第5章克里格法

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第五章 克里金法,提 纲,克里金法概述,线性克里金法,简单克里金,普通克里金,泛克里金法,非线性克里金法,对数正态克里金法,指示克里金法,析取克里金法,协同克里金法,一、克里金法概述,1,、克里金法概念及种类,概念：,又称为,空间局部估计,或,空间局部插值法,克里金法是建立在变异函数理论及结构分析基础上，在有限区域内对区域化变量的取值进行线性无偏最优估计的一种方法。,主要类型：,简单克里金法,普通克里金法,Ordinary Kriging,泛克里金法,Universal Kriging,对数正态克里金法,Logistic Normal Kriging,指示克里金法,Indicator Kriging,概率克里金,Probability Kriging,析取克里金法,Disjuctive Kriging,协同克里金法,Co-Kriging,2,、克里金估计量,设,x,为研究区域内任一点,待估点的估计值,克里金估计量,权重系数,待估点,影响范围内,的,有效样本值,（,1,）无偏估计,（,2,）最优估计,显然，估计的好坏取决于权重系数,i,3,、克里金法,估值过程,（,1,）数据检查,（,2,）模型拟合,（,3,）模型诊断,（,4,）模型比较,当区域化变量,Z(x),的,EZ(x)=m,已知，则称为简单克里金法,若,Z(x),的,EZ(x),未知，则称为普通克里金法,二,、线性克里金法,1,、简单克里金法,设区域化变量,Z(x),满足二阶平稳假设，其数学期望为常数,m,，协方差函数,C,(,h,),和,变异函数,(,h,),存在且平稳。,现,要估计中心点在,x,0,的待估块段,V,的均值,Z,V,(,x,),，,Z,V,(,x,),表达式,为,由于,E,Z,(,x,)=,m,已知,令,Y,(,x,)=,Z,(,x,)-,m,则,E,Y,(,x,)=,E,Z,(,x,)-,m,=,E,Z,(,x,)-,m,=0,待估块段新待估值,1,、简单克里金法,设在待估块段,V,附近有,n,个样点,x,i,(,i,=1,2,n,),其观测值为,Z(,x,i,) (,i,=1,2,n,),，则,观测值新变量为：,Y,(,x,i,)=,Z,(,x,i,)-,m,Y,(,V,),的估计值,Y,v,*,是,Y,(,x,i,) (,i,=1,2,n,),的线性组合,，则,目标：找出一组权重系数 ，使得,Y,v,*,成为,Y,(,V,),的线性、无偏、最优估计量,则估计,Z,(,V,),的问题转化为估计,Y,(,V,),的问题,1,、简单克里金法,在满足以下两个条件时，,Y,v,*,是,Y,(,V,),的线性、无偏、最优估计量。,（,1,）无偏性,由于,所以,则,Y,v,*,不需要任何条件即是,Y,(,V,),的无偏估计量。,（,2,）最优性,在满足无偏条件下，可推导估计方差公式为：,1,、简单克里金法,为使估计方差最小，需对上式求,i,的偏导数并令其为,0,整理得,简单,克里金,方程组：,用矩阵表示为：,将,简单,克里金,方程组,表达式带入估计方差表达式,得,简单,克里金,估计,方差表达式：,1,、简单克里金法,从简单,克里金,方程组的,n,个方程中便可求得,n,个权重系数,i,，则,Y,V,(,x,),的简单,克里金,估计量为：,简单,克里金,法的估计精度在很大程度上依赖于,m,值的准确度，但是通常情况下很难正确估计,m,值，从而导致简单,克里金,估计精度降低。,简单克里金法计算示例：,设某一区域气温数据满足二阶平稳假设，协方差函数和变异函数存在，所有采样数据的均值为,16.08,度，并将均值作为此区域化变量的数学期望值，将所有采样数据剔除数学期望值后拟合的变异函数模型为球状模型，如下所示。,现用简单,克里金,方法根据五个已知点的气温数据来估算,0,点处的气温值,1,、简单克里金法,2,、普通克里金法,设区域化变量,Z,(,x,),满足二阶平稳假设，其数学期望为,m,，为未知常数，协方差函数,C,(,h,),和变异函数,(,h,),存在且平稳。现要估计中心点在,x,0,的待估块段,V,的均值，即,设待估块段,V,附近有,n,个样点,x,i,(,i,=1,2,n,),其观测值为,Z,(,x,i,) (,i,=1,2,n,),，待估块段,V,的真值是估计邻域内,n,个信息值的线性组合，即,现要求出权重系数,i,(,i,=1,2,n,),，使,Z,*,V,(,x,),为,Z,V,(,x,),的无偏估计量，且估计方差最小。,2,、,普通克里金法,（,1,）无偏性条件,由于,若要满足无偏性条件，需,，则无偏性条件为：,即在权系数之和为,1,的条件下估计量是无偏的。,（,2,）最优性条件,即估计方差最小条件，在满足无偏性条件下，有如下估计方差公式,要求出在满足无偏性条件,下使得估计方差最小的权系数,i,(,i,=1,2,n,),，,这是个求条件极值问题。,2,、,普通克里金法,根据拉格朗日乘数法原理，建立拉格朗日函数,F,。,求出函数,F,对,n,个权系数,i,的偏导数，并令其为,0,，和无偏性条件联立建立方程组。,整理得普通,克里金,方程组,2,、普通克里金法,将解出的,i,(,i,=1,2,n,),带入估计量公式得到普通,克里金,估计量：,从普通,克里金,方程组可得：,将此式带入估计方差公式得,普通,克里金,估计方差，记为,：,普通,克里金,方程组和普通,克里金,估计方差也可用变异函数,(,h,),表示。,在,Z,(,x,),满足二阶平稳条件时，可采用协方差或变异函数表达的普通,克里金,方程组及,克里金,估计方差计算式进行求解计算；但在本证假设条件下，则只可采用变异函数的表达式进行求解计算。,2,、普通克里金法,为了书写简便和便于计算，普通,克里金,方程组和普通,克里金,估计方差均可用矩阵形式表示。,协方差函数表达的普通,克里金,方程组展开得,引入矩阵,或,普通,克里金,方程组,用矩阵形式表达为,：,或,权重系数,或,普通,克里金,估计,方差用矩阵表达为,：,或,2,、普通克里金法,普通克里金计算示例：,设某一区域气温数据满足二阶平稳假设，协方差函数和变异函数存在，拟合的变异函数模型为球状模型，如下所示。,数据如,下,，点的空间分布如图所示。现用普通,克里金,方法根据已知五个点的气温数据估算,0,点处的气温值。,3,、,泛克里金法,普通,克里金,法要求区域化变量,Z,(,x,),是二阶平稳或本征的，至少是准二阶平稳或准本征的。在此条件下，至少在估计邻域内有,E,Z,(,x,)=m,（常数）。然而实际中，许多区域化变量,Z,(,x,),在估计邻域内是非平稳的，即,E,Z,(,x,)=,m,(,x,),，,m,(,x,),称为漂移，这时就不能用普通,克里金,方法进行估计了，而是要采用泛,克里金,法进行估计。,所谓泛,克里金,法，就是在漂移的形式,E,Z,(,x,)=,m,(,x,),，和非平稳随机函数,Z,(,x,),的协方差函数,C,(,h,),或变异函数,(,h,),为已知的条件下，一种考虑到有漂移的无偏线性估计量的地统计学方法，这种方法属于线性非平稳地统计学范畴。,（,1,）漂移和涨落,漂移,：,非,平稳区域化变量,Z,(,x,),的数学期望，在任一点,x,上的漂移就是该点上区域化变量,Z,(,x,),的数学期望,。,漂移经常,用邻域模型来研究,。可,表达为：在给定的以点,x,为中心的邻域内的任一点，其漂移,m,(,x,),可用如下函数表示,。,式,中，,f,l,(,x,),为一已知函数；,a,l,为未知,系数,m,(,x,),通常采用多项式形式，在二维条件下，漂移可看成坐标,x,y,的函数。,涨落：,对于有漂移的区域化变量,Z(x),，假设可分解为漂移和涨落两部分，,式中，,m,(,x,) =,E,Z,(,x,),为点,x,处的漂移，,R,(,x,),称为涨落。,（,2,）,非平稳区域化变量的协方差函数和变异函数,1,）基本假设,假设,Z,(,x,),的增量,Z,(,x,),Z,(,y,),具有非平稳的数学期望,m,(,x,),m,(,y,),和非平稳的方差函数，即假设下式存在：,2,）,协方差函数和变异函数,当,Z,(,x,)=,m,(,x,)+,R,(,x,),时，,Z,(,x,),的协方差函数,C,(,x,y,),为：,Z,(,x,),的变异函数,(,x,y,),为：,（,3,）,Z,(,x,),的,泛,克里金,法,估计,设,Z,(,x,),为一非平稳区域化变量，其数学期望为,m,(,x,),，协方差函数为,C,(,x,y,),且已知，则,设,Z,(,x,),的漂移,m,(,x,),可表示为如下,k,+1,个单项式,f,l,(,x,)(,l,=0,1,2,k,),的线性组合。,已知,n,个样品点,x,i,(,i,=1,2,n,),，其观测值为,Z,(,x,i,) (,i,=1,2,n,),，现要用这些样品点估计邻域内任一点,x,的值,Z,(,x,),，,Z,(,x,),的泛,克里金,估计量为：,为使,Z,*,(,x,),为,Z,(,x,),的无偏最优估计量，需在以下两个条件下求解权重系数,i,(,i,=1,2,n,),。,（,3,）,Z,(,x,),的泛,克里金,法估计,1,）无偏性条件,若要满足无偏性条件，需,则,即对任一组系数,a,0,，,a,1,a,k,等式均成立，需,成立。这,k,+1,个子式称为无偏性条件。,（,3,）,Z,(,x,),的泛,克里金,法估计,2,）最优性条件,在满足无偏性条件下，用,Z,*,(,x,),估计,Z,(,x,),的泛,克里金,估计方差为：,将无偏性条件带入得,要求出在满足无偏性的条件下使得估计方差最小的权系数,i,(,i,=1,2,n,),，需根据拉格朗日乘数法原理，建立拉格朗日函数,F,。,（,3,）,Z,(,x,),的泛,克里金,法估计,求出函数,F,对,n,个权系数,i,的偏导数，并令其为,0,，和无偏性条件联立建立如下方程组。,整理得估计,Z,(,x,),的泛,克里金,方程组：,泛,克里金,方程组可用矩阵表示为：,其中,（,3,）,Z,(,x,),的泛,克里金,法估计,从泛,克里金,方程组可得以下两等式：,将等式带入估计方差公式可得泛,克里金,方差，记为,：,用变异函数,(,h,),表示如下：,（,4,）,泛,克里金,法,计算示例,设某一区域气温是非平稳的区域化变量，在南北方向（空间坐标的,y,方向）上存在线性漂移，即,。若已知其涨落满足二阶平稳假设，并且拟合的协方差函数模型为球状模型，如下所示。,现用表,51,所示数据，利用泛,克里金,法根据已知五个点的气温数据来估算,0,点处的气温值。,三、非线性克里金法,1,、,对数正态,克里金,法,如果区域化变量经对数变换后是正态分布或近正态分布，,则,对区域化变量进行精确估计的地统计学方法称为对数正态克立格法。,设区域化变量,Z,(,x,),服从对数正态分布，在待估点周围有,n,个样点,x,i,(,i,=1,2,n,),其观测值为,Z,(,x,i,) (,i,=1,2,n,),，区域化变量经对数变换后新变量为：,Y,(,x,)=,lnZ,(,x,),，,Y,(,x,),为正态分布。假定,Y,(,x,),满足二阶平稳假设，数学期望为,m,，协方差函数,C,(,h,),和变异函数,(,h,),存在且平稳。,基于对数变换后的采样点数据,Y,(,x,i,) (,i,=1,2,n,),，计算实验变异函数并进行变异函数模型的拟合和选择，然后利用简单克立格或普通克立格估计待估点,x,处的值,Y,*,(,x,),。,由于估计值,Y,(,x,),是对数变换后的数值，因此,对估计所得,Y,*,(,x,),需进行反变换。,2,、指示克里金法,实际研究中常常会需要获取研究区内研究对象大于某一给定阈值的概率分布，即要获知研究区内任一点,x,处随机变量,Z,(,x,),的概率分布。,还会碰到采样数据中存在特异值的问题。,（,特异值是指那些比全部数值的均值或中位数高的多的数值，其既非分析误差所致，也非采样方法等人为误差引起，而是实际存在于所研究的总体之中,）,。,指示克立格法就是为解决上述问题而发展起来的一种非参数地统计学方法。,指示克立格法不必去掉重要而实际存在的高值数据的条件下处理各种不同现象，并能够给出某点,x,处随机变量,Z,(,x,),的概率分布。,2,、指示克里金法,设一区域化变量,Z,(,x,),，对于任意给定的阈值,z,，引入指示函数,I,(,x,z,),，表达式如下：,指示克立格法步骤如下：,（,1,）确定一阈值，根据指示函数将原数据转换为,0,或,1,；,（,2,）利用转换的数据计算指示变异函数，并进行拟合；,（,3,）建立指示克立格方程组，计算待估点值。若把指示函数看做一普通区域化变量，也可直接由简单或普通克立格方法来计算待估点的值。,若选择多个阈值则需重复以上步骤。,3,、析取克里金法,析取克立格,法,：,假设,已知任意区域化变量（,Z,Z,）及（,Z,0,Z,）二维概率分布条件下，对待估点的值或待估点值超过给定阈值的概率进行估计的一种非线性地统计方法,。,估值,步骤,：,设,区域化变量,Z,(,x,),在待估点,x,0,周围有,n,个样点,x,i,(,i,=1,2,n,),其,观测,值,为,Z,(,x,i,) (,i,=1,2,n,),，,将原始数据转换为标准正态数据,对每个新变量,Y,(,x,i,)(,i,=1,2,n,),计算埃尔米特多项式的值,。,计算埃尔米特多项式系数，用埃尔米特多项式来拟合正态变形函数,。,计算待估点析取克立格值,四、协同克里金法,1,、,协同区域化变量理论,协同克立格法,：,是多元地统计学研究的基本方法，建立在协同区域化变量理论基础之上，利用多个区域化变量之间的互相关性，通过建立交叉协方差函数和交叉变异函数模型,，,用易于观测和控制的变量对不易观测的变量进行局部估计。,协同区域化：,在统计意义及空间位置上均具有某种程度相关性，并且定义于同一空间域中的区域化变量。,协同区域化变量可用一组,K,个相关的区域化变量,表示。观测前它是,K,维区域化变量的向量，即一个随机场，观测后，协同区域化变量是一个空间点函数，可以把,看成是上述,K,维向量的一个实现。,1,、,协同区域化变量理论,满足二阶平稳假设的协同区域化变量应满足：,（,1,）每一个协同区域化变量的数学期望存在且平稳：,（,2,）交叉协方差函数存在，且平稳：,满足内蕴假设的协同区域化变量应满足：,（,1,）每一个协同区域化变量增量的数学期望为,0,：,（,2,）对于协同区域化变量,，,交叉变异函数存在且平稳。即,2,、,交叉协方差函数和交叉变异函数,（,1,）,交叉协方差函数和交叉变异函数性质,1),当,k=k,时,，交叉协方差函数转化为协方差函数，交叉变异函数转化为变异函数。,即,2),交叉,变异函数,性质,交叉变异函数关于,k,和,k,对称，,即,交叉变异函数关于,h,和,-,h,对称，即,在普通克立格法中变异函数总是大于等于,0,，但交叉变异函数可以有负值。,3,),交叉,协方差,函数,性质,交叉协方差函数,关于,h,和,-,h,不对称,，,即,，但,当,h,0,时,，,k,和,k,顺序,不能随意颠倒，,即,当,h,=0,时,，交叉,协方差转化为直接协方差,。,2,、,交叉协方差函数和交叉变异函数,4,）,交叉协方差函数和交叉变异函数具有以下关系：,5,）,同一点两个变量点对点协同区域化变量的相关系数为：,2,、,交叉协方差函数和交叉变异函数,（,2,）,交叉协方差函数和交叉变异函数计算公式,设在点,x,和,x+h,处，分别测得两个区域化变量的观测值,Z,k,(,x,),、,Z,k,(,x,),、,Z,k,(,x+h,),、,Z,k,(,x+h,),，则交叉协方差函数计算公式为,:,交叉变异函数计算公式为：,2,、,交叉协方差函数和交叉变异函数,（,3,）,交叉,协方差函数和交叉变异函数计算,示例,采用表,51,、图,51,所示的气温和海拔高度数据，,以,h,=0,h,1,4,为,例，交叉协方差和交叉变异计算过程如下：,3,、,协同,克立,金,法估值,（,1,）,协同克立,金,估计量,（,2,）,协同克立,金法方程组,（,2,）,协同克立,金法方程组,1),无偏性条件,2),最优性条件,（,2,）,协同克立,金法方程组,对,F,求偏导数并令其为零，得协同克立格线性方程组：,（,2,）,协同克立,金法方程组,根据协同克立格方程组，协同克立格方差为：,若有多个变量，则求解,的协同克立格方程组为：,协同克立格方差为：,（,2,）,协同克立,金法方程组,要使协同克立格方程组具有唯一解的条件是：,（,3,）协同克里金法使用条件,（,4,）协同克里金,法计算示例,设某一区域有两个协同区域化变量：气温,u,、海拔高程,v,，均满足二阶平稳假设和内蕴假设，其中气温是所要估计的主变量。现在估计邻域内共有,5,个信息样品，如图,51,所示。假定,1,、,2,、,3,号点上有气温值，而,5,个点上均有次要变量海拔高程值，数据如表,56,所示。现拟利用协同克立格法估计,0,号点的气温值。,（,4,）协同克里金法计算示例,估值过程中，气温协方差,C,(,u,i,u,j,),根据简单克立,金,法计算示例的球状模型计算，海拔高程协方差,C,(,v,i,v,j,),根据式,(5.74),计算，气温海拔交叉协方差,C,(,u,i,v,j,),根据式,(5.75),计算，海拔气温交叉协方差,C,(,v,i,u,j,),根据式,(5.76),计算。,简单,克立,金,法计算示例的球状模型,：,复习思考题,请简述克立格法的概念及其种类。,请简述克立格估值的过程。,请比较反距离加权法和普通克立格法的异同。,将简单克立格方程组用变异函数进行表达，并写出相应的矩阵表达式，然后利用变异函数表达的矩阵来计算简单克立格法的计算示例。,用协方差函数表达的矩阵来计算普通克立格法的计算示例。,若一区域化变量的拟合模型为纯块金效应模型，请推导说明用普通克立格法进行估值时，参与插值的采样点的权重特点。,若普通克立格法的计算示例中，,1,号点的坐标为,(1099904.96, -337837.61),，即与,0,号点的位置重合，请计算这时,0,号点的估计值，并说明克立格插值法的特点。,复习思考题,8,、,利用普通克立格法和如下球状模型对下表,0,号点进行估计。,9,、,根据用变异函数表达的泛克立格方程组写出对应的矩阵表达式，并计算泛克立格法示例。,10,、,在,ArcGIS,软件中实现协同克立格法插值，并对结果进行验证。,