分析动力学之约束理论

*,Page,*,清华大学航天航空学院,王天舒（）,分析动力学,之,约束理论,9/22/2024,1,本节内容,内容1,：约束、广义坐标,内容2,：约束的几何意义,内容3,：,约束对运动的影响（位移、速度）。,虚位移是约束被“,冻结,”后此瞬时,约束,允许的无限小位移，与时间,t,的变化无关 (,t, 0),。,分析力学的基础概念：,虚位移,9/22/2024,2,1.1 位形空间,对于物体运动的客观空间，引入笛卡儿坐标系,Oxyz。为描述一个质点的运动，需考虑在每一时刻,t,的向径,r,(,t,):,对于由N个质点所构成的系统，则需要3N个数来表示质点系统的位置和形状（,位形,）：,引入由这3N个数张成的抽象空间来表示位形,c,，令该空间是由这3N个数构成各维的正交欧氏空间,C,，称为位形空间。,运动的多维空间描述,9/22/2024,3,系统每一时刻的位形唯一对应于,C,空间的一个表现点,c,C,空间的一个点,c,对应于系统的一个位形,当系统的位形随时间变化时，其位形表现点在,C,空间中画出了一超曲线，即一维的轨迹，称为系统的,C,轨迹,。,C,轨迹,的一般性质：,1.,C,轨迹是连续的；,2.,C,轨迹可以有重点；,3.,C,轨迹的拐点仅发生在如下情况；,a.,静止点处；,b.,在有打击作用的时刻；,位形空间的特点,9/22/2024,4,1.2 约束,约束：,非自由质点系在空间中的位置及其在运动中受到的限制,约束方程：,用数学方程表达各质点所受的限制条件,在由两个或更多质点构成的系统中，不受约束的运动是不存在的。,绝大多数的运动都是约束运动。,刚性杆,约束,9/22/2024,5,具有如下形式或可以化为如下形式的约束称为,完整约束,：,A,1.3 完整约束,完整约束(homonomic constraint),9/22/2024,6,如约束表达式中不显含,时间,t,，则称其为,定常约束(scleronomic constraint),；,否则称为,非定常约束(rheonomic constraint),。,定常约束和非定常约束,9/22/2024,7,对于,定常约束,：,一个约束方程构成位形空间上的一个N-1维,固定,曲面。,对于,非,定常约束,？,系统运动的,c,轨迹必须位于该曲面内。,约束方程的几何解释,9/22/2024,8,1.4 广义坐标,能够,唯一,地确定质点系,可能位置,的独立参数称为广义坐标。选定广义坐标后，系统内笛卡儿坐标可由广义坐标确定,广义坐标数为：,N, 质点总数,r, 完整约束的总数；,广义坐标,9/22/2024,9,取一组新的坐标：,两组坐标之间的变换关系：,两组坐标均可以描述质点的位形,考虑系统由一个质点构成,约束方程为：,x,-,y,=0,广义坐标,9/22/2024,10,注意到完整约束关系:,则有：,即可以用两个坐标表示系统的位形：,广义坐标,在广义坐标下系统的完整约束自然满足，约束方程可不予考虑。,广义坐标,9/22/2024,11,设由,N,个质点组成的系统包含,独立,的,r,个完整约束,引入一组新的变量q,：,令变换关系中的前,r,项为完整约束，其余部分任选，但要求变换式为无关组。,则可以得到从,x,到,q,的变换：,广义坐标,9/22/2024,12,注意到完整约束关系:,则有：,即笛卡儿坐标可利用另一组坐标表示,当采用广义坐标时，完整约束自动满足。,广义坐标,9/22/2024,13,假设约束曲面是光滑的，有：,在约束面上的任一点处的充分小临域内，约束方程要求所有的可能轨迹必须在其,切平面,内，而不是,约束曲面,内。,虚位移在约束曲面的切平面内。,约束对无穷小位移的影响（局部特性）,9/22/2024,14,在光滑球面上运动的质点，球面方程为：,约束方程：,无穷小的位移改变应满足：,约束对无穷小位移的影响（例）,9/22/2024,15,设在无穷小位移上的约束为：,其中,g,(,z,)为,z,的已知函数，求加在有限位移上的约束,解：,没有,加在有限位移上的约束。,若令加在有限位移上的约束为：,则有：,加在,无穷小位移,上的约束不一定会限制,有限位移,的运动。,速度约束不一定对位,移有限制。,约束与有限位移和无穷小位移（例）,9/22/2024,16,不可化为完整约束形式的约束为,非完整约束,。,大多数实际遇到的非完整约束问题，其约束方程为质点速度的,一次代数方程,：,O,x,y,v,C,1.5 非完整约束,非完整约束,9/22/2024,17,上述形式的微分约束称为,Pfaff约束,。,将速度形式的约束方程写成微分形式：,对于完整约束：,有：,则系统的约束方程可以统一表示为微分形式：,有关于Pfaff约束的可积性定理可见参考文献,Pfaff形式,9/22/2024,18,完整约束限制系统的位形轨迹必须在约束曲面上。,非完整约束,？,例：对于非完整约束：,可否由原点到达空间中的,任一点,(,x,1,y,1,z,1,)？,在,xy,平面内作函数,y,=,f,(,x,) ：,解：,定义质点的轨迹为：,非完整约束的特点可达性,9/22/2024,19,显然质点的轨迹满足：,1. 过原点,2. 过(,x,1,y,1,z,1,)点,3. 满足约束方程：,完整约束,会减小可达的位形空间的维数，而,非完整约束,则不会。,完整约束,会减小广义坐标数，而,非完整约束,则不会。,滑冰！,非完整约束的特点可达性,9/22/2024,20,END,！,9/22/2024,21,