空间解析几何

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,第一部分 主要内容,第二部分 典型例题,第一章 空间解析几何,第一部分 主要内容,一、向量代数,二、空间解析几何,向量的,线性运算,向量的,表示法,向量积,数量积,向量的积,向量概念,一,、,向量代数,如果向量,向量的坐标表示为,(,一,),向量的坐标表示,已知空间两点,则向量,.,轴上的投影,分别为向量在,其中,(,二）向量的加减法、向量与数的乘积的坐标表达式,设,（三）向量模,(,长度,),的坐标表示,向量方向余弦的坐标表示式,(,四,),数量积,(,点积、内积,),数量积的坐标表达式,利用内积求两向量的夹角的公式,其中,为,与,的夹角,.,利用内积表示向量的长度,(,五,),向量积,(,叉积、外积,),其中,为,与,的夹角,的方向既垂直于,又垂直于,指向符合右手系,.,向量,与,的向量积为一个向量,记为,向量,的长度为,;,向量积的坐标表达式,与,平行,直线,曲面,曲线,平面,参数方程,旋转曲面,柱面,二次曲面,一般方程,参数方程,一般方程,对称式方程,点法式方程,一般方程,空间直角坐标系,二,、,空间解析几何,横轴,纵轴,竖轴,定点,(,一,),空间直角坐标系,空间的点,有序数组,它们距离为,两点间距离公式,设,为空间两点,(,二,),曲面及其方程,如果曲面,与三元方程,有下述关系：,(1),曲面,上任一点的坐标都满足方程；,(2),那么，方程,就叫做曲面,的方程，而,曲面,就叫做方程的图形,.,坐标满足方程的点都在曲面 上,1.,旋转曲面,定义：以一条平面曲线绕其平,面上的一条定直线旋转一周所,成的曲面称为旋转曲面,称这,条定直线为该旋转曲面的轴,.,绕坐标轴旋转的旋转曲面方程的特点,:,),2,(,方程为,轴旋转所成的旋转曲面,绕,曲线,设有平面曲线,),1,(,方程为,轴旋转所成的旋转曲面,绕,曲线,（,2,）圆锥面,（,1,）球面,（,3,）旋转双曲面,2.,柱面,定义：,平行于定直线并沿定曲线,C,移动的直线,L,所形成,这条定曲线叫柱面的,准,线,，动直线叫柱面的,母线,.,柱面方程的特征：,只含,y,x,而缺,的方程,在空间直角,坐标系中表示,母线平行于,轴的柱面，其,准线为,平面上曲线,的曲面称为柱面,.,(1),圆柱面,(2),抛物柱面,(3),椭圆柱面,3.,二次曲面,定义,:,三元二次方程所表示的曲面称为二次曲面,.,（,1,）椭球面,（,2,）椭圆抛物面,与,同号,),（,4,）单叶双曲面,（,6,）圆锥面,（,5,）双叶双曲面,(,三,),空间曲线,1.,空间曲线的一般方程,2.,空间曲线的参数方程,3.,空间曲线在坐标面上的投影,消去变量 后得,：,设空间曲线的一般方程：,曲线在 面上的投影曲线为,面上的投影曲线,面上的投影曲线,(,四,),平面,1.,平面的点法式方程,2.,平面的一般方程,3,.,平面的截距式方程,4.,平面的夹角,(,即它们的法向量的夹角,),5.,两平面位置特征：,/,(,五,),空间直线,1.,空间直线的一般方程,3.,空间直线的参数方程,2.,空间直线的对称式方程,直线,直线,两直线的夹角 公式,4.,两直线的夹角,5.,两直线的位置关系：,/,6.,直线与平面的夹角,直线与平面的夹角公式,:,直线与平面的位置关系,/,二、典型例题,关于,平面的对称点,为,.,答案,测试点,:,关于坐标平面的对称点的坐标的特征,.,例,1,例,2,设向量,与,的夹角,计算,解,测试点,:,(1),如何应用内积求向量的长度,;,(2),内积的性质,(,与多项式运算类似,);,(3),内积的定义,.,例,3,以下各组数不能作为某向量的方向余弦的是,解 根据数组,能作为某向量的方向余弦,的充要条件是,答案,C,例,4,在三维直角坐标系中,方程,表示的图形是,( ).,A.,单叶双曲面,B.,双叶双曲面,C.,锥面,D.,抛物面,解,从方程容易看出,的取值范围是,答案,测试点 根据二次方程判断方程表示的图形,B,例,5,求过点,的平面方程,.,解法,1,由平面的点法式方程知所求平面方程为,即,解法,2,用一般式方程,设所求平面方程为,将,点的坐标代入得方程组,取,解得,于是,所求平面方程为,测试点,:,(1),平面的点法式方程,(,如何根据已知,条件求出平面的法向量,),求平面方程的一般方法,:,(2),根据平面的一般式方程,(,设平面方程为,:,将已知条件代入确定,系数,(,注意,:,有一个自由未知数,.),例,6,求过点,且与直线,平行的直线方程,.,解 所求直线的方向向量为,用直线的点向式,(,对称式,),方程得所求直线方程为,测试点,:,(1),根据直线的一般方程求直线的方向向量,;,(2),写直线的点向式,(,对称式,),方程的方法,.,例,7,求,平面上的曲线,绕,轴旋转,所得旋转曲面方程,解,因为绕,轴旋转,故所得旋转曲面方程是由曲线方程,中,不动,将,变成,得到,.,故所求曲面方程为,测试点,:,如何求旋转曲面的方程,思考 改为绕其他坐标轴旋转,结果如何,?,所,得二次曲面的图形怎样,?,.,解,设动点,例,8,一动点与点,的距离是它到平面,的,距离的一半，试求该动点轨迹曲面的方程,.,为,则,它到平面,的距离为,故所求曲面方程为,即,测试点,:,(1),求两点的距离公式,;,(2),求一点到平行于坐标平面的平面的距离,;,(3),求满足某种条件的曲面方程的一般方法,.,例,9,求直线,与平面,的夹角,解,直线,的方向向量,又平面的法向量,所以直线与平面的夹角,测试点,:,(1),由直线的一般方程求其方向向量,;,扩展到求一个向量,与两个已知向量都垂直,.,(2),求两个向量的夹角,;,扩展到求两条直线的夹角,两平,面的夹角,求平面和直线的夹角,.,