第三章 基本形体的投影

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,建筑工程制图,3,1,平面体的投影,3,2,曲面体的投影,3,3,平面与形体表面相交,3,4,直线与形体表面相交,3,5,两形体表面相交,第三章,基本形体的投影,2,基本形体,棱柱,棱锥,圆柱,圆锥,圆球,平面立体,：由平面图形围成的立体。,曲面立体,：由曲面或曲面与平面共同,围成的立体。,3,1,平面体的投影,基本几何体是由点、线、面等几何元素所构成，体的投影归根到底是点、线、面投影的综合。,3,a,b,c,c,a,b,A,B,C,一个投影,积聚,且反映底（顶）面实形，另外两,投影由,长方形,组合而成,。,（棱线平行）,3,1,平面体的投影,棱面,底面,棱线,c,b,a,顶面,平面立体的投影,棱柱,1,4,棱面投影,没有积聚性,。,投影由,三角形,组成。,3,1,平面体的投影,S,A,B,C,平面立体的投影,棱锥,2,s,a,c,b,c,b,a,s,s,a,c,b,5,a,b,c,c,a,b,c,b,a,注,积聚性法,判别点的可见性,。,3,1,平面体的投影,在棱柱,表面,上取点,m,k,k,s,m,k,s,(,m,),s,A,B,C,K,S,（,M,）,平面体的投影,棱柱,1,6,S,A,B,C,c,b,s,b,s,a,c,s,b,c,a,a,在棱锥,表面,上取点,注,辅助线法,线上定点法,3,1,平面体的投影,棱锥,2,平面体的投影,M,E,(,G,),e,m,e,m,(,g,),g,n,g,(,m,),n,n,7,3,1,平面体的投影,平面体上的点和直线的投影,1,、位于棱线或边线上的点,(,线上定点法,),当点位于立体表面的某条棱线或边线上时，可利用线上点的“从属性”直接在线的投影上定点，这种方法即为线上定点法，亦可称为从属性法。,2.,位于特殊位置平面上的点,(,积聚性法,),当点位于立体表面的特殊位置平面上时，可利用该平面的积聚性，直接求得点的另外两个投影，这种方法称为积聚性法。,3.,位于一般位置平面上的点,(,辅助线法,),当点位于立体表面的一般位置平面上时，因所在平面无积聚性，不能直接求得点的投影，而必须先在一般位置平面上做辅助线,(,辅助线可以是一般位置直线或特殊位置直线,),，求出辅助线的投影，然后再在其上定点，这种方法称为辅助线法。,8,【,例,1,】,已知四棱柱表面的折线,ABCD,的,V,面投影,完成,H,、,W,投影。,b,b,a,e,c,a,e,c,e,c,a,b,B,A,E,C,( ),9,【,例,2,】,补出挡土墙的水平投影及其表面上点的投影。,a,b,(,c,),a,b,a,c,A,B,c,b,10,3,2,曲面体的投影,曲面体的投影,曲面的形成：一条线运动的轨迹。,回转曲面的形成：由一条母线（直线或曲线）绕,一条固定的直线（轴）旋转所形成的曲面。,构成回转曲面的要素：母线和轴。,母线：运动的线（一个曲面上只有一条）。,素线：母线的任何一个位置的轨迹（无数条）。,纬圆：垂直于轴线的平面与曲面相交的圆。,曲面立体的表达方法：用曲面在相应投影方向的最外轮廓,线来表达曲面体的投影（曲面无棱线）。,E,S,11,3,2,曲面体的投影,曲面体的投影,圆柱,1,12,在,圆柱表面上取点,A,B,a,a,a,b,b,b,注,利用积聚投影求点,。,3,2,曲面体的投影,曲面体的投影,圆柱,1,13,【,例,3,】,已知圆柱表面的曲线,ABC,的,V,面投影,完成,H,、,W,投影。,y,y,1,b,a,b,c,1,a,b,1,c,c,a,14,2,圆锥,3,2,曲面体的投影,曲面立体的投影,15,s,s,s,S,在,圆锥表面上取点,E,e,e,方法之一,:,素线法,(,e,),3,2,曲面体的投影,二、曲面立体的投影,2,圆锥,16,S,e,s,s,s,方法之二,:,纬圆法,E,e,在,圆锥表面上取点,3,2,曲面体的投影,曲面体的投影,2,圆锥,(,e,),17,【,例,4,】,已知圆锥表面的点,A,、,C,的,V,面投影及,B,点的,H,面投影,完成其它投影,。,a,c,b,a,(,b,),(,c,),b,c,a,18,a,（,c,）,b,（,c,）,a,a,b,b,c,【,例,5,】,已知圆锥表面的点的一个投影,完成其它投影。,19,【,例,6,】,已知圆锥表面的曲线,ABC,的,V,面投影,完成其它投影。,y,y,1,a,c,b,a,b,1,c,a,b,1,c,20,3,圆球,3,2,曲面体的投影,曲面体的投影,21,在球表面上取点,M,m,注,纬圆法,求点,。,3,圆球,3,2,曲面体的投影,曲面立体的投影,m,m,22,3,2,曲面体的投影,在球表面上取点,M,m,m,注,纬圆法,求点,。,3,圆球,曲面体的投影,m,23,y,y,【,例,7,】,已知球体表面的点,M,、,N,的,V,投影,，完成其它投影。,m,m,(,n,),m,n,球体表面的特殊点,可利用轮廓素线的,投影直接求出。,(,n,),24,25,截平面：切割立体的平面；,截交线：截平面与立体表面的交线；,3,3,平面与形体表面相交,截平面,截交线,切割体,截交线,截断面,概述,截断面：由截交线围成的平面。,截交线的特性：共有性、封闭性,此问题归结为平面截切立体的问题：,26,3,3,平面与形体表面相交,平面与平面体表面相交,截交线为,封闭的平面折线,平面多边形。,其各条边,棱面（或底面）与,截平面的交线；,其各顶点,棱线（或底边）,与截平面的交点,。,求解方法：,交点法：求平面立体的棱线与截平面之交点，,再将同一棱面上的交点两两相连。,交线法：求平面立体的棱面与截平面的交线。,可见性的判别：可见棱面上的截交线可见，否则不可见。,A,C,B,27,【,例,8,】,求截平面,P,与三棱柱的截交线。,V,P,3,1,2,1,2,3,1,3,2,28,P,V,注意：可见性的判别和各点的连接,【,例,9,】,求四棱柱切割体的,H,、,W,面投影。,1,4,3,4,2,5,1,3,5,4,3,1,2,5,2,29,P,H,s,a,b,c,a,b,c,s,P,V,s,s,a,b,c,a,c,b,注意：同一棱面上的两点才能连接。,【,例,10,】,求截平面,P,与三棱锥的截交线。,1,2,3,1,2,3,2,3,1,4,1,2,3,4,30,【,例,11,】,已知四棱锥切割体的正面投影，求其它两投影。,1,y,2,y,1,y,2,y,1,2,(3,),4,(5,),6,6,4,5,3,1,2,1,3,2,5,4,6,31,注意：,切口的形成及各断面的形状。,步骤：,1,、求截交线的投影。,2,、求相邻截平面之交线。,3,、补全棱线的投影。,4,、判别可见性。,【,例,12,】,已知四棱锥切割体的正面投影，求其它两投影。,7,8,1,1,2,5,2,5,3,4,3,4,7,8,7,8,P,V,3,4,1,5,2,6,6,6,Q,V,32,【,例,13,】,已知切割体的,V,面投影，完成其,H,、,W,面投影。,注意：,同一棱面上的两点相连接,s,s,s,a,b,c,a,b,c,b,a,c,4,3,6,1,2,5,2,3,4,2,1,6,5,1,3,5,6,4,33,1,2,3,4,7,8,6,5,8,7,【,例,14,】,已知棱柱切割体的两投影，求,H,面投影。,步骤：,1,、,根据“三等关系”,作出原形体的投影。,2,、利用积聚投影和类似形的概念，作出断面的投影。,3,、补全棱线的投影。,1,2,3,4,5,6,6,5,8,7,4,3,1,2,34,【,例,15,】,求作五棱柱切割体的,H,、,W,面投影。,1,2,3,4,5,1,4,5,2,3,3,2,1,4,5,35,【,例,16,】,求作五棱柱切割体的,H,、,W,面投影。,36,截交线为封闭的平面曲线,(,含直素线,),，或平面曲线和直线组成。,平面与曲面体表面相交,3,3,平面与形体表面相交,求解的方法：素线法，纬圆法,P,特殊点,P,特殊点：轮廓线上的点、椭圆的长短轴的端点等,37,平面与圆柱体表面相交,根据截平面的不同位置有三种情况：,3,3,平面与形体表面相交,椭圆,圆,矩形,P,P,P,38,【,例,17,】,求正垂面,P,截割圆柱的截交线。,P,V,8,2,7,3,4,5,1,6,5,6,1,4,8,7,2,3,5,(,6,),3,(,4,),7,(,8,),2,1,39,y,y,y,y,5,3,1,2,4,9,8,7,6,【,例,18,】,求圆柱切割体的投影。,1,2,(3),7,3,9(5),6,8(4),1,2,6,(7),4,(5),8,(9),40,平面与圆锥体表面相交,3,3,平面与形体表面相交,P,圆,P,椭圆,P,三角形,P,P,平行于圆锥上一条素线,抛物线,P,P,平行于圆锥上两条素线,双曲线,根据截平面的不同位置有五种情况,：,41,P,V,【,例,19,】,求正垂面,P,截割圆锥的截交线。,1,2,4,6,8,1,2,3,5,7,1,8,6,4,2,3,5,7,注意：,必须求出截交线上的,形状控制点,，以便准确确定截交线的形状。,7,(,8,),5,(,6,),3,(,4,),42,P,W,P,H,【,例,20,】,求平面,P,截割圆锥的截交。,3,1,4,5,3,4,(5),1,(2),1,4,3,5,2,2,43,【,例,21,】,求圆锥切割体的投影。,2,4,6,8,10,9,7,5,1,3,5,7,6,4,2,1,2,(,3,),10,4,(,5,),6,(,7,),8,(,9,),1,3,10,步骤,：,1,、求截交线的投影。,2,、求相邻截平面之交线。,3,、判别可见性。,9,8,44,【,例,22,】,已知圆柱切割体的正面投影，求其它两投影。,2,1,3,5,4,2,3,4,5,1,6,6,1,5,3,2,4,6,注意：,必须求出截交线上的,形状控制点,，以便准确确定截交线的形状。,7,8,7,8,7,8,45,【,例,23,】,求圆柱切割体的,H,、,W,面投影。,4,3,2,1,1,(,2,),3,(,4,),1,(,3,),2,(,4,),46,【,例,24,】,求圆柱切割体的,H,、,W,面投影。,1,(,2,),3,(,4,),1,(,3,),2,(,4,),4,3,2,1,47,平面与球体表面相交,截交线为圆，但其投影可能是圆、椭圆或直线（积聚）。,3,3,平面与形体表面相交,P,V,R,R,R,H,R,W,48,3,4,【,例,25,】,求铅垂面,P,与球面的截交线。,分析,：,通过纬圆法求解，必须求出截交线,椭圆中各投影的,长短轴,，及,最外轮廓线上的点,。,7,8,49,P,V,【,例,26,】,求正垂面,P,与球面的截交线。,分析,：,通过纬圆法求解，必须求出截交线,椭圆中各投影的,长短轴,及,最外轮廓线上的点,。,7,(,8,),6,7,1,3,(,4,),5,(,6,),3,2,1,8,4,1,2,4,3,5,2,7,8,5,6,50,【,例,27,】,求球切割体的投影。,1,2,(,3,),6,(7,),8,7,5,1,4,(,5,),8,6,4,1,7,8,3,5,6,4,2,3,2,51,直线与立体表面相交所得的交点称为,贯穿点,(,两个,),。,贯穿点的求解方法：辅助平面法,1.,经过已知直线作一个辅助截平面；,2.,求出此辅助截平面与已知立体的截交线；,3.,确定所求截交线与已知直线的交点。,辅助截平面：一般选择投影面的垂直面,3,4,直线与形体表面相交,贯穿点的特性及可见性的判别,P,L,M,N,特殊情况,(,有积聚性,),可直接求出贯穿点。,可见性判别,:,直线穿进形体内部的那一段线不需要画出，其余与,形体重影的线段应判别可见性，不可见的画虚线。,52,【,例,28,】,求直线,AB,与三棱锥的贯穿点。,步骤：,1.,过已知直线,AB,作一个辅助截平面,P,V,；,2.,求出,P,V,与已知立体的截交线；,3.,确定所求截交线与已知直线的交点,M,、,N,。,4.,判别可见性。,1,2,3,1,2,3,m,(n,),m,n,c,s,a,b,a,c,s,b,d,e,d,e,P,V,53,【,例,29,】,求直线,AB,与三棱柱的贯穿点。,a,b,a,b,m,n,m,(,n,),54,【,例,30,】,求直线,AB,与四棱椎的交点。,b,a,b,a,m,n,n,P,V,m,55,a,a,b,b,【,例,31,】,求直线,AB,与圆柱的贯穿点。,n,n,m,m,56,【,例,32,】,求直线,AB,与圆锥的贯穿点。,b,a,m,n,(,m,n,),a,(,b,),57,【,例,33,】,求直线,AB,与圆锥的贯穿点。,b,a,b,a,n,(m,),m,n,P,V,58,【,例,34,】,求直线,AB,与,球的贯穿点。,a,(,b,),a,b,n,m,(,m,n,),59,【,例,35,】,求直线,AB,与,球的贯穿点。,a,a,b,(m),b,n,P,V,m,n,60,相贯线的特性：,1.,共有性：相贯线是两立体表面的交线也是其表面的分界线。,2.,封闭性：相贯线一般为封闭的空间折线或空间曲线，特殊情况下,相贯线为平面图形。,3,5,两形体表面相交,相贯线的分类及特性,两立体相交，称为相贯，其表面交线称为相贯线。,相贯的分类：,互贯,全贯,3,5,两形体表面相交,两,平面体,表面相交,相贯线由空间折线组成，特殊情况下相贯线为平面折线。,求解方法：,交点法：求出两立体中所有参与相贯的棱线与另一立,体棱面的贯穿点。可归结为求解直线与平面的交点。,交线法：直接求出两平面立体棱面的交线。,连点的原则：,连点时，只有当两个折点对每一个立体来说都位于同一棱面上才能,相连接（同一折点不能连三条相贯折线）。,判别相贯线的可见性：,由相贯线所在的棱面的可见性决定，两个都可见的棱面相交出的相,贯线才可见，只要有一个棱面是不可见的，则为不可见。,62,【,例,36,】,求两个三棱柱的相贯线。,1,1,3,2,4,2,3,4,5,6,5,6,E、 F、 G,A、C 、B,X,X,X,（,1,）互贯，一组相贯线。,（,2,）求,A,、,B,、,F,三条棱线,的六个贯穿点。,（,3,）连点并判别可见性。,（,4,）补全投影轮廓线。,c,b,a,c,a,b,a,c,b,f,g,g,e,e,f,e,g,f,交点法：,3,4,1,2,56,63,【,例,36,】,求两个三棱柱的相贯线。,64,g,e(g,),f,s,c,b,a,c,b,f ,(,g,),d, (,e,),s,b,a,e,s,a,c,f,d,d,【,例,37,】,求三棱锥与四棱柱的相贯线。,1,3,P,V,R,V,1,2,3,4,1,4,2,3,4,全贯，两组相贯线,2,65,4,b,a,d,c,a,d,c,b,g,g,f,e,e,f,1,2,3,5(6),1,2,3,4,5,6,【,例,38,】,求三棱锥与三棱柱的相贯线。,66,【,例,39,】,求作垂直于正面的长方体和正三棱锥的相贯线。,（,1,）全贯，两组相贯线。,P,V,Q,V,（,2,）四棱柱的,V,面投影积聚。,（,3,）求四棱柱的四条棱线及,三棱锥的,SB,棱线的,10,个,贯穿点。,（,4,）连点并判别可见性。,（,5,）补全投影轮廓线。,1,(,7,),2,3,(,8,),4,(,9,),6,(,10,),5,s,a,b,c,s,b,c,a,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,s,7,(,8,),1,(,3,),2,9,(,10,),4,(,6,),5,a,(,c,),b,67,【,例,40,】,求正三棱锥的贯穿孔。,P,V,Q,V,s,a,b,c,s,b,c,a,s,a,(,c,),b,68,【,例,41,】,求带穿孔的,四棱柱的投影图。,1,2,3,4,1,(3),2,4,1,3,2,(,4,),69,2,(1,),R,V,【,例,42,】,求三棱柱与三棱锥的相贯线,。,e,g,f,g,f,s,c,b,a,c,b,g,f,e,s,b,a,e,s,a,c,3,3,1,2,4,5,6,6,7,7,5,(4,),P,V,1,(,4,),2,(,5,),3,6,(7,),70,平面体和曲面体,表面相交,平面立体与,曲面立体,相交，其相贯线由若干平面曲线（或与直线段）构成的空间曲线组成。,求解相贯线一般是求作：,1.,平面与曲面立体的截交线；,2.,棱线与曲面立体的贯穿点或曲面立体的素线与平面立体棱面的贯穿点。,特殊情况：,1.,若两个投影有积聚性时可直接求出第三投影。,2.,若立体在一个投影有积聚性时可借助在另一立体的表面上取点、取线的方法求出。,连点原则和相贯线可见性的判别方法同上,3,5,两形体表面相交,71,【,例,43,】,求三棱柱与圆锥的相贯线。,利用在圆锥表面上取点的方法求解,1,1,2,3,5,6,4,3,6,5,2,4,6,3,1,5,2,7,7,4,72,73,【,例,44,】,求平面立体与曲面立体的相贯线。,利用在棱锥表面上取点的方法求解,1,2,7,6,1,3,5,4,2,6,7,3,4,5,74,【,例,45,】,求棱柱与圆柱的相贯线。,3,(,4,),5,(,6,),7,1,1,(,2,),7,1,3,7,3,5,5,2,4,6,2,4,6,已知相贯线的两投影求第三投影,75,【,例,46,】,求圆锥与三棱柱的相贯线。,P,V,R,V,Q,V,3,1,2,4,5,3,1,2,4,5,3,4,“,(5,),1,(2,),76,两曲面立体,的相贯线，是两曲面的公共点的连线，在一般情况下，是封闭的空间曲线；特殊情况下，是平面曲线。,相贯线的求解方法,:,曲面体体表面定点的方法求出两个形,体的共有点，然后依次光滑地连结而,成。,连点原则及可见性的判断：同前,3,5,两形体表面相交,两曲面体表面相交,77,【,例,47,】,求圆锥与圆柱的相贯线。,2,4,3,1,5,7,8,10,6,9,1,2,3,(,4,),5,(,6,),7,(,8,),9,(,10,),78,【,例,48,】,求,直立圆柱与水平半圆柱的相贯线,1,4,3,2,5,1,2,3,4,5,1(2),3,4(5),79,【,例,49,】,求两圆柱面的相贯线,1,2,(,3,),4,(,5,),2,1,4,1,4,2,3,5,3,5,80,解题步骤,1.,分析,:,相贯线的侧面投影已知，可利用圆锥体表面定点的方法定出共有点；,2.,求出相贯线上的特殊点及若干一般点；,3.,光滑且顺次地连接各点，作出相贯线，并且判别可见性；,4.,整理轮廓线。,【,例,50,】,求圆锥与圆柱的相贯线。,y,y,y,y,4,3,5,4,3,1,2,1,2,1,2,5,5,3,4,81,【,例,50,】,求圆锥与圆柱的相贯线。,示意图,82,【,例,51,】,求作圆柱与半球的相贯线。,（,1,）全贯，未惯出，一组相贯线。,（,2,）直立圆柱的,H,面投影积聚，,相贯线的,H,面投影已知。只,需求相贯线的,V,面投影。,（,3,）求一系列特殊点及一般点。,（,4,）连点并判别可见性。,83,b,a,d,c,a,d,c,b,g,g,f,e,e,f,84,R,V,e,g,f,g,f,s,c,b,a,c,b,g,f,e,s,b,a,e,s,a,c,85,