将下图中的,2,、,3,支路拉伸到外侧，则各支路都不交叉，因而也是,平面图,。,1.1,网络的图 树,再如下面的图，无论把支路伸缩还是把支路拉伸到外侧，要想把该图画在平面上，而各支路都不交叉是不可能的，因而是,非平面图,。,1.1,网络的图 树,树,(tree),：,连通图的树是一个包含全部节点而不形成回路的连通子图。,1.1.2,树,同一个电路线图可构成不同的树。,1,2,3,4,5,6,1,2,3,4,5,6,(a),(b),1.1,网络的图 树,一个电路线图可构成多少种树呢？,一个具有,n,个节点的网络，如果每对节点之间都有一条支路相连，则它的图形共有,n,n,-2,种树。,如上面的线图，共有四个节点，因此应有,16,种树。,1,2,3,4,5,6,1,2,3,4,5,6,(a),(b),1.1,网络的图 树,如图所示：,1.1,网络的图 树,选定一种树后，线图的支路就分成了二种：,树支,：属于树的支路。,连支,：不属于树的支路。,从上面的,16,种树中我们可以看出，它们的树支数目是相同的，即有,3,条树支。该线图有四个节点，也就是,树支的数目比节点数少,1,。,实际上这是一个普遍规律，是由树的构造方法决定的。,对于有,n,个节点、,b,条支路的图，,树支的数目为：,b,t,=,n,-1,连支的数目为：,b,l,=,b-b,t,=b-n,+1,1.1,网络的图 树,本节的基本要求,掌握基本回路和基本割集的定义；,理解基本回路,KVL,的独立性,理解基本割集,KCL,的独立性,理解树支电压的独立性和连支电流的独立性。,1.2,基本回路和基本割集,一个电路作出其线图，并取定一树，树上没有回路。如果在树上加一条连支，便形成一个回路。该回路是由添上的连支和若干树支组成的。而且添一连支与某些树支只能形成一个回路，且只能形成一个回路，若形成二个回路，则去掉该连支后，其它树支仍能形成回路，这就不是树了。,1.2.1,基本回路,因此，图上一条连支和若干树支形成一个而且只能形成一个回路，这种单连支形成的回路叫,单连支回路,，又叫,基本回路,。,基本回路的数目等于连支数，即,b,l,=b-n,+1,。,1.2,基本回路和基本割集,图中树支,1,、,2,、,3,用实线表示；连支,4,、,5,、,6,用虚线表示。,添上连支,4,，则连支,4,与树支,2,、,3,组成一基本回路；,添上连支,5,，则连支,5,与树支,1,、,2,、,3,组成一基本回路；,添上连支,6,，则连支,6,与树支,1,、,2,组成一基本回路。,1,2,3,4,5,1,4,6,2,3,(a),(b),(c),3,5,6,2,5,6,1,4,1,l,2,l,3,l,1.2,基本回路和基本割集,基本回路的性质：,(a),(b),(c),图中,3,个基本回路的,KVL,方程为,注意：,连支的方向就是基本回路的方向。,1,2,3,4,5,1,4,6,2,3,(a),(b),(c),3,5,6,2,5,6,1,4,1,l,2,l,3,l,1.2,基本回路和基本割集,再增加一个由支路,1,、,4,、,5,构成的回路,:,结论：,基本回路上列写的基氏电压方程是一组独立方程。独立方程的数目等于连支数。,(a),(b),(c),不再独立,1,2,3,4,5,6,由（,a,）与,(b),相减得到,1.2,基本回路和基本割集,(a),(b),(c),(a,),(b,),(c,),结论：,在全部支路电压中，树支电压是一组独立变量,。,上述三个基本回路方程可改写为：,这说明、连支电压可由树支电压线性组合得到。 、树支电压不能由其它树支电压得到。,1.2,基本回路和基本割集,1.2.2,基本割集,基本割集（单树支割集）：,C,1,、,C,2,、,C,3,。,一个图可存在不同的割集，,只包含一个树支，而其余均为连支的割集叫,基本割集,，也称,单树支割集,。,基尔霍夫电流定律可用于割集：割集电流代数和为零。,基本割集数等于树支数：,1,2,3,4,5,6,1,2,3,4,5,6,2,c,1,2,3,4,5,6,(a),(b),(c),3,c,1,c,1.2,基本回路和基本割集,基本割集的性质,(a),(b),(c),以,树支的电流方向作参考,，写出基本割集的电流方程如下：,1,2,3,4,5,6,1,2,3,4,5,6,2,c,1,2,3,4,5,6,(a),(b),(c),3,c,1,c,1.2,基本回路和基本割集,由,1,、,2,、,4,构成的割集,（由,(b)-(a),得到）,不再独立,(a),(b),(c),结论：,基本割集上列写的基氏电流方程是一组独立方程。独立方程的数目等于树支数。,1,2,3,4,5,6,1,2,3,4,5,6,2,c,1,2,3,4,5,6,(a),(b),(c),3,c,1,c,1.2,基本回路和基本割集,结论：,在全部支路电流中，连支电流是一组独立变量,(a),(b),(c),(a,),(b,),(c,),改变写法,这说明、树支电流可由连支电流线性组合得到。 、连支电流不能由其它连支电流得到。,1.2,基本回路和基本割集,本,节的基本要求,熟练掌握关联矩阵的定义,掌握用关联矩阵表达基,尔霍夫定律。,1.3,关联矩阵及基尔霍夫定律方程的关联矩阵形式,1.3.1,关联矩阵,设一条支路连接于某两个节点，则称该支路与这两个节点相关联。支路与节点的关联性质可以用所谓关联矩阵描述。对于,n,个节点,b,条支路的图，定义一个矩阵,(,行号对应节点号，列号对应支路号,),矩阵中第,i,行第,j,列元素定义为：,1.3,关联矩阵及基尔霍夫定律方程的关联矩阵形式,例如，对如图所示的电桥电路的图，其节点,-,支路关联矩阵,A,为,支路：,1 2 3 4 5 6,节点,节点,节点,节点,1,2,4,3,6,5,1.3,关联矩阵及基尔霍夫定律方程的关联矩阵形式,除去节点对应的第,4,行,由于任一支路连接于两个节点，它从一个节点连出，必然连入另一节点，因此,A,每一列有两个非零元素，分别是,1,和,-1,，每一列元素之和均为零。所以,A,的任意一行都可由其它,n,-1,行来确定，换言之，它只有,n,-1,个独立行。可将其任意一行省略，得到一个缩减（降价）的矩阵，简称,关联矩阵,，记为,A,。,支路：,1 2 3 4 5 6,节点,节点,节点,节点,1.3,关联矩阵及基尔霍夫定律方程的关联矩阵形式,二、 基尔霍夫定律的关联矩阵形式,对上图的节点、列,KCL,方程并写成矩阵形式为：,此方程组的系数矩阵就是该图的关联矩阵,A,。,1,、,KCL,的关联矩阵形式,它是一个,6,元的单列矩阵，为了书写方便，写成单行矩阵的转置叫,支路电流矢量,。,1,2,4,3,6,5,1.3,关联矩阵及基尔霍夫定律方程的关联矩阵形式,推广到一般情况：,将,b,个支路电流写成支路电流向量,则,AI,0,叫做,矩阵形式的基氏电流方程,。,1.3,关联矩阵及基尔霍夫定律方程的关联矩阵形式,2,、,KVL,的关联矩阵形式,此方程的系数矩阵等于图的关联矩阵,A,的转置。,选右图节点为参考点，用节点电压之差表示支路电压，并写成矩阵形式,叫做,节点电压矢量,。,叫做,支路电压矢量,。,1,2,4,3,6,5,1.3,关联矩阵及基尔霍夫定律方程的关联矩阵形式,推广到一般情况： 设网络有,b,条支路，,n,个节点，第,n,号节点为参考节点支路电压和节点电压向量分别记作：,则节点电压与支路电压的关系即,KVL,：,1.3,关联矩阵及基尔霍夫定律方程的关联矩阵形式,本节的基本要求,掌握基本回路矩阵的定义,掌握用基本回路矩阵表达基尔霍夫定律,1.4,基本回路矩阵及基尔霍夫定律方程的基本回路矩阵形式,1.4.1,基本回路矩阵,B,支路与基本回路的关联性质可以用,基本回路矩阵,B,描述,。定义,B,的行对应基本回路，列对应支路，,B,的元素定义为,1.4,基本回路矩阵及基氏定律的基本回路矩阵,与图所选基本回路对应的基本回路矩阵为,如果支路按先树支后连支顺序编号，并且基本回路编号顺序与连支相同，则在矩阵,B,的右边存在单位矩阵。,支路：,1 2 3 4 5 6,回路,4,回路,5,回路,6,1,2,3,4,5,6,1.4,基本回路矩阵及基氏定律的基本回路矩阵,1.4.2,基氏定律的基本回路矩阵形式,对右图所示基本回路列写,KVL,方程，并写成矩阵形式,其系数矩阵是上图的基本回路矩阵,1,、,KVL,的基本回路矩阵形式,是,支路电压矢量,1,2,3,4,5,6,1.4,基本回路矩阵及基氏定律的基本回路矩阵,推广到一般情况：,设,U,表示支路电压向量，基氏电压定律的基本回路矩阵形式为,如果支路编号使得矩阵,B,的右边出现单位矩阵，则上述,KVL,方程可写成,用树支电压表示连支电压,1.4,基本回路矩阵及基氏定律的基本回路矩阵,对下图所示基本割集列写,KCL,方程并写成矩阵形式,(a),(b),系数矩阵是基本回路矩阵,B,的转置。式,(b),就是基尔霍夫电流定律的基本回路矩阵形式。,2,、,KCL,的基本回路矩阵形式,是,连支电流矢量,。,再扩展到全部支路电流,1,2,3,4,5,6,1,c,2,c,3,c,1.4,基本回路矩阵及基氏定律的基本回路矩阵,推广到一般情况,:,基尔霍夫电流定律的基本回路矩阵形式为,如果支路编号使得矩阵,B,的右边出现单位矩阵，则上述,KVL,方程可写成,用连支电流表示树支电流：,1.4,基本回路矩阵及基氏定律的基本回路矩阵,本节的基本要求,理解基本割集矩阵的定义,掌握用基本割集矩阵表达基尔霍夫定律,1.5,基本割集矩阵及基尔霍夫定律方程的基本割集矩阵形式,1.5.1,基本割集矩阵,C,支路与基本割集的关联性质可以用基本割集矩阵,C,描述,。矩阵的行对应基本割集，列对应支路，,C,的元素定义为：,1.5,基本割集矩阵及基氏定律的基本割集矩阵,如果支路按先树支后连支顺序编号，并且基本割集编号顺序与连支相同，则在矩阵,C,的左边存在单位矩阵。,支路：,1 2 3 4 5 6,割集,1,割集,2,割集,3,与图所选基本割集对应的基本割集矩阵为：,1,2,3,4,5,6,1,c,2,c,3,c,1.5,基本割集矩阵及基氏定律的基本割集矩阵,1.5.2,基尔霍夫定律的基本割集矩阵形式,对右图所示的基本割集列写基尔霍夫电流定律方程并写成矩阵形式为：,上述方程系数矩阵恰是上图的基本割集矩阵。,1,、,KCL,的基本割集矩阵形式,1,2,3,4,5,6,1,c,2,c,3,c,1.5,基本割集矩阵及基氏定律的基本割集矩阵,推广到一般情况：,设,I,表示支路电流向量，则基尔霍夫电流定律的基本割集矩阵形式是,如果支路编号使得矩阵,C,的左边出现单位矩阵，则上述,KVL,方程可写成,用连支电流表示树支电流：,1.5,基本割集矩阵及基氏定律的基本割集矩阵,对右图所示的基本回路列电压方程，并写成矩阵形式得,再扩展到全部支路电压：,2,、,KVL,的基本割集矩阵形式,系数矩阵是基本割集矩阵,C,的转置。该式就是基尔霍夫电压定律的基本割集矩阵形式。,1,2,3,4,5,6,1.5,基本割集矩阵及基氏定律的基本割集矩阵,推广到一般情况：设树支电压向量为,U,t,，则基尔霍夫电压定律的基本割集矩阵形式是,如果支路编号使得矩阵,C,的左边出现单位矩阵，则上述,KVL,方程可写成,用树支电压表示连支电压：,1.5,基本割集矩阵及基氏定律的基本割集矩阵,本节的基本要求,掌握广义支路的定义,掌握广义支路方程的矩阵形式,理解定义广义支路的目的。,1.6,广义支路及其方程的矩阵形式,广义支路又称为标准或一般支路。其中包括阻抗、电压源和电流源。一个广义支路在图中对应一条支路。,(,k,=1,b,),第,k,条广义支路的方程可以表示成,+,-,),(,s,U,sk,),(,s,I,sk,),(,s,I,k,),(,s,Z,k,+,-,),(,s,U,k,),(,),(,s,I,s,U,k,k,),a,(,),b,(,1.6,广义支路及其方程的矩阵形式,b,条支路的支路方程矩阵形式是,(,省略了复变量,s,),：,简写为,1.6,广义支路及其方程的矩阵形式,其中,U,、,I,支路电压向量与支路电流向量；,若矩阵,Z,存在逆矩阵,Z,-1,，令,Y,=,Z,-1,，并乘,U,=,ZI,-,ZI,S,+,U,S,两端，得,支路源电压向量,支路阻抗矩阵,支路源电流向量,支路导纳矩阵,1.6,广义支路及其方程的矩阵形式,本节的基本要求,掌握用关联矩阵形式的基尔霍夫定律方程建立节点电压方程的步骤。,1.7,用矩阵运算建立节点电压方程,令,(,称节点导纳矩阵,),移项后得,这就是节点电压方程,AI,0,关联矩阵形式的基氏方程,广义支路的矩阵方程,支路电压方程,节点电压方程,简化为,1.7,用矩阵运算建立节点电压方程,例,1,利用本节方法列写图,(a),所示电路的节点电压方程。,+,-,+,-,3A,1S,2S,3S,2V,3V,(a),1A,例题,解：,1),按广义支路定义，对照图,(a),作出网络的图,(b),2),根据图写出关联矩阵,A,+,-,+,-,3A,1S,2S,3S,2V,3V,(a),(b),1,3,2,1A,例题,3),根据网络图并对照图,(a),写出,+,-,+,-,3A,1S,2S,3S,2V,3V,(a),(b),1,3,2,1A,例题,(6),求解上式得节点电压,(5),按,Y,n,U,n,=,I,Sn,列出节点电压方程,4),计算,例题,