07预期效用理论

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第7讲 预期效用理论,到目前为止，我们的讨论都是在确定的经济环境中进行的，即涉及的价格、收入、需求等变量都是确定的。然而经济活动并非总是在确定的环境中进行，比如贷款消费同未来收入有关，而未来是不确定的；股票的购买与股票价格有关，而股票价格的变化是不确定的。这种在带有不确定性的环境中的消费可能更为常见，更符合现实，因此有必要研究不确定环境中的消费选择问题。,所谓不确定性，通常是说人们不能确定某种经济行为一定会产生某种结果。但经济学中，人们对这个词的含义作了严格界定，区分了两类不相同但有联系的不确定性概念：风险性与无常性。,风险性,(risk)是指人们虽然不能确定某种经济行为一定会发生某种结果，但能够确定发生某种结果的可能性大小，或者说，经济行为产生某种结果的概率是客观存在的。,无常性,(uncertainty)是指人们既不能确定某种经济行为一定会发生某种结果，又不能确定发生某种结果的可能性大小。,本讲研究不确定环境中的行为准则，内容包括：(1)风险环境中的选择理论,预期效用,；(2)无常环境中的选择理论,主观概率,。,1,一、不确定性选择的事例,我们先来讨论不确定选择的几个典型事例，并作一些分析。,例1,彩票,(lottery),发行彩票是一种常见的低成本筹资手段。购买彩票有可能获得奖品，甚至可能获得大奖，有些人就是靠购买彩票碰运气发了家。彩票的种类很多，不同的彩票有着不同的中奖概率分布。面对众多的彩票，消费者究竟是依据什么样的准则进行选择的？他究竟喜欢购买哪一种彩票？这是我们关心的问题。,例2,赌博,(gamble),赌博是一种典型的依靠随机因素来决定收入的现象，用它可来区别一个人是风险爱好者还是风险厌恶者还是风险中立者。当把通常的体育比赛、打麻将、玩扑克等游戏与收入紧密联系起来时，它们就成了赌博。我们关心的是，当消费者面对一种赌博的时候，他是依据什么来决定参加还是不参加赌博的？,例3,择业,(job-choice),职业各种各样，有些职业具有稳定的收入，而有些职业的收入不稳定，与绩效挂钩。因此，择业也是一种不确定选择问题。,2,(一) 抽彩选择,现有两种奖品相同的彩票：福利彩票和足球彩票，抽彩者如中奖，即可得自行车一辆。假定福利彩票的中奖概率为,p,(不中奖的概率便是1,-,p,)，足球彩票的中奖概率为,q,(不中奖的概率便是1,-,q,)。购买者如果中奖，就可获得,U,1,个单位的效用；如不中奖，则获得,U,2,个单位的效用,(,实际上是损失,U,2,个单位的效用,),。 问：抽彩者人喜欢购买哪一种彩票？,要回答这个问题，需要计算这两种彩票的预期效用，即计算效用的数学期望。用,EU,表示福利彩票的预期效用，,EV,表示足球彩票的预期效用：,EU,=,pU,1,+,(1,-,p,),U,2,，,EV,=,qU,1,+ (1,-,q,),U,2,。,抽彩人究竟会购买哪一种彩票，取决于,EU,与,EV,的比较。如果,EU,EV,，则购买福利彩票会预期给购买者带来更大的效用，因而抽彩人更喜欢福利彩票。这样，抽彩人的选择是购买福利彩票。如果,EU, 1,p,，,q,u,(50)，即甲参加赌博的预期效用大于不赌的效用，那么甲会参加赌博。如果,EV,v,(50)，即乙参加赌博的预期效用大于不赌的效用，那么乙会参加赌博。只有当,EU,u,(50),且,EV,v,(50),时，这场赌博才能开展起来。否则，就有一方不愿意打赌。可见，一个人是否接受赌博，关键看他打赌的预期效用是否大于不赌的效用。,一般地描述一个赌博，则可以这样来说：,赌博是一种游戏，输者赢得,W,1,元(,W,1,0)；输的概率为,p,，赢的概率为1,p,。这个赌博可表示为,:,G,=,(,W,1,p,;,W,2,1,p,)。某人现有收入,W,元，货币收入效用函数为,U,(,r,)。如果他不接受赌博,G,，则收入,W,元不变，效用为,U,(,W,)；如果他接受赌博,G, 则预期收入,ER,和预期效用,EU,分别为：,ER,=,ER,(,G,W,),=,p,(,W,+,W,1,) + (1,p,),(,W,+,W,2,),EU,=,EU,(,G,W,) =,p,U,(,W,+,W,1,) + (1,p,),U,(,W,+,W,2,),8,2. 公平的赌博,对于赌博,G,=,(,W,1,p,;,W,2,1-,p,)，如果,ER,(,G,W,) =,W,，即赌博的预期收入等于不赌的收入，则称,G,是公平赌博。,不公平赌博分为两种：盈性赌博和亏性赌博。盈性赌博简称盈赌, 是指参赌的预期收入大于不赌的收入:,ER,(,G,W,),W,；亏性赌博简称亏赌,是指参赌的预期收入小于不赌的收入：,ER,(,G,W,),0,；,G,是,亏性赌博,当且仅当,pW,1,+,(1,-,p,),W,2,2,。那么，这个人究竟会选择哪一种工作呢？,11,工作选择取决于对待风险的态度,在这种预期收入相同，但风险不同的两种作面前，一个人究竟选择哪一种工作，取决于他对待风险的态度。如果他是一个风险厌恶者，不喜欢去冒险，那么他就会选择收入比较稳定、风险较小的第二种工作；相反，如果他是一个风险爱好者，喜欢冒险，认为不冒险就发不了财，那么他就会选择有获得高收入的机会但风险较大的第一种工作。,如果两种工作的预期收入不同，比如说第一种工作在,“干得好”和,“干不好”,两种情况下的月收入都比上面所述的收入多,100,元，第二种工作的收入情况还是如上，则,ER,1,=,1600(元)，,ER,2,=,1500(元)。,1, = 0.5(2100,-,1600) + 0.5(1100,-,1600) = 250000,2, = 0.99(1510,-,1500) + 0.01(510,-,1500) = 9900,第一种工作虽然比第二种具有更多的预期收入，但同时也比第二种工作承担更大的风险。富有挑战精神的人,(即使为风险厌恶者),可能会选择第一种工作，保守的人可能会选择第二种工作。,在这种预期收入不同、风险不同的工作面前，要回答人们究竟如何具体选择的问题，需要对风险行为进行深入的研究。,12,二、预期效用,上述事例表明了这样一种现象：在不确定环境中，人们是根据预期效用进行决策的。也就是说，如果消费者对各种带有不确定性的选择方案有一个评价的话，那么这种评价肯定是根据某种预期效用作出的。我们不禁要问：事情真是这样吗？对不确定性行为进行评价的背后果真有预期效用作为支持吗？为了回答这个问题，我们先来研究风险环境中的消费者行为准则，建立预期效用理论。,所谓风险环境是指这样的一种选择环境，其中人们的选择究竟会出现哪种结果依赖于一些自然状态，而这些自然状态出现与否是随机的。不过这种环境中，任何随机事件发生的概率都是客观确定的，不会因人而异。彩票环境就是一种典型的风险选择环境，每种彩票在发行之时都要公布各种奖励的数量以及彩票发行的数量，因而彩票中奖的概率分布从客观上讲是确定的。,用,表示风险环境中影响人们选择结果的,自然状态的集合，称为,(自然)状态空间。用,F,表示,上,的事件域，其中每个事件发生的概率都客观存在；用,P,:,F,0,1,表示,事件域,F,上这个客观存在的,概率测度。于是,(,F,P,),就是,风险环境中,客观存在的、影响人们选择结果的概率空间。 (,F,P,),也就代表着人们所处的风险环境,。,13,(一) 风险选择集合,假定有,l,种商品供人们选择，即商品空间为,R,。设一切可能的选择结果的全体为集合,S,R,。称为,确定性选择集合,。于是, 风险环境可表示为(,S,;,F,P,)。,在风险环境中，虽然消费者,还是选择,S,中的商品向量，但究竟选择哪个向量则,与,哪个自然状态出现有关。 若用,x,代表消费者的风险选择，那么,x,的选择结果与,的元素有关：当状态出现时就选择,x,(),S,。即, 风险环境中人们的选择行为是状态空间,上的随机向量。鉴于此，我们用,X,表示所有这样的,随机向量的全体：,X,=,X,(,S,) = ,x,|,x,:,S,是,(,F,P,),上的,随机向量,并称,X,为风险选择集合，它表示了,风险环境中所有可能且可行的风险选择行为,。为了正确理解风险选择集合，需要注意以下两点：,l,l,在,为无限集合的情况下，,事件域,F,不是,的幂集。这说明，确实有些事件无法把握，其发生的可能性大小根本不可测。风险环境排除了这类事件,(,如果包含这类事件，那就是不肯定性了,),。,并非从,到,S,的任何映射都能代表风险行为。,作为风险行为，就必然要求能够把握行为的风险大小，因而要求必须是随机向量,。,14,1. 风险选择与确定性选择的关系,我们得到了两种不同的选择集合：确定性选择集合,S,和风险选择集合,X,，它们之间的关系值得注意。对于,x,X,，如果存在,s,S,使得,P,x,(),=,s,=1, 即,x,(),=,s,对几乎所有的,成立，,则称,x,是退化的风险行为，记作,x,s,。显然, 任何,s,S,都可看成是退化的风险行为：,s,(),=,s,。这样，我们就有,S,X,(,S,),，即,风险选择集合,X,是确定性选择集合,S,的扩充。,另外，几乎处处相等的随机向量可视为相同的随机向量。因此，退化的风险行为,x,s,也可看成是确定性选择行为,s,。,行为,x,=,(,x,1,x,2,x,l,),X,的数学期望,E,x,=,(,E,x,1,E,x,2,E,x,l,),叫做,x,的,预期(向量),。退化的风险行为,x,s,的预期就是,s, 即,E,x,s,=,s,。,一般情况下，我们都希望风险行为的预期是确定性选择集合,S,中的向量，这就涉及到对,S,中的向量进行加权平均和取极限，因而要求确定性选择集合,S,是凸闭集。今后，,凡是需要,S,为凸闭集的时候，就假定,S,为凸闭集，,而不再赘述。,在,S,是凸闭集的假定下，我们有 (,x,X,)(,E,x,S,)。因此，风险行为的预期是一种确定性选择行为。,15,2. 风险行为的分布函数表示,随机向量可以用分布函数加以描述，因而风险行为可用其分布函数来表示。风险行为,x,X,的分布函数,f,是商品空间,R,上的一个实值函数：(,t,R,)(,f,(,t,),=,P,x,(,),t,)。分布函数,f,的密度函数,是满足下面三个条件的,l,元实值函数：,由于随机向量,x,取值于集合,S,之中：(,),(,x,(,),S,)，因此可认为,x,的分布密度函数,在集合,S,之外取零值：(,t,R,-,S,),(,(,t,),=,0)。,既然随机向量可与其分布函数,(或密度函数)等同,看待，风险选择集合,X,(,S,)也就可用分布函数集合,D,(,S,)来表示：,D,=,D,(,S,) = ,f,:,f,是,X,中的随机向量的分布函数,用,D,(,S,)代替,X,(,S,)的好处在于,D,(,S,)是凸集合。事实上，任何两个分布函数,f,和,g,的加权平均,p,f,+,(1,-,p,),g,都依然是分布函数(,0,p,1,)。问题在于,p,f,+,(1,-,p,),g,是否是,X,中的随机向量的分布函数。因此,要认识,D,(,S,)的凸性，需要解释,p,f,+,(1,-,p,),g,的含义。下面就来解释之。,l,l,l,16,象复合彩票一样，两种风险行为,x,y,X,也可以复合。对任何实数,p,0,1,，用,p,x,(1,-,p,),y,表示这样行为：以概率,p,采取行为,x,，以概率1,-,p,采取行为,y,，则,p,x,(1,-,p,),y,也是,X,中的风险行为，称为,x,与,y,的复合行为。 注意,p,x,(1,-,p,),y,与,p,x,+,(1,-,p,),y,的含义截然不同。,设,A,为某个概率为,p,的事件，则,p,x,(1,-,p,),y,表示：若事件,A,发生, 按照,x,进行随机选择；若,A,未发生, 按照,y,进行选择。即当,A,时，(,p,x,(1,-,p,),y,)(,),=,x,(,)；当,A,时，(,p,x,(1,-,p,),y,)(,),=,y,(,)。,计算,p,x,(1,-,p,),y,的概率分布：设,x,的分布函数为,f,，,y,的分布函数为,g,；对于任意的,t,R,，用,B,表示事件,p,x,(1,-,p,),y,t,，根据全概率公式,P,(,B,),=,P,(,A,),P,(,B,|,A,),+,P,(,A,),P,(,B,|,A,),(,A,表示,A,的余事件,),可知：,P,(,B,),=,P,p,x,(1,-,p,),y,t,=,P,(,A,),P,p,x,(1,-,p,),y,t,|,A,+,P,(,A,),P,p,x,(1,-,p,),y,t,|,A,=,p,P,x,t,+,(1,-,p,),P,y,u,(,B,)。由此可知：,u,(100),11%,u,(110),10%,+,u,(0),1%,在此式两边加上,u,(0),89%,可得：,u,(100),11%,+,u,(0),89%,u,(110),10%,+,u,(0),90%,即,u,(,C,) ,u,(,D,)，这与实际调查结果,D,C,相矛盾。可见，预期效用理论有着不切实际的地方和时候。,28,(二) 关于主观概率的悖论(E,llsberg Paradox),袋中有红球、蓝球和绿球共300个，其中红球100个。现有四种形式的赌博,A,、,B,、,C,、,D,：,A,：从袋中摸出一球，如果为红球，可得1000元。,B,：从袋中摸出一球，如果为篮球，可得1000元。,C,：从袋中摸出一球，若不是红球，可得1000元。,D,：从袋中摸出一球，若不是篮球，可得1000元。,面对这四种赌博，每个人都需要对袋中有多少蓝球和有多少绿球作出自己的主观判断，因而涉及主观概率。,通过调查发现，大多数人基本上都认为,A,B,且,C,D,。作出这种评价的原因可能在于,A,的确定性比,B,高，,C,的确定性比,D,高。,用,P,表示赌博者的主观概率测度，,u,表示在这个概率测度下的预期效用函数。用,F,表示摸出红球这一事件，,G,表示摸出蓝球这一事件。则,F,表示摸出的球不是红球，,G,表示摸出的球不是蓝球。,令,p,=,P,(,F,)，,q,=,P,(,G,)。则,P,(,F,) = 1,-,p,，,P,(,G,) = 1,-,q,。计算这四种赌博的效用，可得到：,c,c,c,c,29,E,llsberg Paradox,从,A,B,知：(,p,-,q,),u,(1000) (,p,-,q,),u,(0)。,从,C,D,知：(,p,-,q,),u,(1000) (,p,-,q,),u,(0)。,这是两个矛盾的不等式！可见，按照主观概率理论，根本不可能让,A,B,和,C,D,同时成立。然而，调查得到的事实却是如此。因此，主观概率理论也有不切实际的地方和时候。,对于理论与实际之间的这种相悖，一些经济学家认为是理论不完善，需要建立新的理论来解释不确定性行为。而另一些经济学家则认为出现这些悖论的原因在于人们发生了,“视觉错误”。比如，有些时候人们无法判断距离，但这并不意味着要发明一种新的距离概念。因此，预期效用和主观概率理论是正确的。,30,