计量资料的区间估计

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,引 言,随机变量及其所伴随的概率分布全面描述了随机,现象的统计性规律。,概率论的许多问题中，随机变量的概率分布通常,是已知的，或者假设是已知的，而一切计算与推理都,是在这已知是基础上得出来的。,但实际中，情况往往并非如此，一个随机现象所,服从的分布可能是完全不知道的，或者知道其分布概,型，但是其中的某些参数是未知的。,1,例如：,某公路上行驶车辆的速度服从什么,分布是未知的,；,电视机的使用寿命服从什么,分布是未知的,；,产品是否合格服从两点分布，但参数,合格率p是,未知的；,数理统计的任务则是,以概率论为基础，根据试验,所得到的数据，对研究对象的客观统计规律性做出合,理的推断。,2,从现在开始，我们学习数理统计的基础知识。数理统计的任务是,以概率论为基础，根据试验所得到的数据，对研究对象的客观统计规律性作出合理的推断.,数理统计所包含的内容十分丰富，后面学习,参数估计、假设检验、方差分析、回归分析,等内容.包括数理统计的一些基本术语、基本概念、重要的统计量及其分布，它们是后面各章的基础。,学习的基本内容,3,2.1 计量资料的区间估计,2.1.1,随机抽样,统计工作,统计设计,搜集资料,整理资料,分析资料,选估计,检验,回归,设计方法,按设计抽样,搜集报表,试验,对原始数据分组和归纳,计算和统计处理,作出结论,2 计量资料分析,4,统计资料,计量资料,定量方法测得大小,连续总体,分类资料,计数资料,无序分类,离散,等级资料,有序分类,离散,5,样本与统计量,总体与样本,在数理统计中，把研究对象的全体称为,总体,（population)或母体,，而把组成总体的每个单元,称为,个体,。,抽样,要了解总体的分布规律，在统计分析工作中，往往,是,从总体中抽取一部分个体进行观测,，这个过程称为,抽,样。,6,样本与统计量,子样,子样 是n个随机变量,，抽取之后,的观测数据 称为,样本值或子样观察值,。,在抽取过程中，每抽取一个个体，就是对总体X进,行一次随机试验，,每次抽取的n个个体 ，,称为总体X的一个容量为n的样本（sample）或子,样,；其中样本中所包含的个体数量称为样本容量。,7,随机抽样方法的基本要求,独立性,即每次抽样的结果既不影响其余各次抽样的,结果，也不受其它各次抽样结果的影响。,满足上述两点要求的样本称为,简单随机样本,.获得简,单随机样本的抽样方法叫,简单随机抽样,.,代表性,即子样( )的每个分量 与总体,具有,相同的概率分布,。,从简单随机样本的含义可知，,样本,是来自总体 、与总体 具有相同分布的随机变量.,8,简单随机抽样,例如,：要通过随机抽样了解一批产品的次品率，,如果每次抽取一件产品观测后放回原来的总量中，则,这是一个简单随机抽样。,但实际抽样中，往往是不再放回产品，则这不是一个简单随机抽样。但当总量N很大时，,可近似看成,是简单,随机抽样。,9,统计量,定义,设（ ）为总体X的一个样本，,为,不含任何未知参数,的,连续函数,，则,称 为样本（ ）的一个统计量。,则,例如,： 设 是从正态总体 中抽取,的一个样本，其中 为已知参数, 为未知参数，,是统计量,不是统计量,10,几个常用的统计量,样本均值,（sample mean),设 是总体 的一个样本，,样本方差,(sample variance),11,样本均方差或标准差,它们的观测值用相应的小写字母表示.反映总体X取值的,平均,，或反映,总体X取值的离散程度,。,几个常用的统计量,设 是总体 的一个样本，,样本标准差,S,样本变异系数,12,子样的K阶（原点）矩,几个常用的统计量,设 是总体 的一个样本，,子样的K阶中心矩,13,它包括两个方面,数据整理,计算样本特征数,数据的简单处理,为了研究随机现象，首要的工作是收集原始数据.一般通过抽样调查或试验得到的数据往往是杂乱无章的，需要通过整理后才能显示出它们的分布状况。,数据的简单处理是以一种直观明了方式加工数据。,14,计算样本特征数：,数据的简单处理,数据整理,：将数据分组 计算各组频数,作频率分布表 作频率直方图,（1）反映趋势的特征数,样本均值,中位数,：数据按大小顺序排列后，位置居中的那个数,或居中的两个数的平均数。,众数,：样本中出现最多的那个数。,15,数据的简单处理,（2）反映分散程度的特征数：极差、四分位差,极差,样本数据中最大值与最小值之差，,四分位数,将样本数据依概率分为四等份的3个数椐，,依次称为第一、第二、第三四分位数。,第一四分位数Q,1,：,第二四分位数Q,2,：,第三四分位数Q,3,：,16, 把包含血糖数据的区间等分为8至15个小区间, 血糖数据最大值为632，最小值为334,例1,某地148名正常人血糖数据（单位mmol/l），分析其分布规律。,17, 记录各小区间内血糖数据的频数及计算频率,18, 以小区间长为底、相应频率密度为高作矩形，称为样本的直方图,直方图上缘形成一条 “中间大、两头小、两侧对称”的正常特点曲线,19,总体、样本、样本观察值的关系,总体,样本,样本观察值,理论分布,统计是从手中已有的资料样本观察值，去推断总体的情况总体分布。样本是联系两者的桥梁。总体分布决定了样本取值的概率规律，也就是样本取到样本观察值的规律，因而可以用样本观察值去推断总体,20,集中趋势,样本均数,中位数,居中位置的值,众数,频率最大的值,离散程度,样本方差,样本标准差,样本变异系数,样本标准误,极差,最大与最小值之差,25%、75%位置值,四分位数,21,样本均数与标准差、标准误常合写在一起,样本构成不含总体任何未知参数的函数称统计量,称为,的无偏估计量,估计量的一个具体值称一个点估计,定理,1,设,X,1,，,X,2,，,X,n,为总体,X,的简单随机样本,X,1,X,2,X,n,与总体,X,独立同分布,EX,i,EX,DX,i,DX,22,定理1表明，样本均数、样本方差,S,2,分别是总体均数,EX,、总体方差,DX,的一个无偏点估计,23,例,1,开胸顺气丸崩解时间,X,N,(,)随机抽取5丸崩解时间为:36,40,32,41,36(min),作,及,2,的无偏点估计,由数据计算得,37，,S,2,13,及,2,的点估计为,24,抽 样 分 布,学 习 目 标,了解 分布、,t,分布、,F,分布以及来自正态,总体的样本均值的分布等常见统计量的分布。,会查 分布、,t,分布、,F,分布的临界值表。,25,统计量是样本的函数，是随机变量，有其,概率分布，统计量的分布称为,抽样分布,.,26,分布,27,5 10 15 20,28,或,29,定理,X,1,X,2,X,n,为总体,X,N,(,2,)简单随机样本,2,(,n,-1 ),证明：,30,N,(0,1),N,(0,1),2,(,n,),2,(,1,),2,(,n,-1),31,定理,32,推论,33,例 1,已知某单位职工的月奖金服从正态分,布, 总体均值为 200, 总体标准差为 40 , 从该,总体抽取一个容量为 20 的样本, 求样本均值介,于 190210 的概率 .,解,34,t,分布,35,也称作,36,查表时要先看,清楚表头,的,名称或概率表达式，若为,上侧临界值表,，则可以,直接查用.,若为,双侧临界值表,，,则需换算后查用,.,37,例 3,解,38,例 4,解,39,定理,证明：,N,(0，1),2,(,n,-1),t,(,n,1),40,定理 4,41,特别地,42,F,分布,43,也称作,44,F,分布的临界值可以通过查,F,分布的临界值,表(见附表,IV,) 求得.,F,分布的性质,例 5,解,45,定理 5,46,正态总体的抽样分布定理,证明:,是n 个独立的正态随机变量的线性组合,故服从正态分布,47,(3)证明:,且U与V独立,根据t分布的构造,得证!,48,参 数 的 点 估 计,例,1,某商场在决定是否接收厂家送来的一,大批箱装商品时, 随机地抽取若干箱进行检验,根据这几箱的平均次品数, 估计该批商品平均每,箱的次品数,.,例,2,某省在一次高考结束后, 先要对考试,成绩做一个估计. 随机地抽取每科中的几包试卷,进行试判. 根据判卷结果估计全体考生的总分的,平均值和与平均值的偏离程度进行推断, 从而估,计出当年的录取线.,49,参数估计是统计推断的基本内容之一.,参数估计有两种方法:,点估计,与,区间估计,.,要估计的总体参数称为,待估参数,.,假设总体分布已知, 其中有一个或多个参,数未知,利用来自总体的样本估计总体的未知,参数值, 就是参数估计.,50,用一个估计量估计总体参数, 用这个估计,量的一个观察值作为总体参数的估计值的方法,称为,点估计.,由这种方法得到的估计值为,点估,计值.,估计量 .,估计值,51,矩估计法,以样本矩的函数作为总体矩的函数的估计量,的方法称为,矩估计法,.,例 3,解,52,例 4,解,53,例 4,解,54,例 5,解,55,最大似然估计法,例,6,设有一批产品, 根据以往的经验知道,它的产品率,p,可能是 0.1 或 0.3. 生产这批产品的,厂家认为该批产品质量很好, 次品率大约为 0.1,而收购产品的商业部门认为产品质量有问题, 次,品率可能为 0.3. 现从这批产品中随机抽取 15 件,发现有 5 件次品. 问: 生产厂家与收购部门谁的,估计更可靠些 ?,56,解,57,最大似然估计的思想:,最大似然估计值 .,最大似然估计值 .,58,似然函数,59,求总体未知参数的最大似然估计值就是求似 然,函数的最大值.,最大似然估计值.,最大似然估计量.,60,例 7,解,61,估计量的评价标准,1. 无偏性,定义,无偏估计量 .,62,例 8,证,63,定义,2. 有效性,(1) 频率是概率的最小方差无偏估计.,(2) 正态总体的样本均值和样本方差,分别是总体均值与方差的最小方差无偏估计.,两个结论,64,区 间 估 计,问题的提出：,这种形式的参数估计方法称为,区间估计 .,65,置信区间与置信度,定义,置信区间,置信度 .,66,置信度和置信区间的意义:,67,两点说明:,68,正态总体均值的区间估计,分三步完成:,69,解,例 1,70,解,例 2,71,正态总体方差的区间估计,72,解,例 3,73,小 结,74,