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,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,#,一、有理数,与其运算,1,、基本概念的提升,“,有理数”,神,马东西？,定义,：,有理数是整数和分数的统称，一切有理数都可以化成分数的形式；,分类： 两种分法如下图,、,数轴,-长啥样儿呢？,定义：在数学中，可以用一条直线上的点表示数，这条直线 叫做数轴（number line），它满足以下要求：,（1,）,方向,（通常规定右为正，左为负）；,（2,）,原点,；,（3）,单位长度,；,【注：（1）（2）（3）缺一不可，缺少就不叫数轴】,如下图所示：,数轴,上的点和实数是一一对应的。,（任何一个实数都可以用数轴上的一个点来表示。）,数轴练习题,相反数、绝对值,中文名： 数轴,英文,名,： number axis,相反数： 只有符号不同 的两个数，其余相同,绝对值： 点到原点的距离,作 用： 比较大小,说明：,一切正数大于,0,，,0,大于一切负数，正数大于一切负数。,相反数：-2和2互为,相反数 ；,；.,绝对值,：在数轴上表示一个数的点离原点的距离就叫做这个数的绝对值,；用,代数式表示：| a | = ? (讨论a为何值),数轴上右边的数总比左边的数大，两个负数相比较，绝对值大的反而小。,相反数、绝对值练习,相反数,例题详解,例2、化简,例1、按要求作答,-(-,0.5)=_ ; +-( ) =_ ;,-+(-50)=_ ; -|-( ) |=_,;,绝对值的性质,【绝对值具有非负性】,例1、|-5|=_ ; | +5 |=_ ; | -(-5) |=_;,例2、(1),| |,=3 ;,| |,=5,;,（,2）已知x 是有理数，且|x|=|-4|，,那么,x= ;,(3)解方程：|4x+8|=15 ;,经典例题【B卷题型代数式求值】,解：,经典例题【B卷题型含绝对值运算】,解：,【巩固练习】,结合数轴化简代数式【A、B卷】,解：,解：,【巩固练习】,解：,经典例题,解：,解：,巩固练习,解：,例题零点分段法,解：,例题零点分段法求值,解：,绝对值的几何意义,|a|的几何意义,： 在,数轴上，表示这个数的点离原点的距离；,|a-b|的几何意义,：在数轴上，表示数a,b对应数轴上两点间的距离。,【思路导航】分析以下A、E两个点，不论这个邮筒放在AE之间的哪一点，A到,邮筒,的距离加上E到邮筒的距离就是AE的长度。也就是说邮筒放在哪不会影响这,两个,点到邮筒的距离之和。那么我们就使其他的3个点到邮筒的距离之和最短，再,看为了,使B、D两个到邮筒的距离之和也是不变的，等于BD。最后，只需要考虑C,点到,邮筒的距离最近就行了。那么当然也就是把邮筒放在C点了,。这里,就体现了一个“向中心靠拢的思想”,结论：,【巩固练习】,【竞赛衔接】,解：,【竞赛衔接】,解：,【竞赛衔接】,解：,【竞赛衔接】,解：,利用已有的知识，灵活熟练地运用数的四则运算法则和有关公式，学会巧算的方法。,二、有理数计算学习与提升,分析：这个算式中的分母均是,99,，分子依次是,1,到,296,，而,1+296=297,，而,297,恰好是,99,的,3,倍，可以看出，算式中的首末两项或与首末两项等距离的两项之和为,399,，并且这样的和只有,296/2,个。,1,、,巧用运算律：,例,1.,计算：,1/99+2/99+3/99+296/99,解：1/99+2/99+3/99+296/99,=（1/99+296/99）+（2/99+259/99）,+（148/99+149/99）,=3X148,=444,解：设S= 5+8+11+14+17+32,反过来写S=32+29+26+5,2S=(5+32)+(8+29)+(32+5),=37X10,=370,所以S=185,例2：5+8+11+14+17+32,2,、,倒写相加,分析：可利用“倒写相加”的方法来计算上式的和,观察上例我们发现：它的每两个相邻的加数的差相等，一般地，给出一列数,a,1,、,a,2,、,a,3,a,n,(,其中,a,1,称为首项，,a,n,称为末项,),，如果从第二项开始，后项与前项的差都相等，那么就称这列数,a,1,、,a,2,a,n,为等差数列，这个差用,d,来表示。,即,d=a,2,-a,1,=a,3,- a,2,=a,n,-a,n-1,d,叫公差，,n,为项数,如何来推算等差数列,a,1,、,a,2,a,n,的和呢？,例2：5+8+11+14+17+32,设S=a1+ a2+an反过来写，则s= an+an-1+a1,两式相加得：,2S=(a1+ an)+(a2+ an-1)+(an+ a1),由于a1+ an=a2+ an-1= an+ a1,因为2S=(a1+an)n,所以S=(a1+an)/2n,例3. 利用等差数列求和公式计算：,分析：这里,a,1,=1,，,a,n,=1991,，,d=3-1=2,，,n=996,1+3+5+1991,解：设S=1+3+3,2,+3,2014,(1),则3S=3+3,2,+3,2015,(2),（2）- (1)得：,3S-S=(3+3,2,+3,2015,)-(1+3+3,2,+3,2014,）,2S=3,2015,-1,所以S=3,2015,-1/2,3,、,先乘后减,例4：求 1+3+3,2,+3,2014,的值。,分析：和式中从第二项起，相邻的后一项与前一项的比都是,3,，如先用,3,乘以和式两边，然后与原式对应相减，即可得解。,解：原式,=(90+900+9000+90000+900000)-5,=999990-5,=999985,4,、,凑数与分拆：,例5. 计算89+899+8999+89999+899999,分析：观察各数的特征：都是由8和9组成，只要将第一个数加上1就凑成90，第二个数加上1就凑成900，再求和即可。,分析：,证明：,分析：算式中的每一项“分拆”成正负两项，利用“正负相消”的方法计算。,解：,人类的祖先经过长期的实践，在数的范围内确定了一些运算符号与法则：如加（+）、减（）、乘（）、除（），这使数学更加简明。,然而，这些符号都是“公认的”，其实，除了四则运算以外，还可以有一些新的符号，让它代表新的运算，这就是定义新运算。,我们定义的这种新运算，其运算,结果应该是等于参加运算的第一个数加上第二个数的2倍,的和与3的商。若a=2，b=3,5,、,定义新运算,在数学竞赛中，常常会遇到这种题。,解：,解：,解：原式,6,、,一些运算技巧,(,凑整）,例,1.,计算,：,例,2.,计算：,解：原式,整数,、分数分离,例,3.,计算,解：原式,例,4.,计算：,分析：因为,逆,用分配律,倒数,求值,与,互为倒数，而,容易计算。,故此题只需计算后部分的结果即可。,解：原式,零,因式定,值,分析：解答时切忌从左至右按顺序运算，因为,解：原式,例5. 计算：,例,6.,计算,解：原式,【训练,1,】,填空题,：,。,6,（3）计算：,【训练,2,】,计算,：,【训练,3,】设,“ ”是一种运算符号，对任意两数x、y,，有,：,其中,a,是一个不等于,0,的常数。,（,1,）验证：,（,2,）,的值。,【,试题答案,】,填空（3）题,2.,计算：,解：显然a=1，b=2,解：,
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