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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,易错疑难,集训,(,一,),集训,易错点,1,求轨迹方程时忽略题中的限制条件,1.,已知,ABC,的顶点,A,(5,0,),B,(5,0),且,ABC,的内切圆的圆心,M,在直线,x=,3,上,求顶点,C,的轨迹方程,.,答案,1.,解析 设内切圆与,AB,边相切于点,D,与,BC,边相切于点,E,与,AC,边相切于点,F,则易知,|,CA,|,CB,|,=,(|,AF,|+|,FC,|)(|,CE,|+|,BE,|),=,|,AF,|,BE,|,=,|,AD,|,DB,|,=,82,=,6,3,),.,易错点,1,求轨迹方程时忽略题中的限制条件,2,.,直线,y=,4,x,+,m,(,m,R,),与椭圆,C,:,=,1,相交于,A,B,两点,设线段,AB,的中点为,M,求动点,M,的轨迹方程,.,答案,2,.,解析 由,得,50,x,2,+24,mx,+3,m,2,6,=,0,.,设,A,(,x,1,y,1,),B,(,x,2,y,2,),则,x,1,+,x,2,=,=,(,24,m,),2,200(3,m,2,6,),0,解,得,5,m,|,F,1,F,2,|,此时动点,P,的轨迹是椭圆,;,当,a=,1,时,|,PF,1,|+|,PF,2,|,=,|,F,1,F,2,|,此时动点,P,的轨迹是线段,F,1,F,2,故选,C,.,易错点,2,忽略,椭圆、双曲线定义中的限制条件,4,.,若一个动点,P,(,x,y,),到两个定点,F,1,(1,0,),F,2,(1,0),的距离之差的绝对值为定值,m,(0,m,2),求动点,P,的轨迹方程,.,答案,4,.,解析 由题意得,|,F,1,F,2,|,=,2,.,当,m=,0,时,动点,P,的轨迹是线段,F,1,F,2,的垂直平分线,方程为,x=,0;,当,0,mb,1,0),.,由题意得,解得,所以椭圆,C,的标准方程为,=,1,.,当椭圆,C,的焦点在,y,轴上时,设椭圆,C,的标准方程为,=,1(,a,2,b,2,0),.,由题意得,解得,所以椭圆,C,的标准方程为,=,1,.,故选,AC,.,易错点,3,求,椭圆或双曲线的标准方程时忽略焦点的位置,6,.,已知双曲线的渐近线方程是,y=,x,焦距为,2,求双曲线的标准方程,.,答案,6,.,解析 当双曲线的焦点在,x,轴上时,设双曲线的标准方程为,=,1(,a,1,0,b,1,0),由题意知,解得,此时双曲线的标准方程为,=,1,.,当双曲线的焦点在,y,轴上时,设双曲线的标准方程为,=,1(,a,2,0,b,2,0,),由,题意知,解得,此时双曲线的标准方程为,=,1,.,综上,所求双曲线的标准方程为,=,1,或,=,1,.,【练后反思】此类题错解的原因是误认为椭圆或双曲线的焦点一定在,x,轴上,从而导致漏解,.,当题目条件没有明确椭圆或双曲线的焦点所在的坐标轴时,应当分两种情况讨论,.,易错点,4,忽略,椭圆或双曲线中某些量的取值范围,7,.(,多选,),已知双曲线,y,2,=,1,点,A,(3,0),O,为坐标原点,M,为双曲线上任意一点,则,的值可以是,(,),A,.,B,.,2,C,.,D,.,答案,7.BCD,设点,M,(,x,0,y,0,),则,x,0,2,或,x,0,2,且有,=,1,可得,=,1,.,因为,=,(,x,0,3,y,0,),=,(,x,0,y,0,),所以,=,x,0,(,x,0,3,)+,=,3,x,0,+,1,=,3,x,0,1,=,(,x,0,),2,.,又,x,0,2,或,x,0,2,则,2,.,故选,BCD,.,易错点,4,忽略,椭圆或双曲线中某些量的取值范围,8,.,如图,椭圆,=,1(,ab,0),的离心率,e=,F,A,分别是椭圆的左焦点和右顶点,P,是,椭圆,上,任意一点,若,的最大值是,12,求椭圆的方程,.,答案,8,.,解析 因为,e=,=,所以,a=,3,c.,设,P,(,x,0,y,0,),则,3,c,x,0,3,c.,因为,F,(,c,0,),A,(,a,0),所以,=,(,c,x,0,y,0,),=,(,a,x,0,y,0,),所以,=,(,c,x,0,y,0,)(,a,x,0,y,0,),=,ac,+,cx,0,ax,0,+,=,ac,+,cx,0,ax,0,+,+,b,2,=,(,a,c,),x,0,+,b,2,ac,=,(,a,c,),x,0,+,a,2,c,2,ac,=,2,cx,0,+5,c,2,=,(,x,0,9,c,),2,4,c,2,.,所以当,x,0,=,3,c,时,有最大值,为,12,c,2,=,12,所以,c,2,=,1,所以,a,2,=,9,b,2,=a,2,c,2,=,8,所以,所求椭圆的方程为,=,1,.,专项拓展训练,1,椭圆、双曲线,的,离心率,的有关问题,专项,1,答案,1.D,不妨设椭圆的方程为,=,1(,ab,0),F,2,(,c,0),.,由题意可得,F,1,F,2,PF,2,设,P,(,c,y,0,),则,=,1,所以,=,则,|,PF,2,|,=,|,y,0,|,=,.,因为,F,1,PF,2,为等腰直角三角形,所以,|,F,1,F,2,|,=,|,PF,2,|,即,2,c=,所以,2,ca=b,2,=a,2,c,2,即,e,2,+2,e,1,=,0,得,e=,1,.,故选,D,.,1.2022,河南驻马店新蔡一高高二上月考,设椭圆的两个焦点分别为,F,1,F,2,过,F,2,作椭圆长轴的垂线与椭圆相交,其中的一个交点为,P,若,F,1,PF,2,为等腰直角三角形,则椭圆的离心率是,(,),A.,B.,1,C.,D,.,1,2,.2022,广东东莞市七校高二上联考,设双曲线,=,1(0,ab,),的半焦距为,c,直线,l,过,(,a,0),(0,b,),两点,若原点到直线,l,的距离为,c,则双曲线的离心率为,(,),A.,B,.,C.2,D,.,答案,2.C,因为直线,l,过,(,a,0),(0,b,),两点,所以直线,l,的方程为,=,1,即,bx,+,ay,ab=,0,所以原点到,l,的距离,d=,=,c.,又,c,2,=a,2,+,b,2,(0,ab,),所以,ab=,c,2,即,4,=,故,4,=,e,2,解得,e=,2,或,e=,.,当,e=,时,a,2,=,3,b,2,与,a,0,b,0),的左、右焦点,过点,F,1,与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线的另一条渐近线于点,M,若,0,则该双曲线离心率的取值范围是,(,),A.(1,)B.(,+),C.(1,2)D.(2,+,),答案,3.D,不妨设过,F,1,(,c,0,),与双曲线的一条渐近线平行的直线的方程为,bx=ay,bc,则与另一条渐近线,bx,+,ay=,0,的交点为,M,(,),.,又,=,(,)(,),0,可得,3,所以,e=,2,.,故选,D,.,4,.,已知点,F,1,F,2,分别是双曲线,C,:,=,1(,a,0,b,0),的左、右焦点,O,为坐标原点,点,P,在双曲线,C,的右支上,且满足,|,F,1,F,2,|,=,2|,OP,|,tan,PF,2,F,1,3,则双曲线,C,的离心率的取值范围为,(,),A.(1,B,.,+),C.(1,),D,.(,2,答案,4.A,由,|,F,1,F,2,|,=,2|,OP,|,得,|,OP,|,=c,易知,PF,1,F,2,为直角三角形,且,PF,1,PF,2,|,PF,1,|,2,+|,PF,2,|,2,=,|,F,1,F,2,|,2,.,由双曲线的定义,可得,|,PF,1,|,PF,2,|,=,2,a,又,tan,PF,2,F,1,=,3,所以,|,PF,2,|,a,|,PF,1,|3,a,所以,|,PF,1,|,2,+|,PF,2,|,2,10,a,2,所以,4,c,2,10,a,2,所以,e,.,又,e,1,所以,1,b,0),的左、右焦点分别为,F,1,F,2,P,是椭圆上一点,PF,1,F,2,是以,F,2,P,为底边的等腰三角形,且,60,PF,1,F,2,120,则该椭圆的离心率的取值范围是,(,),A.(,1)B.(,),C.(,1),D,.(0,),答案,5.B,由题意可得,|,PF,1,|,=,|,F,1,F,2,|,=,2,c,则,|,PF,2,|,2,=,|,F,1,F,2,|,2,+|,PF,1,|,2,2|,F,1,F,2,|,PF,1,|cos,PF,1,F,2,=,8,c,2,8,c,2,cos,PF,1,F,2,即,|,PF,2,|,=,2,c,所以,a=,=c,+,c,.,又,60,PF,1,F,2,120,所以,cos,PF,1,F,2,所以,2,ca,(,+1),c,则,即,eb,0),的左、右焦点分别为,F,1,F,2,离心率为,e,1,椭圆,C,1,的上顶点为,M,且,=,0,双曲线,C,2,和椭圆,C,1,有相同的焦点,且双曲线,C,2,的离心率为,e,2,P,为曲线,C,1,与,C,2,的一个公共点,.,若,F,1,PF,2,=,则,(,),A.,=,2,B.,e,1,e,2,=,C.,=,D,.,=,1,答案,6.BD,因为,=,0,且,|,|,=,|,|,所以,MF,1,F,2,为等腰直角三角形,.,设椭圆的半焦距为,c,则,c=b=,a,所以,e,1,=,则,a=,c.,在,PF,1,F,2,中,F,1,PF,2,=,设,|,PF,1,|,=m,|,PF,2,|,=n,双曲线,C,2,的实半轴长为,d,则,故,mn=,c,2,故,(,m,n,),2,=m,2,+,n,2,mn,mn,=,.,又,|,m,n,|,=,2,d,所以,d,2,=,即,e,2,=,故,=,e,1,e,2,=,=,2,=,1,故选,BD,.,7,.,已知,F,1,F,2,分别为双曲线,=,1(,a,0,b,0),的左、右焦点,P,为双曲线右支上任意一点,若,的最小值为,8,a,则该双曲线的离心率,e,的取值范围是,.,答案,7.(1,3,解析,=,=,+|,PF,2,|+4,a,2,+4,a=,8,a,当且仅当,|,PF,2,|,=,2,a,时等号成立,而,|,PF,2,|,c,a,即,2,a,c,a,所以,c,3,a,即,e,3,.,又,e,1,得,1,b,1,0),与双曲线,C,2,:,=,1(,a,2,0,b,2,0),有相同的焦点,F,1,F,2,点,P,是,C,1,与,C,2,在第一象限内的交点,且,|,F,1,F,2,|,=,2|,PF,2,|,设,C,1,与,C,2,的离心率分别为,e,1,e,2,则,e,2,e,1,的取值范围是,.,答案,8,.(,+,),解析 设椭圆,C,1,与双曲线,C,2,的半焦距为,c,|,PF,1,|,=t.,由题意可得,|,PF,1,|+|,PF,2,|,=t,+,c=,2,a,1,|,PF,1,|,PF,2,|,=,t,c=,2,a,2,所以,a,1,a,2,=c,所以,=,1,e,1,=,所以,e,2,e,1,=e,2,=,=,.,因为,e,2,1,所以,0,1,设,=x,则,0,x,1,则,0,(,),2,+,=x,2,+,x=,(,x,+,),2,.,课时,1,抛物线及其标准方程,第三节抛物线,教材必备知识精练,知识点,1,抛物线的定义,1.2022,河北石家庄二中高二上期中,已知点,F,(1,0),直线,l,:,x,=,1,点,B,是,l,上的动点,.,若过点,B,且垂直于,y,轴的线与线段,BF,的垂直平分线交于点,M,则点,M,的轨迹是,(,),A.,双曲线,B,.,椭圆,C.,圆,D,.,抛物线,答案,1.D,连接,MF.,由垂直平分线性质知,|,MB,|,=,|,MF,|,即点,M,到定点,F,的距离与它到直线,l,的距离相等,因此,点,M,的轨迹是抛物线,.,故选,D,.,知识点,1,抛物线的定义,2,.,已知动点,M,的坐标,(,x,y,),满足方程,5,=,|,3,x,+4,y,12,|,则动点,M,的轨迹是,(,),A.,椭圆,B.,双曲线,C.,抛物线,D,.,圆,答案,2.C,方程,5,=,|,3,x,+4,y,12,|,可化为,=,它表示点,M,到坐标原点,O,的距离等于它到直线,3,x,+4,y,12,=,0,的距离,由抛物线的定义,可知动点,M,的轨迹是抛物线,.,故选,C,.,知识点,1,抛物线的定义,3,.(1),求到点,A,(2,0),的距离等于到直线,x=,2,的距离的动点,P,的轨迹方程,;,(2),平面上动点,P,到定点,F,(1,0),的距离比点,P,到,y,轴的距离大,1,求动点,P,的轨迹方程,.,答案,3,.,解析,(1),由于点,A,(2,0),恰好在直线,x=,2,上,所以动点,P,的轨迹是直线,此直线过点,A,且垂直于直线,x=,2,则动点,P,的轨迹方程为,y=,0,.,(2),方法一,设点,P,的坐标为,(,x,y,),则,=,|,x,|+1,两边平方并化简,得,y,2,=,2,x,+2|,x,|,所以,y,2,=,.,于是动点,P,的轨迹方程为,y,2,=,4,x,(,x,0),或,y=,0(,x,0,),.,方法,二,由于点,F,(1,0),到,y,轴的距离为,1,所以当,x,0,时,直线,y=,0,上的点满足题意,;,当,x,0,时,已知条件等价于点,P,到点,F,(1,0),的距离与其到直线,x,=,1,的距离相等,所以点,P,的轨迹是以点,F,为焦点,直线,x,=,1,为准线的抛物线,方程为,y,2,=,4,x.,于是动点,P,的轨迹方程为,y,2,=,4,x,(,x,0),或,y=,0(,x,0),的焦点为,F,准线为,l,点,P,为抛物线上一点,PA,l,垂足为,A.,若直线,AF,的斜率为,|,PF,|,=,4,则抛物线的方程为,(,),A.,y,2,=,4,x,B.,y,2,=,4,x,C.,y,2,=,8,x,D.,y,2,=,8,x,答案,7.A,如图,记直线,l,与,x,轴的交点为,K.,因为直线,AF,的斜率为,所以,PAF=,AFK=,60,.,由抛物线的定义,知,|,PF,|,=,|,PA,|,=,4,所以,PAF,为等边三角形,所以,|,AF,|,=,4,所以在,Rt,AKF,中,|,KF,|,=,2,所以,p=,2,所以抛物线方程为,y,2,=,4,x,.,知识点,2,抛物线,的标准方程、焦点坐标和准线方程,8,.2022,重庆九校联盟高二上联考,已知抛物线,C,:,x,2,=,2,py,(,p,0),的焦点为,F,点,M,(4,y,0,),为,C,上一点,若,|,MF,|,=,2,y,0,则,C,的准线方程为,(,),A.,x,=,2,B.,y=,2,C.,x,=,3,D.,y=,3,答案,8.B,因为点,M,(4,y,0,),在抛物线,x,2,=,2,py,上,则,y,0,=,.,又,|,MF,|,=,2,y,0,则,y,0,+,=,2,y,0,得,y,0,=,因此,=,.,又,p,0,得,p=,4,所以抛物线,C,的准线方程为,y,=,2,.,故选,B,.,知识点,2,抛物线,的标准方程、焦点坐标和准线方程,9.2022,广东佛山高二期中,已知抛物线,x,2,=,2,py,(,p,0),的焦点为,F,准线为,l,点,P,(8,y,0,),在抛物线上,K,为,l,与,y,轴的交点,且,|,PK,|,=,|,PF,|,则,y,0,=,p=,.,答案,9.4,8,解析 作,PM,l,垂足为,M.,由抛物线的定义知,|,PM,|,=,|,PF,|,.,又,|,PK,|,=,|,PF,|,所以在,Rt,PMK,中,sin,PKM=,=,=,所以,PKM=,45,所以,PMK,为等腰直角三角形,所以,|,PM,|,=,|,MK,|,=,8,.,又点,P,在,抛物线,x,2,=,2,py,(,p,0),上,所以,解得,.,知识点,2,抛物线,的标准方程、焦点坐标和准线方程,10,.,根据下列条件写出抛物线的标准方程,:,(1),经过点,(3,5,);,(2),焦点为直线,x,2,y,4,=,0,与坐标轴的交点,.,答案,10,.,解析,(1),当抛物线的标准方程为,y,2,=,2,px,(,p,0,),时,将点,(3,5,),代入,得,p=,即所求抛物线的标准方程为,y,2,=,x,;,当抛物线的标准方程为,x,2,=,2,py,(,p,0,),时,将点,(3,5,),代入,得,p=,即所求抛物线的标准方程为,x,2,=,y.,综上,抛物线的标准方程为,y,2,=,x,或,x,2,=,y.,(2),令,x=,0,得,y,=,2,;,令,y=,0,得,x=,4,所以抛物线的焦点坐标为,(4,0),或,(0,2,),.,当焦点为,(4,0),时,抛物线的标准方程为,y,2,=,16,x.,当焦点为,(0,2,),时,抛物线的标准方程为,x,2,=,8,y,.,综上,抛物线的标准方程为,y,2,=,16,x,或,x,2,=,8,y,.,【易错点拨】抛物线的标准方程有四种形式,当无法确定抛物线的具体形式时,要注意讨论,.,知识点,3,利用,抛物线的定义求与距离有关的最值,11,.2022,湖北黄石二中高二调考,已知直线,l,1,:4,x,3,y,+6,=,0,和直线,l,2,:,x,=,1,则抛物线,y,2,=,4,x,上一动点,P,到直线,l,1,和直线,l,2,的距离之和的最小值是,(,),A.2B.3C.,D.,答案,11.A,易知直线,l,2,:,x,=,1,恰为抛物线,y,2,=,4,x,的准线,如图所示,动点,P,到,l,2,:,x,=,1,的距离可转化为,PF,的长度,其中,F,(1,0),为抛物线,y,2,=,4,x,的焦点,.,由图可知,所求距离之和的最小值即点,F,到直线,l,1,的距离,为,=,2,.,知识点,3,利用,抛物线的定义求与距离有关的最值,12,.,已知,O,为坐标原点,抛物线,C,:,y,2,=,8,x,上一点,A,到焦点,F,的距离为,6,.,若点,P,为抛物线,C,的准线上的动点,则,|,PO,|+|,PA,|,的最小值为,(,),A.4B.4,C.4,D.6,答案,12.C,抛物线,y,2,=,8,x,的准线方程为,x,=,2,因为,|,AF,|,=,6,所以点,A,到准线的距离为,6,即点,A,的横坐标为,4,不妨设点,A,在第一象限,则点,A,的坐标为,(4,4,),.,因为坐标原点,O,关于准线的对称点,B,的坐标为,(4,0,),所以,|,PO,|,=,|,PB,|,所以,|,PO,|+|,PA,|,的最小值为,|,AB,|,=,=,4,.,知识点,3,利用,抛物线的定义求与距离有关的最值,13,.2022,黑龙江鸡西密山一中高二上期中,已知点,P,为抛物线,y,2,=,16,x,上的一个动点,设点,P,到抛物线准线的距离为,d,点,Q,(0,3),则,|,PQ,|+,d,的最小值为,.,答案,13.5,解析 抛物线,y,2,=,16,x,的焦点,F,(4,0),准线为,x,=,4,.,如图,过点,P,作,PM,垂直准线于点,M,则,|,PF,|,=,|,PM,|,=d,所以,|,PQ,|+,d=,|,PQ,|+|,PF,|,.,由图可知的当,P,Q,F,三点共线时,|,PQ,|+|,PF,|,取得最小值,最小值为,|,FQ,|,.,又,|,FQ,|,=,=,5,所以,|,PQ,|+,d,的最小值为,5,.,知识点,3,利用,抛物线的定义求与距离有关的最值,14,.2021,福建福州一中调考,设,P,是抛物线,y,2,=,4,x,上的一个动点,F,为抛物线的焦点,.,(1),若点,P,到直线,x,=,1,的距离为,d,A,(1,1,),求,|,PA,|+,d,的最小值,;,(2),若,B,(3,2),求,|,PB,|+|,PF,|,的最小值,.,答案,14,.,解析,(1),依题意,抛物线的焦点为,F,(1,0),准线方程为,x,=,1,.,由抛物线的定义,知,|,PF,|,=d,于是问题转化为求,|,PA,|+|,PF,|,的最小值,.,如图,1,连接,AF,交抛物线于点,P,此时,|,PA,|+,d,最小,最小值,=,.,(2),把点,B,的横坐标代入,y,2,=,4,x,中,得,y=,2,.,因为,2,2,所以点,B,在抛物线内部,.,过点,P,作,PM,垂直准线于点,M,过点,B,作,BQ,垂直准线于点,Q,(,如图,2),则,|,PB,|+|,PF,|,=,|,PB,|+|,PM,|,BQ,|,=,3+1,=,4(,当点,P,在线段,BQ,上时取等号,),即,|,PB,|+|,PF,|,的最小值为,4,.,学科关键能力构建,答案,1.2022,北京八十中高二上期中,已知,mn,0,则方程,mx,2,+,ny,2,=,1,与,mx,+,ny,2,=,0,在同一坐标系内表示的曲线可能是,(,),1.A,由题意,当,m=,1,n=,2,时,方程,x,2,+2,y,2,=,1,表示焦点在,x,轴上的椭圆,方程,x,+2,y,2,=,0,可化为,y,2,=,x,表示开口向左的抛物线,故排除,C,D;,当,m,=,1,时,n=,1,时,方程,y,2,x,2,=,1,表示焦点在,y,轴上的双曲线,方程,x,+,y,2,=,0,可化为,y,2,=x,表示开口向右的抛物线,故,A,符合,B,不符合,故选,A,.,2,.2022,湖北襄阳高二期中,已知点,A,(0,2),抛物线,C,1,:,y,2,=ax,(,a,0),的焦点为,F,射线,FA,与抛物线,C,相交于点,M,与其准线相交于点,N.,若,|,FM,|,MN,|,=,1,则,a,的值为,(,),A.,B.,C.1,D.4,答案,2.D,依题意,点,F,的坐标为,(,0),.,如图,设点,M,在准线上的射影为,K,由抛物线的定义知,|,MF,|,=,|,KM,|,则,|,KM,|,MN,|,=,1,则,|,KN,|,KM,|,=,21,.,因为,k,FN,=,=,k,FN,=,=,2,所以,=,2,解得,a=,4,.,3,.(,多选,),如图,在平面直角坐标系,xOy,中,抛物线,C,:,y,2,=,2,px,(,p,0),的焦点为,F,准线为,l,设,l,与,x,轴的交点为,K,P,为,C,上异于,O,的任意一点,P,在,l,上的射影为,E,EPF,的外角平分线交,x,轴于点,Q,过,Q,作,QM,PF,于点,M,过,Q,作,QN,PE,交线段,EP,的延长线于点,N,则,(,),A,.,|,PE,|,=,|,PF,|B,.,|,PF,|,=,|,QF,|,C,.,|,PN,|,=,|,MF,|D,.,|,PN,|,=,|,KF,|,答案,3.ABD,由抛物线的定义知,A,正确,;,因为,FQP=,QPN=,QPF,所以,|,PF,|,=,|,QF,|,B,正确,;,由题意知四边形,QKEN,为矩形,所以,|,PN,|,=,|,NE,|,PE,|,=,|,QK,|,FQ,|,=,|,KF,|,D,正确,;,显然当,PF,x,轴时,F,M,重合,|,PN,|,MF,|,C,错误,.,【名师点评】解决此类问题的关键是利用抛物线的定义将抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相互转化,.,4,.(,多选,)2022,广东部分学校高三上大联考,已知点,P,(,x,0,y,0,),是抛物线,C,:,y,2,=,4,x,上一动点,则,(,),A.,C,的焦点坐标为,(,2,0)B.,C,的准线方程为,x,+1,=,0C.,x,0,+1,=,D.,x,0,+,的最小值为,A,焦点坐标为,(1,0),准线方程为,x,=1,.,B,C,根据抛物线的定义可得,P,到焦点的距离等于点,P,到准线的距离,即,x,0,+1=,.,D,因为,=4,x,0,所以,x,0,+,=,=,2,=,(,当且仅当,=,即,=1,时,等号成立,),故,x,0,+,的最小值为,.,答案,4.BCD,5,.,设抛物线,y,2,=,4,x,的焦点为,F,以,F,为端点的射线与抛物线交于点,A,与抛物线的准线交于点,B,若,=,4,则,=,(,),A,.,9B,.,8C,.,6,D,.,4,答案,5.A,设准线交,x,轴于点,D,点,A,在准线上的射影为点,C,如图,.,因为,=,4,所以,|,FB,|,=,4|,FA,|,|,FA,|,=,|,AC,|,=,|,DF,|,所以,=,|,FA,|,FB,|,=,4|,FA,|,2,=,4,|,DF,|,2,=,9,.,6,.,设抛物线,C,:,y,2,=,2,px,(,p,0),的焦点为,F,点,M,在,C,上,|,MF,|,=,5,若以,MF,为直径的圆过点,(0,2),则抛物线,C,的方程为,(,),A,.y,2,=,4,x,或,y,2,=,8,x,B,.y,2,=,2,x,或,y,2,=,8,x,C,.y,2,=,4,x,或,y,2,=,16,x,D,.y,2,=,2,x,或,y,2,=,16,x,答案,6.C,因为抛物线,C,的方程为,y,2,=,2,px,(,p,0),所以焦点,F,(,0),.,设,M,(,x,y,),由抛物线的定义,知,|,MF,|,=x,+,=,5,得,x=,5,.,因为圆心是,MF,的中点,所以根据中点坐标公式,可得圆心的横坐标为,.,由已知,得圆的半径也为,所以该圆与,y,轴相切于点,(0,2),故圆心的纵坐标为,2,则点,M,的纵坐标为,4,即,M,(5,4),代入抛物线方程,得,p,2,10,p,+16,=,0,解得,p=,2,或,p=,8,.,所以抛物线,C,的方程为,y,2,=,4,x,或,y,2,=,16,x.,故选,C,.,7.2022,湖北孝感高中调考,设,F,为抛物线,y,2,=,4,x,的焦点,A,B,C,为该抛物线上三点,若,=,0,则,|,|+|,|+|,|,=,.,答案,7.6,解析 设,A,(,x,1,y,1,),B,(,x,2,y,2,),C,(,x,3,y,3,),.,又,F,(1,0),由,=,0,知,(,x,1,1,)+(,x,2,1,)+(,x,3,1,),=,0,即,x,1,+,x,2,+,x,3,=,3,则,|,|+|,|+|,|,=x,1,+,x,2,+,x,3,+,p=,6.,【归纳总结】抛物线,y,2,=,2,px,其焦点为,F,直线,l,是抛物线的准线,A,(,x,0,y,0,),是抛物线上一点,过点,A,作准线的垂线,垂足记为,C,则有,|,AF,|,=,|,AC,|,=x,0,+,即为抛物线的焦半径公式,.,8,.,已知抛物线,y,2,=,2,px,(,p,0),的焦点为,F,点,A,B,为抛物线上的两个动点,且满足,AFB=,120,过弦,AB,的中点,M,作抛物线准线的垂线,MN,垂足为,N,则,的最大值为,.,答案,8.,解析 设,|,AF,|,=a,|,BF,|,=b,作,AQ,垂直抛物线的准线于点,Q,BP,垂直抛物线的准线于点,P.,由抛物线的定义,知,|,AF,|,=,|,AQ,|,|,BF,|,=,|,BP,|,.,由余弦定理得,|,AB,|,2,=a,2,+,b,2,2,ab,cos,120,=a,2,+,b,2,+,ab=,(,a,+,b,),2,ab,.,又,ab,(,),2,所以,(,a,+,b,),2,ab,(,a,+,b,),2,(,a,+,b,),2,=,(,a,+,b,),2,当且仅当,a=b,时,等号成立,所以,|,AB,|,(,a,+,b,),所以,=,即,的最大值为,.,【名师点评】解题的关键是利用抛物线的定义对,|,MN,|,进行转化,然后结合基本不等式求最值,.,9,.,已知点,M,(20,40),抛物线,y,2,=,2,px,(,p,0),的焦点为,F.,若对于抛物线上的任意点,P,|,PM,|+|,PF,|,的最小值为,41,则,p,的值为,.,答案,9.42,或,22,解析 根据点,M,与抛物线的位置分类讨论,:(1),当点,M,(20,40),位于抛物线内时,如图,1,过点,P,作抛物线准线的垂线,垂足为,D,则,|,PF,|,=,|,PD,|,|,PM,|+|,PF,|,=,|,PM,|+|,PD,|,当点,M,P,D,共线时,|,PM,|+|,PF,|,的值最小,.,由最小值为,41,得,20+,=,41,解得,p=,42,.,(2),当点,M,(20,40),位于抛物线外时,如图,2,当点,P,M,F,共线,(,P,在,MF,上,),时,|,PM,|+|,PF,|,的值最小,.,由最小值为,41,得,=,41,解得,p=,22,或,58,.,当,p=,58,时,y,2,=,116,x,此时点,M,(20,40),在抛物线内,故舍去,.,综上,p=,42,或,22,.,10,.,在平面直角坐标系,xOy,中,已知圆,F,:(,x,2),2,+,y,2,=,1,动圆,M,与直线,l,:,x,=,1,相切且与圆,F,外切,.,(1),记圆心,M,的轨迹为曲线,C,求曲线,C,的方程,;,(2),已知,A,(2,0,),曲线,C,上一点,P,满足,|,PA,|,=,|,PF,|,求,PAF,的大小,.,答案,10,.,解析,(1),设圆心,M,(,x,y,),圆,M,的半径为,r.,由题意知,|,MF,|,=r,+1,点,M,到直线,l,的距离为,r.,方法一,点,M,到点,F,(2,0),的距离等于点,M,到定直线,x,=,2,的距离,根据抛物线的定义,知曲线,C,是以,F,(2,0),为焦点,直线,x,=,2,为准线的抛物线,.,故曲线,C,的方程为,y,2,=,8,x,.,方法二,因为,|,MF,|,=,=r,+1,|,x,+1|,=r,x,1,所以,=x,+2,化简得,y,2,=,8,x,故,曲线,C,的方程为,y,2,=,8,x,.,(,2),方法一,设,P,(,x,0,y,0,),由,|,PA,|,=,|,PF,|,得,(,x,0,+2),2,+,=,2(,x,0,2),2,+,又,=,8,x,0,所以,x,0,=,2,故,P,(2,4,),所以,直线,PA,的斜率,k,PA,=,1,故,PAF=,.,方法,二,过点,P,向直线,x=,2,作垂线,垂足为,Q.,由抛物线的定义,知,|,PQ,|,=,|,PF,|,所以,|,PA,|,=,|,PQ,|,在,APQ,中,因为,PQA=,所以,sin,QAP=,=,所以,QAP=,故,PAF=,.,【名师点评】求曲线方程的一般方法,(1),直接法,:,把题设条件直接翻译成含,x,y,的等式就可得到曲线的方程,.,(2),定义法,:,从曲线定义出发,直接写出方程,或从曲线定义出发建立关系式,从而求出方程,.,(3),相关点法,:,如果动点,P,(,x,y,),依赖于另一动点,Q,(,a,b,),而点,Q,又按某种规律运动,则可先用,x,y,表示,a,b,再把,a,b,代入它满足的条件,从而得到动点,P,的轨迹方程,.,11,.,已知以向量,v,=,(1,),为方向向量的直线,l,过点,(0,),抛物线,C,:,y,2,=,2,px,(,p,0),上的点,(0,0),关于直线,l,的对称点在该抛物线的准线上,.,(1),求抛物线,C,的方程,;,(2),设,A,B,是抛物线,C,上的两个动点,过点,A,作平行于,x,轴的直线,m,直线,OB,与直线,m,交于点,N,若,+,p,2,=,0(,O,为坐标原点,A,B,异于点,O,),试求点,N,的轨迹方程,.,答案,11.,解析,(1),由题意可得直线,l,:,y=,x,+,过原点且垂直于,l,的直线方程为,y,=,2,x,由,得,x=,.,因为抛物线上的点,(0,0),关于直线,l,的对称点在该抛物线的准线上,所以,=,2,所以,p=,2,所以抛物线,C,的方程为,y,2,=,4,x,.,(,2),设,A,(,x,1,y,1,),B,(,x,2,y,2,),N,(,x,y,),.,由,+,p,2,=,0,得,x,1,x,2,+,y,1,y,2,+4,=,0,.,又,=,4,x,1,=,4,x,2,代入上式,解得,y,1,y,2,=,8,又直线,ON,:,y=,x,即,y=,x.,由,及,y=y,1,得点,N,的轨迹方程为,x,=,2(,y,0),.,【易错点拨】本题中由于直线,m,与,x,轴平行而不重合,故点,N,不可能在,x,轴上,求得轨迹方程后需排除轨迹与,x,轴的交点,.,课时,2,抛物线的简单几何性质,第三节抛物线,教材必备知识精练,知识点,1,抛物线的几何性质及其应用,1.,以,x,轴为对称轴,顶点为坐标原点,焦点与原点之间的距离为,2,的抛物线方程是,(,),A,.y,2,=,8,x,B,.y,2,=,8,x,C,.y,2,=,8,x,或,y,2,=,8,x,D,.x,2,=,8,y,或,x,2,=,8,y,答案,1.C,依题意,设抛物线的方程为,y,2,=,2,px,(,p,0),.,因为焦点与原点之间的距离为,2,所以,=,2,所以,2,p=,8,所以抛物线方程为,y,2,=,8,x,或,y,2,=,8,x,.,故选,C,.,知识点,1,抛物线的几何性质及其应用,2,.,已知抛物线,y,2,=,2,px,(,p,0),的准线与圆,C,:(,x,+1),2,+(,y,2),2,=,9,相切,则,p=,(,),A.2B.4,C.8,D.16,答案,2.C,抛物线,y,2,=,2,px,(,p,0),的准线为,x=,.,由题意知直线,x=,与圆,C,:(,x,+1),2,+(,y,2),2,=,9,相切,所以,=,13,解得,p=,8,故,选,C,.,知识点,1,抛物线的几何性质及其应用,3,.2022,江西赣州高三二模,抛物线,x,2,=,2,py,(,p,0),与椭圆,=,1,交于,A,B,两点,若,AOB,的面积为,(,其中,O,为坐标原点,),则,p=,(,),A.2B.3,C.4,D.6,答案,3.B,由抛物线与椭圆的对称性,知,A,B,关于,y,轴对称,不妨设,A,(,x,0,y,0,),B,(,x,0,y,0,)(,x,0,0),.,因为,AOB,的面积为,所以,S,AOB,=,2,x,0,y,0,=,=,.,又,=,1,即,=,12,所以,12,+36,=,0,解得,=,6,则,p=,3,.,知识点,1,抛物线的几何性质及其应用,4,.,已知抛物线的离心率为,e,焦点为,(0,e,),则抛物线的标准方程为,.,答案,4.,x,2,=,4,y,解析 由,e=,1,得焦点为,(0,1),所以抛物线的标准方程为,x,2,=,4,y,.,知识点,1,抛物线的几何性质及其应用,5,.2022,天津一中高二上期中,已知抛物线,C,:,y,2,=,2,px,(,p,0),的准线为,x,=,1,.,若,M,为,C,上的一个动点,N,(3,0),则,|,MN,|,的最小值为,.,答案,5.2,解析 由题意知,p=,2,所以抛物线,C,:,y,2,=,4,x.,设,M,(,x,0,y,0,)(,x,0,0),.,由题意知,=,4,x,0,则,|,MN,|,2,=,(,x,0,3),2,+,=,(,x,0,3),2,+4,x,0,=,(,x,0,1),2,+8,8,当,x,0,=,1,时,|,MN,|,2,取得最小值,8,所以,|,MN,|,的最小值为,2,.,知识点,1,抛物线的几何性质及其应用,6,.2022,江苏省前黄高级中学学情检测,平面直角坐标系中,xOy,中,已知顶点在原点,焦点在坐标轴上的抛物线恰好经过四个点,(1, 1),(2,),(2,1),(4,2),中的两个,则该抛物线的焦点坐标可以是,.,答案,6,.(,0)(,答案不唯一,),解析 因为题中的四个点均在第一象限,所以抛物线的方程为,y,2,=,2,px,(,p,0),或,x,2,=,2,py,(,p,0),.,若抛物线的方程为,y,2,=,2,px,(,p,0),将,(1,1),代入得,p=,则,y,2,=x,此时点,(4,2),在抛物线上,符合题意,所以抛物线的焦点坐标为,(,0),.,(,焦点坐标还可以是,(0,2,),.,),知识点,2,直线,与抛物线的位置关系,7,.,已知抛物线的方程为,y,2,=,8,x,若过点,Q,(2,0,),的直线,l,与抛物线有公共点,则直线,l,的斜率的取值范围是,(,),A,.1,1,B,.1,0,)(0,1,C,.(,1,1,+),D,.(,1,)(1,+,),答案,7.A,由题意知,直线,l,的斜率存在,设直线,l,的方程为,y=k,(,x,+2),代入抛物线方程,消去,y,并整理,得,k,2,x,2,+(,4,k,2,8),x,+4,k,2,=,0,.,当,k=
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