拉氏变换及拉氏反变换

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,2.2,拉氏变换及拉氏反变换,拉氏变换的定义,几种典型函数的拉氏变换,拉氏变换的主要定理,拉氏反变换,拉氏变换在控制工程中的应用,2.2.1,拉氏变换的定义,概述,对于利用微分方程表达的数学模型形式，采用手工计算的方式求解是很烦琐的。利用拉氏变换，可将微分方程转换为代数方程，使求解大为简化，故拉氏变换是分析机电控制系统的基本数学方法之一。在此基础上，进一步得到系统的传递函数。,2.2.1,拉氏变换的定义,概述,拉氏变换实际上是一种函数变换。关于函数的变换我们在初等数学中也曾经用过。例如，用对数的方法就可以把乘、除的运算变成加、减的运算，乘方、开方的运算变成乘、除的运算。例如，,拉氏变换亦与此相似，即把微分方程变换为代数方程求解。,2.2.1,拉氏变换的定义,定义,对于时间函数,f,（,t,），如果满足,当,t0,时，,f,（,t,）,=0,；,当,t0,时，实函数,f,（,t,）的积分 在,s,的某一域内收敛，则定义,f,（,t,）的拉氏变换为,并记作 ，其中算子,s,为复数，即,F(s),称为,f(t),的象函数；,f(t),称为,F(s),的原函数。,在拉氏变换中，,s,的量纲是时间的倒数，即,t,-1,；,F(s),的量纲是,f(t),的量纲与时间,t,的量纲的乘积。,2.2.2,几种典型函数的拉氏变换,单位阶跃函数,1(t),的拉氏变换,单位阶跃函数的定义为,1,（,t,）,=,由拉氏变换的定义得,0 t 0,1 t0,2.2.2,几种典型函数的拉氏变换,单位脉冲函数,(t),的拉氏变换,单位脉冲函数的定义为,(t)=,， ，且,(t),有如下特性,式中,f(0)t=0,时刻的,f(t),的函数值。,由拉氏变换的定义得,0 t0,1 t=0,2.2.2,几种典型函数的拉氏变换,单位斜坡函数的拉氏变换,单位斜坡函数的定义为,t(t)=,由拉氏变换的定义得,0 t 0,t t0,2.2.2,几种典型函数的拉氏变换,指数函数 的拉氏变换,2.2.2,几种典型函数的拉氏变换,单位加速度函数的拉氏变换,单位加速度函数的定义为,其拉氏变换为,2.2.2,几种典型函数的拉氏变换,正弦函数,sint,和余弦函数,cost,的拉氏变换,根据欧拉公式，有,则,2.2.2,几种典型函数的拉氏变换,由拉氏变换的定义及指数函数的拉氏变换得,附录,A,：常用函数拉氏变换对照表必须熟记、牢记（,Z,变换不做要求）。,2.2.3,拉氏变换主要定理,线性定理（叠加原理）,拉氏变换是一个线性变换，若有常数,k,1,、,k,2,，函数,f,1,(t),、,f,2,(t),，则,延迟定理（延时定理）,设,f(t),的拉氏变换为,F(s),，对任一正实数,a,，有,位移定理（衰减定理）,设,f(t),的拉氏变换为,F(s),，对任一常数,a,（实数或复数），有,相似定理,设,f(t),的拉氏变换为,F(s),，有任意常数,a,，则,2.2.3,拉氏变换主要定理,微分定理,设,f,(n),(t),表示,f(t),的,n,阶导数，,n=1,，,2,，,3,，,正整数，,f(t),的拉氏变换为,F(s),，则,2.2.3,拉氏变换主要定理,积分定理,设,f(t),的拉氏变换为,F(s),，则,2.2.3,拉氏变换主要定理,初值定理,设,f(t),及其一阶导数均为可拉氏变换的，则,f(t),的初值为,终值定理,设,f(t),及其一阶导数均为可拉氏变换的，则,f(t),的终值为,象函数的微分性质,tf(t),的拉氏变换为,2.2.3,拉氏变换主要定理,象函数的积分性质,的拉氏变换,卷积定理,设 ，若原函数,f(t),和,g(t),的卷积为,则它的拉氏变换可表示为,2.2.4,拉氏反变换,拉氏反变换的定义,拉氏反变换的计算方法,拉氏反变换的部分分式展开法,2.2.4.1,拉氏反变换的定义,已知象函数,F(s),，则原函数,f(t),为,式中,为大于,F(s),的所有奇异点实部的实常数，即,F(s),在该点不解析，也就是说,F(s),在该点及其邻域不处处可导。,2.2.4.2,拉氏反变换的计算方法,通过拉氏反变换的定义来计算原函数，显然，该方法是非常繁琐的。,对于简单的,F(s),，可直接利用附录,A,常用函数拉氏变换表,查出相应的原函数,f(t),。,对于复杂的,F(s),，通常采用部分分式法将其分解成若干个简单的标准形式的象函数之和，然后再通过查表，分别求出各个标准象函数的原函数，再应用叠加原理即可求出原函数,f(t),。,2.2.4.3,拉氏反变换的部分分式展开法,概述,在控制系统中，常遇到的象函数是复数,s,的有理代数分式，即,其中，使分母为零的,s,值称为极点，使分子为零的,s,值称为零点。,将象函数做适当变换，使分母最高阶的系数为,1,，则,2.2.4.3,拉氏反变换的部分分式展开法,根据实系数多项式因式分解定理，其分母,n,次多项式应该,n,个根，可分解为因式相乘，即,2.2.4.3,拉氏反变换的部分分式展开法,X(s)=0,无重根的情况,将 化为部分分式，即,现在的任务就是确定,k,i,的值，,k,i,确定了，就可根据表,2-1,确定,f,（,t,）了。,k,i,可由下式求得,从而求出,f,（,t,）。,例,2-11,求 的拉氏反变换,解：,F(s),的部分分式为,2.2.4.3,拉氏反变换的部分分式展开法,X(s)=0,含有共轭复根的情况,将 化为如下部分分式，即,现在的任务是确定,k,i,，,k,1,，,k,2,按以下步骤求取：,将上式两端同时乘以,(s+j)(s+-j),，同时令,s=- -j,（或者同时令,s=- +j,），得,分别令上式两端实部、虚部分别相等，即可求出,k,1,，,k,2,。 可通过配方，化成正弦、余弦象函数的形式，然后求其反变换。,k,i,（,i=3,，,4,，,，,n,）仍然由公式 求得。,例,2-12,求 的原函数,解：,将等式两端同时乘以 ，并令 得,即,解 得,又,例,2-12,故,则,2.2.4.3,拉氏反变换的部分分式展开法,X(s)=0,含有重根的情况,设,X(s)=0,有,重根,s,1,，,式中,N=n-+1,k,2,，,k,3,，,，,k,N,等系数仍然按无重根的方法求，即,重根的系数,k,11,、,k,12,、,k,13,、,、,k,1,按下面的公式计算,2.2.4.3,拉氏反变换的部分分式展开法,然后查附录,A,表，即可得出,f(t),。,例,2-13,求象函数 的拉氏反变换,解：,求相关系数,例,2-13,F(s),的部分分式为,分别查表可求得,F(s),的拉氏反变换为,2.2.5,拉氏变换在控制工程中的应用,用拉氏变换求解线性微分方程,步骤,1,：对微分方程进行拉氏变换，将其转换为拉氏域,s,内的代数方程，即变微分方程为,s,变量的代数方程。,步骤,2,：对以,s,为变量的代数方程加以整理，得到微分方程求解的变量的拉氏表达式。,步骤,3,：对该拉氏表达式进行拉氏反变换，即求出微分方程在时间域,t,中的解。,用拉氏变换求传递函数,例,2-14,解方程 ，其中,解：利用微分定理对方程两边进行拉氏变换得,将 代入，并整理，得,对其进行拉氏反变换,查附录,A,得,