可数集合(实变函数)

Main Slide Title,Level One,Level Two,Level Three,Level Four,Level Five,临沂师范学院数学系,实变函数论,Real Analysis,数学科学与技术学院,曹丽霞,课题引入,第,三,节中，,将有限集合,“,元素个数,”,的概念推广到,无限集合,通过在集合间建立一一映射,引入了集合的基数的概念,.,大家比较熟悉、比较重要的三数集,-,自然数集合,N,、,有理数集,Q,和实数集合,R,都是无限集合,.,它们给我们直观的印象,:,自然数集合,N,“,稀稀拉拉”排列在数轴上，有理数集,Q,“,密密麻麻,”,排列在数轴上，实数集合,R,“,密不透风”地构成实数直线，即数轴,.,那么，它们的基数有什么不同么？,下面我们将在第四节和第五节，对这些常见的无限集合的基数和运算作较为详尽的讨论,.,注：,A,可数,当且仅当,A,可以写成无穷序列的形式,a,1,a,2,a,3, ,1, 2, 3, 4, 5, 6,例如,：,定义,1,与自然数集,N,对等的集合称为可数集或可列集,，,其基数记为,a.,一,.,可数集的定义,2) 0,1,上的有理数全体,1.4,可数集合,a,1,a,2,a,3,a,4,a,5,a,6, ,假设这是一个无限集,M,我们可以取出其中一个点,a,1,显然,M,a,1,还是无限集,在,M,a,1,中,可以取出一点,a,2,显然,M,a,1,，,a,2,还是无限集,我们可以取出一个可数子集,a,1,a,2,a,3,.,(,即可数集是无限集中具有最小势的的集合,),二,.,可数集的性质,定理,1,任何无限集合均含有可数子集,可数集的任何无限必有可数集,从而可数集合的任可子集或为有限集或为可数集,定理,2,定理,3,有限集与可数集的并仍为可数集,可数集与可数集的并仍为可数集,推论,设,是有限集或可数集,则,也是有限集或可数集,但如果至少有一个时，,可数集。,必为,证明,:,设,A=,a,1, a,2, a,3, a,4, a,5, a,6, ,B=,b,1, b,2, b,3, ,b,n,C= c,1, c,2, c,3, c,4, c,5, c,6, ,（,1,）首先假设,A,，,B,，,C,两两不交，则,AB=,b,1, b,2, b,3, ,b,n,，,a,1, a,2, a,3, ,AC=,c,1,a,1,c,2,a,2,c,3,a,3, ,它们均为可数集。,(2),一般情形,.,则,令,且,但,B*,作为,B,的子集仍为有限或可数集,(,定理,2),这样就归结到,(1),的情形了,.,证毕,.,当,A,i,互不相交时,按箭头所示,我们得到一个无穷序列,;,当,A,i,有公共元时,在排列的过程中除去公共元素；,因此,是可数集,.,A,1,A,2,A,3,A,4,证明,:,定理,4,可数个可数集的并仍为可数集,., ,-2 -1 0 1 2 3 4,首先,0,1,中的有理数全体,=0,1,1/2,1/3,2/3,1/4,3/4,1/5,2/5, ,是可数集，,例,1:,全体有理数之集,Q,是可数集,所以,Q,是可数集（可数个可数集的并）,说明,:,有理数集在直线上稠密,但仍与稀疏分布在直线上的整数集有,相同多,的点,(,对等意义下,).,定理,6,有限个,可数集的,卡氏积,是可数集,设,A,，,B,是可数集，则,AB,也是可数集,从而,AB,也是可数集（可数个可数集的并）,利用,数学归纳法,即得有限个乘积的情形,x,固定，,y,在变,证明：平面上的圆由其圆心,(,x,y,),和半径,r,唯一,决定,从而,r,(,x,y,),例,2,平面上坐标为有理数的点全体所成的集为一可数集；平面上以有理点为圆心，有理数为半径的圆全体,A,为可数集。,元素,例,3,是由,个正整数所组成的,其全体成一可数集,.,整系数多项式,例,4,的全体是一可数集,.,事实上,先固定,，由定理,6,，整系数的,，由定理,6,，整系数的,的全体是一可数集，再用定理,4,即得。,次多项式,每个多项式只有有限个根，所以得下面的定理。,整系数多项式方程的实根称为代数数；,不是代数数的实数成为超越数。,设,P,是,整系数多项式全体所成之集,P(n),是,n,次整系数多项式全体,例,5,代数数全体是可数集,由代数基本定理知,任意整系数多项式,至多有有限个实根，,从而结论成立,.,有关超越数的说明,1874,年,Cantor,开始研究无限集的计数问题,;,1873,年,C.,埃尔米特证明了,e,是超越数,;,1882,年,Lindemann,证明了,是超越数,;,1934,年,A.O.,盖尔丰得证明了若,不是,0,和,1,的代数数，,是无理代数数,则,是超越数,(,此问题为,Hilbert,于,1900,年提出的,23,个问题中的第,7,问题,),。,我们证明了代数数全体是可数集合，,通过后面可知道超越数全体是不可,数集，故超越数比代数数多得多,假设这是集合,A,从中可以取出可数子集,M,很容易将,M,一分为二,M,1,M,2,，,使得两个都是可数集,AM,M=,a,1, a,2, a,3, a,4, a,5, a,6,M,1,=a,1, a,3, a,5, ,M,2,=,a,2, a,4, a,6, ,取,A*=(AM)M,1,=A-M,2,即可,例,6,说明：由此我们可得任一无限集一定存在它的一个真子,集与它有相同多的元素个数,问,:,为什么,不直接令,A*=AM,?,