4.1复数的概念

北京大峪中学高三数学组,9/22/2024,复数的概念,第四章,数系的扩充_复数,4.1 复数的概念,一. 复数的概念,数的概念是从实践中产生和发展起来的。随着生产和科学的发展，数的概念也不断的被扩大和充实，从自然数集、整数集、有理数集到实数集的每一次扩充，推动了生产的进一步发展，也使数的理论逐步深化和发展，复数最初是由于解方程的需要产生的，后来由于在科学技术中得到应用而进一步发展。,我们知道，对于实系数一元二次方程,ax,2,+,bx,+,c,=0，,当,b,2,4,ac,0,时，没有实数根。那么我们能否将实数集,进行扩充，使得在新的数集中，该问题可以得到圆满,的解决呢？,回答是肯定的。实际上最根本的问题就是要解决,1的开平方问题，即怎样的一个数，它的平方会等于,1。,现在我们就引入这样一个数,i,，,把,i,叫做虚数单位,，,并且规定,：,（1）,i,2,1；,（2）,实数可以与,i,进行四则运算,，,在进行四则运算时，原有的加法与乘法的运算率(包括交换率、结合率和分配率)仍然成立。,这样就解决了前面所提出的问题，即,1可以开平方，且,1,的平方根为,i,.,形如,a,+,bi,(,a,b,R)的数叫做复数.,二.复数集,复数,a,+,bi,(,a,b,R,),由两部分组成,，,实数,a,与,b,分别称为复数,a,+,bi,的实部,与,虚部,，,1与,i,分别是,实数单位,和,虚数单位,，,当,b,=0,时,，,a,+,bi,就是,实数,，,当,b,0,时,，,a,+,bi,是,虚数,，,其中,a,=0,且,b,0,时称为,纯虚数。,全体复数所成的集合叫做复数集.,这样实数集就是复数集的一个子集。,它们的关系如下：,三.复数相等的定义,根据两个,复数相等,的定义,，,设,a,b,c,d,R,，,两个复数,a,+,bi,和,c,+,di,相等规定,为,a,+,bi,=,c,+,di,.,由这个定义得到,a,+,bi,=0,.,两个复数不能比较大小,，,只能由定义判断它们相等或不相等,。,如果两个复数的实部和虚部分别相等,我们就说这两个复数相等.,例1.实数,m,取什么数值时，复数,z,=,m,+1+(,m,1),i,是：,（1）实数？ （2）虚数？（3）纯虚数？,解：复数,z,=,m,+1+(,m,1),i,中，因为,m,R,，所以,m,+1，,m,1都是实数，它们分别是,z,的实部和虚部，, （1）,m,=1时，,z,是实数；,（2）,m,1时，,z,是虚数；,（3）当 时，即,m,=1时，,z,是纯虚数；,例,2.,已知,(2,x,1)+,i,=,y,(3,y,),i,，,其中,x,y,R,，,求,x,y,.,解：根据复数相等的意义，两个复数相等则实部等于实部 ，虚部等于虚部，得方程组，,解得,x,= ,y,=4.,x,o,1,你能否找到用来表示复数的几何模型吗？,实数可以用数轴上的点来表示。,一一对应,规定了正方向，,直线,数轴,原点，,单位长度,实数,数轴上的点,(形),(数),(几何模型),复数z=a+bi,有序实数对(a,b),直角坐标系中的点Z(a,b),x,y,o,b,a,Z(a,b),建立了平面直角坐标系来表示复数的平面,x轴-实轴,y轴-虚轴,（数）,（形）,-复数平面 (简称复平面),一一对应,z=a+bi,概念辨析,例题,复数z=a+bi,有序实数对(a,b),直角坐标系中的点Z(a,b),x,y,o,b,a,Z(a,b),建立了平面直角坐标系来表示复数的平面,x轴-实轴,y轴-虚轴,（数）,（形）,-复数平面 (简称复平面),一一对应,z=a+bi,概念辨析,例题,实数绝对值的几何意义:,能否把绝对值概念推广到复数范围呢？,X,O,A,a,|,a,| = |,OA,|,实数a在数轴上所对应的点A到原点O的距离。,x,O,z,=,a,+,b,i,y,|,z,|,= |,OZ,|,复数的绝对值,复数 z=,a,+,b,i,在复平面上对应的点Z(,a,b,),到原点的距离。,(复数的模),的几何意义:,Z,(,a,b,),例3 求下列复数的模：,(1)z,1,=,-,5i (2)z,2,=,-,3+4i (3)z,3,=5,-,5i,(3)满足|z|=5(zC)的z值有几个？,思考：,(2)满足|z|=5(zR)的z值有几个？,(4)z,4,=1+mi(mR) (5)z,5,=4a,-,3ai(a,0),(1)复数的模能否比较大小？,这些复 数对应的点在复平面上构成怎样的图形？,图示,课堂小结：,一. 数学知识：,二. 数学思想：,(1)复数相等,(2)复平面,(3)复数的模,(3)类比思想,(2)数形结合思想,(1)转化思想,课题：复数的有关概念,(A)在复平面内，对应于实数的点都在实,轴上；,(B)在复平面内，对应于纯虚数的点都在,虚轴上；,(C)在复平面内，实轴上的点所对应的复,数都是实数；,(D)在复平面内，虚轴上的点所对应的复,数都是纯虚数。,辨析：,1下列命题中的假命题是（ ）,D,2“a=0”是“复数a+bi (a , b,R)所对应的点在虚轴上”的（ ）。,(A)必要不充分条件 (B)充分不必要条件,(C)充要条件 (D)不充分不必要条件,C,例2 已知复数z=(m,2,+m-6)+(m,2,+m-2)i在复平面内所对应的点位于第二象限，求实数m允许的取值范围。,表示复数的点所在象限的问题,复数的实部与虚部所满足的不等式组的问题,转化,(几何问题),(代数问题),一种重要的数学思想：数形结合思想,例2 已知复数z=(m,2,+m-6)+(m,2,+m-2)i在复平面内所对应的点位于第二象限，求实数m允许的取值范围。,变式：证明对一切m，此复数所对应的点不可能位于第四象限。,不等式解集为空集,所以复数所对应的点不可能位于第四象限.,x,y,O,设z=x+yi(x,yR),满足|z|=5(zC)的,复数z对应的点在复平面上将构成怎样的图形？,5,5,5,5,