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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,主要内容,引入,第一节 线性变换的定义,定义,举例,性质,二、定义,定义 1,线性空间,V,的一个变换,A,称为,线性,变换,，如果对于,V,中任意的元素,和数域,P,中,任意数,k,，都有,A,(,+,) =,A,(,) +,A,(,) ,A,(,k,) =,k,A,(,) .,以后我们一般用花体拉丁字母,A,B, 代表,V,的变换，,A,(,) 或,A,代表元素,在变换,A,下,的像.,定义中的等式所表示的性质，有时也说成,线性,变换保持向量的加法与数量乘法.,下面我们来看几个简单的例子，它们表明线性,变换这个概念是有丰富的内容的.,三、举例,例 1,平面上的向量构成实数域上的二维线性,空间. 把平面围绕坐标原点按反时针方向旋转,角,就是一个线性变换，我们用,R,表示.,如果平面上,一个向量,在直角坐标系下的坐标是 (,x,y,),那么,像,R,(,) 的坐标，即,旋转,角之后的坐标,(,x,y,) 是按照公式,来计算的.,性变换.,O,x,x,y,y,x,y,图 7 - 1,= (,x,y,),= (,x,y,),如图 7 - 1 所示.,同样地，空间中绕轴的旋转也是一个线,例 2,设,是几何空间中一固定的非零向量，,把每个向量,变到它在,上的内射影的变换也是,一个线性变换，以,表示它.,这里 (,), (,),表示内积,.,几何意,义如图 7 - 2 所示.,(,),x,o,y,z,图 7 - 2,用公式表示就是,例 3,线性空间,V,中的,恒等变换,或称,单位,变换,E,，即,A,(,) =,(,V,) ,以及,零变换,0,，即,0,(,) =,0,(,V,),都是线性变换.,例 4,设,V,是数域,P,上的线性空间，,k,是,P,中,某个数，定义,V,的变换如下：,k,V .,不难证明，这是一个线性变换，称为由数,k,决定的,数乘变换, 可用,K,表示.,显然，当,k,= 1 时，我,们便得恒等变换，当,k,= 0 时，便得零变换.,数组成实数域上一线性空间，以,C,(,a,b,) 代表.,例 5,在线性空间,P,x, 或者,P,x,n,中，求微,商是一个线性变换.,这个变换通常用,D,代表，即,D,(,f,(,x,) ) =,f,(,x,) .,例 6,定义在闭区间 ,a,b,上的全体连续函,在,这个空间中，变换,I,(,f,(,x,) ) =,是一线性变换.,四、性质,线性变换有以下三个简单性质：,性质 1,设,A,是,V,的线性变换，则,A,( 0 ) = 0,A,( -,) = -,A,(,) .,性质 2,线性变换保持线性组合与线性关系式,不变.,换句话说，如果,是,1,2, ,r,的线性,组合：,=,k,1,1,+,k,2,2,+ +,k,r,r,那么经过线性变换,A,之后，,A,(,) 是,A,(,1,),A,(,2,) , ,A,(,r,) 同样的线性组合：,又如果,1,2, ,r,之间有关系式,k,1,1,+,k,2,2,+ +,k,r,r,=,0 ，,A,(,) =,k,1,A,(,1,) +,k,2,A,(,2,) + +,k,r,A,(,r,) .,那么它们的像之间也有同样的关系,以上两点，根据定义不难验证，由此即得,性质 3,线性变换把线性相关的向量组变成,线性相关的向量组.,但应该注意，性质 3 的逆是不对的，线性变换,可能把线性无关的向量组也变成线性相关的向量,组.,例如零变换就是这样.,k,1,A,(,1,) +,k,2,A,(,2,) + +,k,r,A,(,r,) = 0 .,本节内容已结束 !,若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束 !,若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束 !,若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束 !,若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束 !,若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束 !,若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束 !,若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束 !,若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束 !,若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束 !,若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束 !,若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束 !,若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束 !,若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束 !,若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束 !,若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束 !,若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束 !,若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束 !,若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束 !,若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束 !,若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束 !,若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束 !,若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束 !,若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束 !,若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束 !,若想结束本堂课,请单击返回按钮.,
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