第三讲第二节凸函数与凹函数

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,3.2,凸函数与凹函数,凸函数,严格凸函数,设,是非空凸集，,若对任意的,及任意的,都有：,则称函数,为,上的严格凸函数。,注：,将上述定义中的不等式反向，可以得到,严格凹函数,的定义,凸函数,对一元函数,在几何上,表示连接,的线段,所以,一元凸函数表示连接函数图形上任意两点,的线段总是位于曲线弧的上方,几何性质,表示在点,处的,函数值,f(X),X,f(X,1,),f(X,2,),X,1,X,2,f(X),X,f,(X,1,),f,(X,2,),X,1,X,2,x,1,+(1-,)x,2,f,(,x,1,+(1-,)x,2,),f(X),X,f( x,1,),+(1-,) f( x,2,),f(X,1,),f(X,2,),X,1,X,2,x,1,+(1-,)x,2,f,(,x,1,+(1-,)x,2,),f(X),X,f(X,1,),f(X,2,),X,1,X,2,任意两点的函数值的连线上的点都在曲线的上方,x,1,+(1-,)x,2,f,(,x,1,+(1-,)x,2,),f( x,1,),+(1-,) f( x,2,),例,4.2.1,(a),凸函数,(b),凹函数,例：,设,试证明,在,上是严格凸函数,证明,:,设,且,都有：,因此,在,上是严格凸函数,凸函数,例：,试证线性函数是,上的凸函数,证明,:,设,则,故,是凸函数,类似可以证明,也是凹函数,.,凸函数,凸函数,定理,1,设,是凸集,上的凸函数,充要条件,性质,詹生,(Jensen),不等式,凸函数,定理,2,性质,正线性组合,下面的图形给出了凸函数,的等值线的图形，可以看出水平集是凸集,.,凸函数,凸函数,定理,1:,设,是定义在凸集,上，,令,则,:,(1),是定义在凸集,是凸集,上的,凸函数,的充要条件是对,任意的,一元函数,为,上的凸函数,.,(2),设,若,在,上为,严格,凸函数,，,则,在,上为严格凸函数,凸函数,凸函数的判别定理,该定理的,几何意义,是：凸函数上任意两点之,间的部分是一段向下凸的弧,凸函数,定理,4,设在凸集,上,可微,，,则：,在,上为凸函数的充要条件是对任意的,都有：,严格凸函数,(,充要条件,)?,凸函数,凸函数的判别定理,-,一阶条件,注：,定理,4,提供了一个判别可微函数是否为凸 函数的依据,.,凸函数,定理,4-,几何解释,一个可微函数是凸函数当且仅当函数图形上任一点处的切平面位于曲面的下方,.,凸函数,定理,4-,几何解释,一个可微函数是凸函数当且仅当函数图形上任一点处的切平面位于曲面的下方,.,定理,5:,设在开凸集,内,二阶可微,则,是,内的凸函数的充要条件为,:,对任意,的,Hesse,矩阵,半正定,其中：,凸函数,凸函数的判别定理,-,二阶条件,例：,凸函数,凸函数的判别定理,-,二阶条件,凹函数,凸集的上等值集，或者直观的说，凹函数就是凸集的边界,凹函数的经济意义,消费者问题,边际效用递减,生产者问题,边际产量递减,N,维问题,边际替代率递减,凹函数的例子,CD,生产函数：,投入组合,1,：,投入组合,2,：,混合的投入：,平均为,14.17,凹函数的例子,注意：只对要素价格,w,是凹的。,第一种要素价格上升，减少其投入量，增加第二种要素投入，但它的价格维持不变，所以总成本上升小于价格上升幅度。,成本函数：,凸函数的例子,利润函数：,显然,故利润函数为凸函数,