线性方程组解的结构

-,*,-,第四章,线性方程组解的结构,4.4,线性方程组在几何中的应用,4.2,齐次线性方程组解的结构,4.1,线性方程组解的存在性定理,4.3,非齐次线性方程组解的结构,1,其通解的结构如何,?,如何写出其向量形式的通解,?,齐次线性方程组,解的结构,本章以向量为工具讨论线性方程组解的结构,主要内容,:,非齐次线性方程组,解的结构,如果当齐次线性方程组,有无穷多解时,问题,:,1.,2.,如果当非齐次线性方程组,有无穷多解时,其通解的结构如何,?,如何写出其向量形式的通解,?,2,4.1,线性方程组解的存在性定理,对于,非齐次,方程组,非齐次方程组解的判别定理,齐次方程组解的判别定理,对于,齐次,方程组,3,第四章,线性方程组解的结构,4.4,线性方程组在几何中的应用,4.2,齐次线性方程组解的结构,4.1,线性方程组解的存在性定理,4.3,非齐次线性方程组解的结构,4,记,Ax,= 0,的解集为,:,(1),1.,解向量,:,的一个解向量,.,2.,解向量的性质,:,(2),不妨设,是,N,(,A,),的最大无关组,(,称为基础解系,),则,:,由,(1),(2),可知,(,取任意实数,),4.2,齐次线性方程组解的结构,5,通过下面的例子,来解决以上问题,例,1,问题,:,对于给定的方程组如何求其基础解系,?,解,:,6,是解吗,?,线性无关吗,?,任一解都 可由,表示吗,?,基础解系所含向量的个数,= ?,是基础解系吗,?,令自由变量为任意实数,说明,:,1.,基础解系不惟一,2.,但所含向量的,个数唯一且等于,n-R(A),7,齐次方程组解的结构定理,齐次方程组 的基础解系所含向量个数为,设一个基础解系为,:,则通解为,:,例,设阶矩阵的秩为，,的每行元素之和,为零，写出的通解,解：,的基础解系所含向量个数为,则通解为：,8,例,2,设,是 的,两个不同的解向量,k,取任意实数,则,Ax,= 0,的通解是,例,3,设,证明,重要结论,证,记,则由,说明,都是,的解,因此,移项,9,例,4.,已知,的列向量组是齐次线性,方程组,的基础解系,B,是,m,阶可逆矩阵,试,证,:AB,的列向量组也是齐次线性方程组,的基础解系,.,证明,:,则,AB,的列向量组是齐次线性方程组,的解向量,由条件可知,A,的列向量组线性无关且含,m,个向量,所以,AB,的列向量组线性无关,即是方程组,的基础解系,.,10,第四章,线性方程组解的结构,4.4,线性方程组在几何中的应用,4.2,齐次线性方程组解的结构,4.1,线性方程组解的存在性定理,4.3,非齐次线性方程组解的结构,11,(,1,),设 都是,(1),的解,则,是,(2),的解,.,(,2,),设 是,(1),的解,是,(2),的解,则 仍是,(1),的解,.,设 是,(1),的一个解,(,固定,),则对,(1),的任一解,x,是,(2),的解,从而存在 使得,由此得,:,1.,解向量,:,2.,性质,:,4.3,非齐次线性方程组解的结构,12,非齐次方程组解的结构定理,的一特解解,则当非齐次线性方程组有无穷多解时其通解为,:,例,5.,的三个解向量,解,:,的基础解系 含一个向量,13,例,6,解,14,例,7,设 是非齐次,Ax,=,b,的两个不同的解,其对应的齐次方程组的基础解系,则,Ax,=,b,的通解是,(,多选,),15,例,8.,已知方程组,问,:a,为何值时,方程组有唯一解,?,无解,?,无穷多解,?,有无穷多解时求出通解,.,解,:,所以有无穷多解,16,因为系数矩阵的秩不等于增广矩阵的秩,所以方程组无解,.,例,9.,的三个,解向量,17,例,10,设线性方程组,的系数矩阵为,A,存在,解,:,则,B,的列向量组为,AX=0,的解向量,例,11,齐次线性方程组,则下列结论正确的是,18,例,2,已知方程组,问为何值时，方程组有唯一解，无解，无穷多个解？,在方程组有无穷多个解时求出通解,（考试题）,解：,方程组有唯一解,即,当时,当时,19,思考题,:,1.,求,:,2.,设,A,为,3,阶方阵,且,3.,如果非齐次方程组的增广矩阵经过初等行变换化为,求该方程组的通解,?,20,方程组,21,作业,22,